Математика
Русский язык

13. Решение уравнений

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Разложение на множители тригонометрических уравнений (страница 2)

\(\blacktriangleright\) Напомним стандартные тригонометрические уравнения:
\[\begin{array}{l|c|c} \hline \text{Уравнение} & \text{Ограничения} & \text{Решение}\\ \hline &&\\ \sin x=a & -1\leq a\leq 1 & \left[ \begin{gathered} \begin{aligned} &x=\arcsin a+2\pi n\\ &x=\pi -\arcsin a+2\pi n \end{aligned} \end{gathered} \right. \ \ , \ n\in \mathbb{Z}\\&&\\ \hline &&\\ \cos x=a & -1\leq a\leq 1 & x=\pm \arccos a+2\pi n, \ n\in \mathbb{Z}\\&&\\ \hline &&\\ \mathrm{tg}\, x=a & a\in \mathbb{R} & x=\mathrm{arctg}\, a+\pi n, \ n\in \mathbb{Z}\\&&\\ \hline &&\\ \mathrm{ctg}\,x=a & a\in \mathbb{R} & x=\mathrm{arcctg}\, a+\pi n, \ n\in \mathbb{Z}\\&&\\ \hline \end{array}\] Иногда для более короткой записи ответ для \(\sin x=a\) записывают как
\(x=(-1)^k\cdot \arcsin a+\pi k, \ k\in \mathbb{Z}\).

 

\(\blacktriangleright\) Разложить на множители выражение — это значит представить его в виде произведения нескольких множителей.
Основная формула \[a\cdot b+a\cdot c=a\cdot (b+c)\]

\(\blacktriangleright\) Произведение нескольких множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из них равен нулю, а остальные при этом не теряют смысла!: \[f(x)\cdot g(x)=0 \ \Longleftrightarrow \ \begin{cases} \left[ \begin{gathered} \begin{aligned} &f(x)=0\\ &g(x)=0\\ \end{aligned} \end{gathered} \right.\\\text{ОДЗ} \end{cases}\]

 

\(\blacktriangleright\) Частное двух выражений равно нулю тогда и только тогда, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. \[\dfrac{f(x)}{g(x)}=0 \ \Longleftrightarrow \ \begin{cases} f(x)=0\\ g(x)\ne 0 \end{cases}\]

Задание 8
Уровень задания: Равен ЕГЭ

а) Решите уравнение \[\sin\left(\dfrac{\pi}2+x\right)+\sin 2x=0\]

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку \(\left(0;\dfrac{5\pi}2\right].\)

Добавить задание в избранное

а) По формуле приведения \(\sin\left(\dfrac{\pi}2+x\right)=\cos x\), по формуле двойного угла для синуса \(\sin 2x=2\sin x\cos x\), следовательно

 

\(\cos x+2\sin x\cos x=0 \quad\Leftrightarrow\quad \cos x(1+2\sin x)=0 \quad\Leftrightarrow\)  

\(\Leftrightarrow \quad \left[\begin{gathered}\begin{aligned} &\sin x=-\dfrac12\\[2ex] &\cos x=0 \end{aligned}\end{gathered}\right. \quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin{gathered}\begin{aligned} &x=-\dfrac{\pi}6+2\pi n, n\in\mathbb{Z}\\[2ex] &x=-\dfrac{5\pi}6+2\pi k, k\in\mathbb{Z}\\[2ex] &x=\dfrac{\pi}2+\pi m, m\in\mathbb{Z} \end{aligned}\end{gathered}\right.\)

 

б) Отберем корни.

 

\(0<-\dfrac{\pi}6+2\pi n\leqslant \dfrac{5\pi}2 \quad\Leftrightarrow\quad \dfrac1{12}<n\leqslant \dfrac43 \quad\Rightarrow\quad n=1.\) Следовательно, \(x=\dfrac{11\pi}6.\)

 

\(0<-\dfrac{5\pi}6+2\pi k\leqslant \dfrac{5\pi}2 \quad\Leftrightarrow\quad \dfrac5{12}<k\leqslant \dfrac53 \quad\Rightarrow\quad k=1.\) Следовательно, \(x=\dfrac{7\pi}6.\)

 

