Математика
Русский язык

13. Решение уравнений

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Сведение тригонометрических уравнений к однородному уравнению (страница 2)

\(\blacktriangleright\) Однородные тригонометрические уравнения второй степени: \[\large{I. \ a\sin^2 x+b\sin x\cos x+c\cos^2 x=0, \ \ \ a,c\ne 0}\] (если один из коэффициентов \(a\) или \(c\) равен нулю, то уравнение можно решить разложением на множители)

 

Способ решения: т.к. в данном уравнении ни \(\sin x=0\), ни \(\cos x=0\) не являются решением, то разделим правую и левую части уравнения на \(\sin^2x\) (или \(\cos^2 x\)). Тогда уравнение сведется к \[\large{a \mathrm{tg}^2\, x+b\mathrm{tg}\, x+c=0,}\]которое далее решается как квадратное.

 

Уравнение \[\large{I'. \ a\sin^2 x+b\sin x\cos x+c\cos^2 x=d, \ \ \ a,c,d\ne 0}\]сводится к уравнению \(I\) с помощью формулы \(d=d\cdot 1=d\cdot (\sin^2 x+\cos^2 x)\) и приведения подобных слагаемых.

 

\[\large{II. \ a \mathrm{tg}^n\, x+b+d \mathrm{ctg}^n\, x=0, \ \ \ a,d\ne 0}\] Способ решения: т.к. в данном уравнении ни \(\mathrm{tg}\, x=0\), ни \(\mathrm{ctg}\, x=0\) не являются решением, то умножим правую и левую части уравнения на \(\mathrm{tg}^n\, x\) (или \(\mathrm{ctg}^n\, x\)). Тогда уравнение в виду формулы \(\mathrm{tg}\, x\cdot \mathrm{ctg}\, x=1\) сведется к \[\large{a \mathrm{tg}^{2n}\, x+b\mathrm{tg}^n\, x+d=0,}\]которое далее решается как квадратное после замены \(\mathrm{tg}^n\, x=t\).

 

\(\blacktriangleright\) Однородные тригонометрические уравнения первой степени: \[\large{III. \ a\sin x+b\cos x=0, \ \ \ a,b\ne 0}\] Способ решения: т.к. в данном уравнении ни \(\cos x=0\), ни \(\sin x=0\) не являются решениями, то можно поделить правую и левую части уравнения на \(\cos x\) (или \(\sin x\)). Тогда уравнение примет вид: \[a\mathrm{tg}\, x+b=0 \Rightarrow \mathrm{tg}\,x=-\dfrac ba\]

Уравнение \[\large{III'. \ a\sin x+b\cos x=c, \ \ \ a,b,c\ne 0}\] можно решить двумя разными способами:

 

1 способ при помощи формул   \(\sin x=2\sin{\dfrac x2}\cos{\dfrac x2}\), \(\cos x=\cos^2 {\dfrac x2}-\sin^2 {\dfrac x2}\),\(c=c\cdot \Big(\sin^2 {\dfrac x2}+\cos^2 {\dfrac x2}\Big)\)   уравнение сведется к уравнению \(I\).

 

2 способ при помощи формул выражения функций через тангенс половинного угла: \[\begin{array}{|lc|cr|} \hline &&&\\ \sin{\alpha}=\dfrac{2\mathrm{tg}\, \dfrac{\alpha}2}{1+\mathrm{tg}^2\, \dfrac{\alpha}2} &&& \cos{\alpha}=\dfrac{1-\mathrm{tg}^2\, \dfrac{\alpha}2}{1+\mathrm{tg}^2\, \dfrac{\alpha}2}\\&&&\\ \hline \end{array}\] уравнение сведется к квадратному уравнению относительно \(\mathrm{tg}\, \dfrac x2\)

Задание 8
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

а) Решите уравнение \[\cos 2x\cdot(\mathrm{tg}\,2x+1)=\dfrac1{\cos^2x-\sin^2x}\]

б) Найдите все его корни, принадлежащие отрезку \(\left[0;\dfrac{\pi}2\right]\).

Добавить задание в избранное

а) ОДЗ: \(\cos^2x-\sin^2x\ne 0\). Решим на ОДЗ.

