а) Решите уравнение \[\cos 2x\cdot(\mathrm{tg}\,2x+1)=\dfrac1{\cos^2x-\sin^2x}\]
б) Найдите все его корни, принадлежащие отрезку \(\left[0;\dfrac{\pi}2\right]\).
а) ОДЗ: \(\cos^2x-\sin^2x\ne 0\). Решим на ОДЗ.
По формуле двойного угла для косинуса \(\cos^2x-\sin^2x=\cos2x\), значит:
\(\cos2x(\mathrm{tg}\,2x+1)-\dfrac1{\cos2x}=0 \Rightarrow \dfrac{\cos2x(\sin2x+\cos2x)}{\cos2x}-\dfrac1{\cos2x}=0 \Rightarrow\)
\(\dfrac{\cos2x\sin2x+\cos^22x-1}{\cos2x}=0 \Rightarrow \begin{cases} &\cos2x\sin2x-\sin^22x=0\\ &\cos2x\ne 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} \left[ \begin{gathered}\begin{aligned} &\sin2x=0\\ &\cos2x-\sin2x=0 \end{aligned} \end{gathered}\right.\\ \cos2x\ne 0 \end{cases}\Rightarrow\)
\(\begin{cases} \left[ \begin{gathered}\begin{aligned} &2x=\pi n, n\in\mathbb{Z}\\ &\mathrm{tg}\,2x=1 \end{aligned} \end{gathered}\right.\\ \cos2x\ne 0 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} \left[ \begin{gathered}\begin{aligned} &2x=\pi n, n\in\mathbb{Z}\\[1ex] &2x=\dfrac{\pi}4+\pi m,m\in\mathbb{Z} \end{aligned} \end{gathered}\right.\\ \cos2x\ne 0 \end{cases} \)
Подставим полученный ответ для \(2x\) в \(\cos 2x\):
\(\cos (\pi n)=\pm 1\ne 0\) – значит ответ \(2x=\pi n\Rightarrow
x=\dfrac{\pi}2n, n\in\mathbb{Z}\) нам подходит.
\(\cos \left(\dfrac{\pi}4+\pi m\right)=\pm\dfrac{\sqrt2}2 \ne 0\) – значит ответ \(2x=\dfrac{\pi}4+\pi m \Rightarrow x=\dfrac{\pi}8+\dfrac{\pi}2 m, m\in\mathbb{Z}\) нам также подходит.
б) Отберем корни:
\[0\leqslant \dfrac{\pi}2n\leqslant \dfrac{\pi}2 \Rightarrow 0\leqslant n \leqslant 1 \Rightarrow n=0;1 \Rightarrow x=0;\dfrac{\pi}2\]
\[0\leqslant \dfrac{\pi}8+\dfrac{\pi}2 m\leqslant \dfrac{\pi}2 \Rightarrow -\dfrac14\leqslant m \leqslant \dfrac34 \Rightarrow m=0\Rightarrow x=\dfrac{\pi}8\]
Ответ:
а) \(\dfrac{\pi}2n, \dfrac{\pi}8+\dfrac{\pi}2 m, \ m,n\in\mathbb{Z}\)
б) \(0;\dfrac{\pi}8;\dfrac{\pi}2\)