\(0<\dfrac{\pi}2+\pi m\leqslant \dfrac{5\pi}2 \quad\Leftrightarrow\quad -\dfrac12<m\leqslant 2\quad\Rightarrow\quad m=0; \ 1; \ 2.\) Следовательно, \(x=\dfrac{\pi}2; \ \dfrac{3\pi}2; \ \dfrac{5\pi}2.\)

Ответ:

а) \(-\dfrac{\pi}6+2\pi n; \quad -\dfrac{5\pi}6+2\pi k;\quad \dfrac{\pi}2+\pi m;\quad n,k,m\in\mathbb{Z}\)  

б) \(\dfrac{\pi}2; \ \dfrac{7\pi}6; \ \dfrac{3\pi}2; \ \dfrac{5\pi}2; \ \dfrac{11\pi}6\)

Задание 9
Уровень задания: Равен ЕГЭ

а) Решите уравнение \[2\cos 2x\sin x-\sqrt3\sin x+2\cos 2x=\sqrt3\]

б) Найдите все его корни, принадлежащие промежутку \(\left[-\dfrac{\pi}2; \dfrac{3\pi}2\right)\).

Добавить задание в избранное

а) ОДЗ: \(x\) – произвольное. Решим на ОДЗ.

Перенесем все слагаемые в левую часть и вынесем общие множители за скобки:

 

\(2\cos2x(\sin x+1) -\sqrt3(\sin x+1)=0 \Rightarrow (\sin x+1)(2\cos 2x-\sqrt3)=0 \Rightarrow\)

 

\(\left[ \begin{gathered}\begin{aligned} &\sin x=-1\\ &\cos 2x=\dfrac{\sqrt3}2 \end{aligned} \end{gathered}\right. \quad \Rightarrow\quad \left[ \begin{gathered}\begin{aligned} &x_1=-\dfrac{\pi}2+2\pi n, n\in\mathbb{Z}\\ &x_2=\dfrac{\pi}{12}+\pi m, m\in\mathbb{Z}\\ &x_3=-\dfrac{\pi}{12}+\pi k, k\in\mathbb{Z} \end{aligned} \end{gathered}\right. \)

 

б) Отберем корни:

 

1) \(-\dfrac{\pi}2\leqslant x_1<\dfrac{3\pi}2 \Rightarrow 0\leqslant n<1 \Rightarrow n=0 \Rightarrow x=-\dfrac{\pi}2\)

 

2) \(-\dfrac{\pi}2\leqslant x_2<\dfrac{3\pi}2 \Rightarrow -\dfrac7{12}\leqslant m<\dfrac{17}{12} \Rightarrow m=0;1 \Rightarrow x=\dfrac{\pi}{12}; \dfrac{13\pi}{12}\)

 

3) \(-\dfrac{\pi}2\leqslant x_3<\dfrac{3\pi}2 \Rightarrow -\dfrac5{12}\leqslant k<\dfrac{19}{12} \Rightarrow k=0;1 \Rightarrow x=-\dfrac{\pi}{12}; \dfrac{11\pi}{12}\)

Ответ:

а) \(-\dfrac{\pi}2+2\pi n, \dfrac{\pi}{12}+\pi m, -\dfrac{\pi}{12}+\pi k, \ n,m,k\in\mathbb{Z}\)

 

б) \(-\dfrac{\pi}2; -\dfrac{\pi}{12};\dfrac{\pi}{12};\dfrac{11\pi}{12}\dfrac{13\pi}{12}\)

Задание 10
Уровень задания: Равен ЕГЭ

а) Решите уравнение \[1+\sin 2x=(\sin 2x-\cos 2x)^2\]

б) Найдите наименьший положительный корень данного уравнения.

Добавить задание в избранное

а) Преобразуем уравнение: \[1+\sin2x=\sin^22x-2\sin2x\cos2x+\cos^22x \quad\Leftrightarrow\quad 1+\sin 2x=1-2\sin2x\cos2x \quad\Leftrightarrow\quad \sin2x(1+2\cos2x)=0\] Данное уравнение имеет решение в том случае, если либо \(\sin2x=0\), либо \(\cos2x=-\frac12\). В первом случае получаем серию корней \(2x=\pi n\), а во втором \(2x=\pm \frac{2\pi}3+2\pi m, \quad n,m\in\mathbb{Z}\), откуда: \[x=\dfrac{\pi}2n \quad {\small{\text{или}}} \quad x=\pm \dfrac{\pi}3+\pi m, \quad n,m\in\mathbb{Z}\]

б) Отберем корни.