По формуле двойного угла для косинуса \(\cos^2x-\sin^2x=\cos2x\), значит:  

\(\cos2x(\mathrm{tg}\,2x+1)-\dfrac1{\cos2x}=0 \Rightarrow \dfrac{\cos2x(\sin2x+\cos2x)}{\cos2x}-\dfrac1{\cos2x}=0 \Rightarrow\)  

\(\dfrac{\cos2x\sin2x+\cos^22x-1}{\cos2x}=0 \Rightarrow \begin{cases} &\cos2x\sin2x-\sin^22x=0\\ &\cos2x\ne 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} \left[ \begin{gathered}\begin{aligned} &\sin2x=0\\ &\cos2x-\sin2x=0 \end{aligned} \end{gathered}\right.\\ \cos2x\ne 0 \end{cases}\Rightarrow\)  

\(\begin{cases} \left[ \begin{gathered}\begin{aligned} &2x=\pi n, n\in\mathbb{Z}\\ &\mathrm{tg}\,2x=1 \end{aligned} \end{gathered}\right.\\ \cos2x\ne 0 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} \left[ \begin{gathered}\begin{aligned} &2x=\pi n, n\in\mathbb{Z}\\[1ex] &2x=\dfrac{\pi}4+\pi m,m\in\mathbb{Z} \end{aligned} \end{gathered}\right.\\ \cos2x\ne 0 \end{cases} \)  

Подставим полученный ответ для \(2x\) в \(\cos 2x\):
\(\cos (\pi n)=\pm 1\ne 0\) – значит ответ \(2x=\pi n\Rightarrow x=\dfrac{\pi}2n, n\in\mathbb{Z}\) нам подходит.

 

\(\cos \left(\dfrac{\pi}4+\pi m\right)=\pm\dfrac{\sqrt2}2 \ne 0\) – значит ответ \(2x=\dfrac{\pi}4+\pi m \Rightarrow x=\dfrac{\pi}8+\dfrac{\pi}2 m, m\in\mathbb{Z}\) нам также подходит.

 

б) Отберем корни:

\[0\leqslant \dfrac{\pi}2n\leqslant \dfrac{\pi}2 \Rightarrow 0\leqslant n \leqslant 1 \Rightarrow n=0;1 \Rightarrow x=0;\dfrac{\pi}2\]

\[0\leqslant \dfrac{\pi}8+\dfrac{\pi}2 m\leqslant \dfrac{\pi}2 \Rightarrow -\dfrac14\leqslant m \leqslant \dfrac34 \Rightarrow m=0\Rightarrow x=\dfrac{\pi}8\]

Ответ:

а) \(\dfrac{\pi}2n, \dfrac{\pi}8+\dfrac{\pi}2 m, \ m,n\in\mathbb{Z}\)

 

б) \(0;\dfrac{\pi}8;\dfrac{\pi}2\)

Задание 9
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

а) Решите уравнение \[4\cos^2x+6\sin^2x=5\sin2x\]

б) Найдите все его корни, принадлежащие полуинтервалу \(\left[0; \dfrac{5\pi}4\right)\).

Добавить задание в избранное

а) ОДЗ: \(x\) – произвольное. Решим на ОДЗ:

Перенесем все слагаемые в левую часть и применим формулу синуса двойного угла \(\sin2x=2\sin x\cos x\): \[4\cos^2x-10\sin x\cos x+6\sin^2x=0\]

Уравнение свелось к однородному. Разделим правую и левую части равенства на \(\sin^2x\): \[4\mathrm{ctg}^2\,x-10\mathrm{ctg}\,x+6=0\]

Заменой \(\mathrm{ctg}\,x=t, \ t\in\mathbb{R}\) данное уравнение сводится к квадратному: \[4t^2-10t+6=0 \Rightarrow t_1=1, \ \ t_2=\dfrac32\]

Сделаем обратную замену: \[\left[ \begin{gathered}\begin{aligned} &\mathrm{ctg}\,x=1\\[2ex] &\mathrm{ctg}\,x=\dfrac32 \end{aligned} \end{gathered}\right. \Rightarrow \left[ \begin{gathered}\begin{aligned} &x_1=\dfrac{\pi}4+\pi k, k\in\mathbb{Z}\\[2ex] &x_2=\mathrm{arcctg}\,\dfrac32+\pi n, n\in\mathbb{Z} \end{aligned} \end{gathered}\right.\]

б) Отберем корни: \[0\leqslant x_1< \dfrac{5\pi}4 \Rightarrow -\dfrac 14\leqslant k<1\]

Целые \(k\), удовлетворяющие этому неравенству, это \(k=0\). Следовательно, \(x_1=\dfrac{\pi}4\).

