Математика ЕГЭ
Русский язык ЕГЭ
Математика 5-7
Математика ОГЭ
Информатика
Физика
Обществознание
Кликните, чтобы открыть меню

13. Решение уравнений

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Сведение тригонометрических уравнений к однородному уравнению (страница 2)

\(\blacktriangleright\) Однородные тригонометрические уравнения второй степени: \[\large{I. \ a\sin^2 x+b\sin x\cos x+c\cos^2 x=0, \ \ \ a,c\ne 0}\] (если один из коэффициентов \(a\) или \(c\) равен нулю, то уравнение можно решить разложением на множители)

 

Способ решения: т.к. в данном уравнении ни \(\sin x=0\), ни \(\cos x=0\) не являются решением, то разделим правую и левую части уравнения на \(\sin^2x\) (или \(\cos^2 x\)). Тогда уравнение сведется к \[\large{a \mathrm{tg}^2\, x+b\mathrm{tg}\, x+c=0,}\]которое далее решается как квадратное.

 

Уравнение \[\large{I'. \ a\sin^2 x+b\sin x\cos x+c\cos^2 x=d, \ \ \ a,c,d\ne 0}\]сводится к уравнению \(I\) с помощью формулы \(d=d\cdot 1=d\cdot (\sin^2 x+\cos^2 x)\) и приведения подобных слагаемых.

 

\[\large{II. \ a \mathrm{tg}^n\, x+b+d \mathrm{ctg}^n\, x=0, \ \ \ a,d\ne 0}\] Способ решения: т.к. в данном уравнении ни \(\mathrm{tg}\, x=0\), ни \(\mathrm{ctg}\, x=0\) не являются решением, то умножим правую и левую части уравнения на \(\mathrm{tg}^n\, x\) (или \(\mathrm{ctg}^n\, x\)). Тогда уравнение в виду формулы \(\mathrm{tg}\, x\cdot \mathrm{ctg}\, x=1\) сведется к \[\large{a \mathrm{tg}^{2n}\, x+b\mathrm{tg}^n\, x+d=0,}\]которое далее решается как квадратное после замены \(\mathrm{tg}^n\, x=t\).

 

\(\blacktriangleright\) Однородные тригонометрические уравнения первой степени: \[\large{III. \ a\sin x+b\cos x=0, \ \ \ a,b\ne 0}\] Способ решения: т.к. в данном уравнении ни \(\cos x=0\), ни \(\sin x=0\) не являются решениями, то можно поделить правую и левую части уравнения на \(\cos x\) (или \(\sin x\)). Тогда уравнение примет вид: \[a\mathrm{tg}\, x+b=0 \Rightarrow \mathrm{tg}\,x=-\dfrac ba\]

Уравнение \[\large{III'. \ a\sin x+b\cos x=c, \ \ \ a,b,c\ne 0}\] можно решить двумя разными способами:

 

1 способ при помощи формул   \(\sin x=2\sin{\dfrac x2}\cos{\dfrac x2}\), \(\cos x=\cos^2 {\dfrac x2}-\sin^2 {\dfrac x2}\),\(c=c\cdot \Big(\sin^2 {\dfrac x2}+\cos^2 {\dfrac x2}\Big)\)   уравнение сведется к уравнению \(I\).

 

2 способ при помощи формул выражения функций через тангенс половинного угла: \[\begin{array}{|lc|cr|} \hline &&&\\ \sin{\alpha}=\dfrac{2\mathrm{tg}\, \dfrac{\alpha}2}{1+\mathrm{tg}^2\, \dfrac{\alpha}2} &&& \cos{\alpha}=\dfrac{1-\mathrm{tg}^2\, \dfrac{\alpha}2}{1+\mathrm{tg}^2\, \dfrac{\alpha}2}\\&&&\\ \hline \end{array}\] уравнение сведется к квадратному уравнению относительно \(\mathrm{tg}\, \dfrac x2\)

Задание 8 #3482
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

а) Решите уравнение \[\cos 2x\cdot(\mathrm{tg}\,2x+1)=\dfrac1{\cos^2x-\sin^2x}\]

б) Найдите все его корни, принадлежащие отрезку \(\left[0;\dfrac{\pi}2\right]\).

а) ОДЗ: \(\cos^2x-\sin^2x\ne 0\). Решим на ОДЗ.