 

\(\dfrac{\pi}2n >0\quad\Leftrightarrow\quad n>0\quad\Rightarrow\quad n_{min}=1 \quad\Rightarrow\quad x_{min}=\dfrac{\pi}2\)

 

\(\dfrac{\pi}3+\pi m>0\quad\Leftrightarrow\quad m>-\dfrac13\quad\Rightarrow\quad m_{min}=0 \quad\Rightarrow\quad x_{min}=\dfrac{\pi}3\)

 

\(-\dfrac{\pi}3+\pi m>0\quad\Leftrightarrow\quad m>\dfrac13\quad\Rightarrow\quad m_{min}=1\quad\Rightarrow\quad x_{min}=\dfrac{2\pi}3\)

 

Заметим, что среди найденных в каждой серии наименьших положительных корней самым меньшим является \(\dfrac{\pi}3\).

Ответ:

а) \(\dfrac{\pi}2n; \ \pm \dfrac{\pi}3+\pi m, \quad n,m\in\mathbb{Z}\)

 

б) \(\dfrac{\pi}3\)

Задание 11
Уровень задания: Равен ЕГЭ

а) Решите уравнение \[\sin x+\mathrm{tg}\,x=\dfrac{\sin 2x}{\cos x}\]

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку \(\left(-\dfrac{\pi}2;\dfrac{\pi}2\right).\)

Добавить задание в избранное

а) Так как \(\mathrm{tg}\,x=\dfrac{\sin x}{\cos x}\) и \(\sin 2x=2\sin x\cos x\), то уравнение можно переписать в виде  

\(\sin x+\dfrac{\sin x}{\cos x}-\dfrac{2\sin x\cos x}{\cos x}=0 \quad\Leftrightarrow\quad \dfrac{\sin x\cos x+\sin x-2\sin x\cos x}{\cos x}=0\quad\Leftrightarrow\quad \dfrac{\sin x(1-\cos x)}{\cos x}=0 \quad\Leftrightarrow\)  

\(\Leftrightarrow \quad \begin{cases} \left[\begin{gathered}\begin{aligned} &\sin x=0\\ &\cos x=1 \end{aligned}\end{gathered}\right.\\ \cos x\ne 0\end{cases} \quad\Leftrightarrow\quad \begin{cases} \left[\begin{gathered}\begin{aligned} &x=\pi n, n\in\mathbb{Z}\\ &x=2\pi m, m\in\mathbb{Z} \end{aligned}\end{gathered}\right.\\[3ex] x\ne \dfrac{\pi}2+\pi k, k\in\mathbb{Z}\end{cases}\)   Для того, чтобы получить окончательный ответ, отметим решение на окружности:


 

Видим, что серия \(x=2\pi m\) входит в серию \(x=\pi n\). Следовательно, окончательный ответ \[x=\pi n, n\in\mathbb{Z}.\]

б) Отберем корни.

 

\(-\dfrac{\pi}2<\pi n<\dfrac{\pi}2\quad\Leftrightarrow\quad -\dfrac12<n<\dfrac12 \quad\Rightarrow\quad n=0.\) Следовательно, \(x=0\).

Ответ:

а) \(x=\pi n, n\in\mathbb{Z}\)

 

б) \(0\)

Задание 12
Уровень задания: Равен ЕГЭ

а) Решите уравнение \[\mathrm{tg}\,2x+\sin 2x=0\]

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку \([-3\pi;-2\pi).\)

Добавить задание в избранное

а) Так как \(\mathrm{tg}\,2x=\dfrac{\sin 2x}{\cos 2x}\), то уравнение, сделав замену \(2x=t\), можно переписать в виде  

\(\dfrac{\sin t}{\cos t}+\sin t=0 \quad\Leftrightarrow\quad \dfrac{\sin t+\sin t\cos t}{\cos t}=0\quad\Leftrightarrow\quad \dfrac{\sin t\cdot (1+\cos t)}{\cos t}=0 \quad\Leftrightarrow\)  

\(\Leftrightarrow \quad \begin{cases} \left[\begin{gathered}\begin{aligned} &\sin t=0\\ &\cos t=-1 \end{aligned}\end{gathered}\right.\\ \cos t\ne 0\end{cases} \quad\Leftrightarrow\quad \begin{cases} \left[\begin{gathered}\begin{aligned} &t=\pi n, n\in\mathbb{Z}\\ &t=\pi+2\pi m, m\in\mathbb{Z} \end{aligned}\end{gathered}\right.\\[3ex] t\ne \dfrac{\pi}2+\pi k, k\in\mathbb{Z}\end{cases}\)   Для того, чтобы получить окончательный ответ, отметим решение для \(t\) на окружности:


 

Видим, что серия \(t=\pi+2\pi m\) входит в серию \(t=\pi n\). Следовательно, окончательный ответ \[t=\pi n \quad\Rightarrow\quad x=\dfrac{\pi}2\cdot n, n\in\mathbb{Z}.\]

б) Отберем корни.