 

Обозначим \(\mathrm{arcctg}\dfrac32=\alpha\):

\[0\leqslant x_2< \dfrac{5\pi}4 \Rightarrow -\dfrac{\alpha}{\pi} \leqslant n<\dfrac54-\dfrac{\alpha}{\pi}\]

Т.к. котангенс в первой четверти убывает, то \(0<\alpha<\dfrac{\pi}4 \Rightarrow -\dfrac14<-\dfrac{\alpha}{\pi}<0 \Rightarrow 1<\dfrac54-\dfrac{\alpha}{\pi}<\dfrac54 \quad \) (можно условно записать, что \(-0,...\leqslant n<1,...\)),

значит, целые \(n\), удовлетворяющие неравенству, это \(n=0;1\). Следовательно, \(x_2=\mathrm{arcctg}\dfrac32; \ \mathrm{arcctg}\dfrac32+\pi\).

Ответ:

а) \(\dfrac{\pi}4+\pi k, \mathrm{arcctg}\,\dfrac32+\pi n, \ k,n\in\mathbb{Z}\)

 

б) \(\dfrac{\pi}4; \ \mathrm{arcctg}\dfrac32; \ \mathrm{arcctg}\dfrac32+\pi\)

Задание 10
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

а) Решите уравнение \[3\sin^2x-\sqrt3(\sin x\cos x-1)=3\sin 2x-\sqrt3\cos 2x\]

б) Найдите все его корни, принадлежащие отрезку \([-1;2]\).

Добавить задание в избранное

а) ОДЗ: \(x\) – произвольное. Решим на ОДЗ.

Перенесем все слагаемые в левую часть и применим формулы двойного аргумента для синуса и косинуса: \(\sin 2x=2\sin x\cos x, \quad \cos 2x=2\cos^2x-1\): \[3\sin^2x-(\sqrt3+6)\sin x\cos x+2\sqrt3 \cos^2x=0\]

Данное уравнение является однородным. Разделим правую и левую части уравнения на \(\cos^2x\) и сделаем замену \(\mathrm{tg}\,x=t, \ t\in\mathbb{R}\):

\[3t^2-(\sqrt3+6)t+2\sqrt3=0\]

Дискриминант данного уравнения \(D=\sqrt3^{\,2}+12\sqrt3+6^2-24\sqrt3=\sqrt3^{\,2}-12\sqrt3+6^2=(\sqrt3-6)^2\)

 

Следовательно, \(\sqrt D=\sqrt{(\sqrt3-6)^2}=|\sqrt3-6|=6-\sqrt3\)

Таким образом, корнями данного уравнения будут: \(t_{1,2}=\dfrac{\sqrt3+6\pm(6-\sqrt3)}{6} \Rightarrow \ t_1=\dfrac{\sqrt3}3, \ t_2=2\)

 

Сделаем обратную замену: \[\left[ \begin{gathered}\begin{aligned} &\mathrm{tg}\,x=\dfrac{\sqrt3}3\\[3pt] &\mathrm{tg}\,x=2 \end{aligned} \end{gathered}\right. \Rightarrow \left[ \begin{gathered}\begin{aligned} &x_1=\dfrac{\pi}6+\pi k, k\in\mathbb{Z}\\ &x_2=\mathrm{arctg}\,2+\pi n, n\in\mathbb{Z} \end{aligned} \end{gathered}\right. \Rightarrow\]

б) Произведем отбор корней по окружности:


 

Отметим точки, являющиеся решением уравнения, на окружности. Для этого найдем на линии тангенсов точки \(\frac{\sqrt3}3\) и \(2\) и соединим их с центром окружности. Получили четыре (зеленые) точки на окружности.

 

Отметим дугу, соответствующую отрезку \([-1;2]\). Т.к. \(1\) рад \(\sim 57^\circ\), то \(-1\sim -57^\circ, \ 2\sim 114^\circ\).

 

Таким образом, видно, что на дугу попали лишь две точки.

 

Из серии углов \(\dfrac{\pi}6+\pi k\) угол, попадающий в \([-1;2]\), это \(\dfrac{\pi}6\). Из серии \(\mathrm{arctg}\,2+\pi n\) — угол \(\mathrm{arctg}\,2\).

Ответ:

а) \(\dfrac{\pi}6+\pi k, \mathrm{arctg}\,2+\pi n, \ k,n\in\mathbb{Z}\)

 

б) \(\dfrac{\pi}6; \mathrm{arctg}\,2\)