По формуле двойного угла для косинуса \(\cos^2x-\sin^2x=\cos2x\), значит:  

\(\cos2x(\mathrm{tg}\,2x+1)-\dfrac1{\cos2x}=0 \Rightarrow \dfrac{\cos2x(\sin2x+\cos2x)}{\cos2x}-\dfrac1{\cos2x}=0 \Rightarrow\)  

\(\dfrac{\cos2x\sin2x+\cos^22x-1}{\cos2x}=0 \Rightarrow \begin{cases} &\cos2x\sin2x-\sin^22x=0\\ &\cos2x\ne 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} \left[ \begin{gathered}\begin{aligned} &\sin2x=0\\ &\cos2x-\sin2x=0 \end{aligned} \end{gathered}\right.\\ \cos2x\ne 0 \end{cases}\Rightarrow\)  

\(\begin{cases} \left[ \begin{gathered}\begin{aligned} &2x=\pi n, n\in\mathbb{Z}\\ &\mathrm{tg}\,2x=1 \end{aligned} \end{gathered}\right.\\ \cos2x\ne 0 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} \left[ \begin{gathered}\begin{aligned} &2x=\pi n, n\in\mathbb{Z}\\[1ex] &2x=\dfrac{\pi}4+\pi m,m\in\mathbb{Z} \end{aligned} \end{gathered}\right.\\ \cos2x\ne 0 \end{cases} \)  

Подставим полученный ответ для \(2x\) в \(\cos 2x\):
\(\cos (\pi n)=\pm 1\ne 0\) – значит ответ \(2x=\pi n\Rightarrow x=\dfrac{\pi}2n, n\in\mathbb{Z}\) нам подходит.

 

\(\cos \left(\dfrac{\pi}4+\pi m\right)=\pm\dfrac{\sqrt2}2 \ne 0\) – значит ответ \(2x=\dfrac{\pi}4+\pi m \Rightarrow x=\dfrac{\pi}8+\dfrac{\pi}2 m, m\in\mathbb{Z}\) нам также подходит.

 

б) Отберем корни:

\[0\leqslant \dfrac{\pi}2n\leqslant \dfrac{\pi}2 \Rightarrow 0\leqslant n \leqslant 1 \Rightarrow n=0;1 \Rightarrow x=0;\dfrac{\pi}2\]

\[0\leqslant \dfrac{\pi}8+\dfrac{\pi}2 m\leqslant \dfrac{\pi}2 \Rightarrow -\dfrac14\leqslant m \leqslant \dfrac34 \Rightarrow m=0\Rightarrow x=\dfrac{\pi}8\]

Ответ:

а) \(\dfrac{\pi}2n, \dfrac{\pi}8+\dfrac{\pi}2 m, \ m,n\in\mathbb{Z}\)

 

б) \(0;\dfrac{\pi}8;\dfrac{\pi}2\)

Задание 9 #2711
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

а) Решите уравнение \[4\cos^2x+6\sin^2x=5\sin2x\]

б) Найдите все его корни, принадлежащие полуинтервалу \(\left[0; \dfrac{5\pi}4\right)\).

а) ОДЗ: \(x\) – произвольное. Решим на ОДЗ:

Перенесем все слагаемые в левую часть и применим формулу синуса двойного угла \(\sin2x=2\sin x\cos x\): \[4\cos^2x-10\sin x\cos x+6\sin^2x=0\]

Уравнение свелось к однородному. Разделим правую и левую части равенства на \(\sin^2x\): \[4\mathrm{ctg}^2\,x-10\mathrm{ctg}\,x+6=0\]

Заменой \(\mathrm{ctg}\,x=t, \ t\in\mathbb{R}\) данное уравнение сводится к квадратному: \[4t^2-10t+6=0 \Rightarrow t_1=1, \ \ t_2=\dfrac32\]

Сделаем обратную замену: \[\left[ \begin{gathered}\begin{aligned} &\mathrm{ctg}\,x=1\\[2ex] &\mathrm{ctg}\,x=\dfrac32 \end{aligned} \end{gathered}\right. \Rightarrow \left[ \begin{gathered}\begin{aligned} &x_1=\dfrac{\pi}4+\pi k, k\in\mathbb{Z}\\[2ex] &x_2=\mathrm{arcctg}\,\dfrac32+\pi n, n\in\mathbb{Z} \end{aligned} \end{gathered}\right.\]

б) Отберем корни: \[0\leqslant x_1< \dfrac{5\pi}4 \Rightarrow -\dfrac 14\leqslant k<1\]

Целые \(k\), удовлетворяющие этому неравенству, это \(k=0\). Следовательно, \(x_1=\dfrac{\pi}4\).

 

Обозначим \(\mathrm{arcctg}\dfrac32=\alpha\):

\[0\leqslant x_2< \dfrac{5\pi}4 \Rightarrow -\dfrac{\alpha}{\pi} \leqslant n<\dfrac54-\dfrac{\alpha}{\pi}\]

Т.к. котангенс в первой четверти убывает, то \(0<\alpha<\dfrac{\pi}4 \Rightarrow -\dfrac14<-\dfrac{\alpha}{\pi}<0 \Rightarrow 1<\dfrac54-\dfrac{\alpha}{\pi}<\dfrac54 \quad \) (можно условно записать, что \(-0,...\leqslant n<1,...\)),

значит, целые \(n\), удовлетворяющие неравенству, это \(n=0;1\). Следовательно, \(x_2=\mathrm{arcctg}\dfrac32; \ \mathrm{arcctg}\dfrac32+\pi\).

Ответ:

а) \(\dfrac{\pi}4+\pi k, \mathrm{arcctg}\,\dfrac32+\pi n, \ k,n\in\mathbb{Z}\)

 

б) \(\dfrac{\pi}4; \ \mathrm{arcctg}\dfrac32; \ \mathrm{arcctg}\dfrac32+\pi\)

Задание 10 #2712
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

а) Решите уравнение \[3\sin^2x-\sqrt3(\sin x\cos x-1)=3\sin 2x-\sqrt3\cos 2x\]

б) Найдите все его корни, принадлежащие отрезку \([-1;2]\).

а) ОДЗ: \(x\) – произвольное. Решим на ОДЗ.

Перенесем все слагаемые в левую часть и применим формулы двойного аргумента для синуса и косинуса: \(\sin 2x=2\sin x\cos x, \quad \cos 2x=2\cos^2x-1\): \[3\sin^2x-(\sqrt3+6)\sin x\cos x+2\sqrt3 \cos^2x=0\]

Данное уравнение является однородным. Разделим правую и левую части уравнения на \(\cos^2x\) и сделаем замену \(\mathrm{tg}\,x=t, \ t\in\mathbb{R}\):

\[3t^2-(\sqrt3+6)t+2\sqrt3=0\]

Дискриминант данного уравнения \(D=\sqrt3^{\,2}+12\sqrt3+6^2-24\sqrt3=\sqrt3^{\,2}-12\sqrt3+6^2=(\sqrt3-6)^2\)

 

Следовательно, \(\sqrt D=\sqrt{(\sqrt3-6)^2}=|\sqrt3-6|=6-\sqrt3\)

Таким образом, корнями данного уравнения будут: \(t_{1,2}=\dfrac{\sqrt3+6\pm(6-\sqrt3)}{6} \Rightarrow \ t_1=\dfrac{\sqrt3}3, \ t_2=2\)

 

Сделаем обратную замену: \[\left[ \begin{gathered}\begin{aligned} &\mathrm{tg}\,x=\dfrac{\sqrt3}3\\[3pt] &\mathrm{tg}\,x=2 \end{aligned} \end{gathered}\right. \Rightarrow \left[ \begin{gathered}\begin{aligned} &x_1=\dfrac{\pi}6+\pi k, k\in\mathbb{Z}\\ &x_2=\mathrm{arctg}\,2+\pi n, n\in\mathbb{Z} \end{aligned} \end{gathered}\right. \Rightarrow\]

б) Произведем отбор корней по окружности:


 

Отметим точки, являющиеся решением уравнения, на окружности. Для этого найдем на линии тангенсов точки \(\frac{\sqrt3}3\) и \(2\) и соединим их с центром окружности. Получили четыре (зеленые) точки на окружности.

 

Отметим дугу, соответствующую отрезку \([-1;2]\). Т.к. \(1\) рад \(\sim 57^\circ\), то \(-1\sim -57^\circ, \ 2\sim 114^\circ\).

 

Таким образом, видно, что на дугу попали лишь две точки.

 

Из серии углов \(\dfrac{\pi}6+\pi k\) угол, попадающий в \([-1;2]\), это \(\dfrac{\pi}6\). Из серии \(\mathrm{arctg}\,2+\pi n\) — угол \(\mathrm{arctg}\,2\).

Ответ:

а) \(\dfrac{\pi}6+\pi k, \mathrm{arctg}\,2+\pi n, \ k,n\in\mathbb{Z}\)

 

б) \(\dfrac{\pi}6; \mathrm{arctg}\,2\)