 

\(-3\pi\leqslant \dfrac{\pi}2\cdot n<-2\pi \quad\Leftrightarrow\quad -6\leqslant n<-4 \quad\Rightarrow\quad n=-6; \ -5.\) Следовательно, \(x=-3\pi; \ -\dfrac{5\pi}2.\)

Ответ:

а) \(\dfrac{\pi}2n, n\in\mathbb{Z}\)

 

б) \(-3\pi; \ -\dfrac{5\pi}2\)

Задание 13
Уровень задания: Равен ЕГЭ

а) Решите уравнение \[\dfrac{2\cos^2x-1-\sin4x}{2\sin3x-\sqrt2}=0\]

б) Найдите все его корни, принадлежащие промежутку \(\left[\dfrac{19\pi}4;\dfrac{23\pi}4\right]\).

Добавить задание в избранное

а) ОДЗ: \(\sin 3x\ne \dfrac{\sqrt2}2\). Решим на ОДЗ.

На ОДЗ данное уравнение равносильно уравнению:

\[2\cos^2x-1-\sin4x=0 \Rightarrow \cos2x-\sin4x=0 \ \text{(т.к. по формуле двойного угла } \cos2x=2\cos^2x-1)\]

\[\cos2x-2\sin2x\cos2x=0 \Rightarrow \cos2x(1-2\sin2x)=0 \Rightarrow \left[ \begin{gathered}\begin{aligned} &\cos2x=0\\ &\sin2x=\dfrac12 \end{aligned} \end{gathered}\right. \Rightarrow \left[ \begin{gathered}\begin{aligned} &x=\dfrac{\pi}4+\dfrac{\pi}2n , n\in\mathbb{Z}\\ &x=\dfrac{\pi}{12}+\pi m, m\in\mathbb{Z}\\ &x=\dfrac{5\pi}{12}+\pi k, k\in\mathbb{Z} \end{aligned} \end{gathered}\right.\]

Решим ОДЗ: \(\sin 3x\ne \dfrac{\sqrt2}2 \Rightarrow x'\ne \dfrac{\pi}{12}+\dfrac23\pi p, p\in\mathbb{Z}, \ x''\ne \dfrac{\pi}4+\dfrac23\pi l, l\in\mathbb{Z}\)

 

Пересечем полученные корни с ОДЗ. Для этого отметим все эти точки на окружности: корни уравнения — зеленые, а корни ОДЗ – красными.


 

Таким образом, итоговый ответ: \[\begin{aligned} &x_1=\dfrac{5\pi}{12}+2\pi n, n\in\mathbb{Z}\\ &x_2=\dfrac{13\pi}{12}+2\pi m, m\in\mathbb{Z}\\ &x_2=\dfrac{5\pi}4+2\pi k, k\in\mathbb{Z}\\ &x_4=\dfrac{7\pi}4+2\pi l, l\in\mathbb{Z} \end{aligned}\]

б) Отберем корни:

 

1) \(\dfrac{19\pi}4\leqslant x_1\leqslant \dfrac{23\pi}4 \Rightarrow \dfrac{13}6\leqslant n \leqslant \dfrac83 \Rightarrow n\in\varnothing\)

 

2) \(\dfrac{19\pi}4\leqslant x_2\leqslant \dfrac{23\pi}4\Rightarrow \dfrac{11}6\leqslant m \leqslant \dfrac{7}3 \Rightarrow m=2 \Rightarrow x=\dfrac{61\pi}{12}\)

 

3) \(\dfrac{19\pi}4\leqslant x_3\leqslant \dfrac{23\pi}4 \Rightarrow \dfrac74\leqslant k\leqslant \dfrac94 \Rightarrow k=2 \Rightarrow x=\dfrac{21\pi}4\)

 

4) \(\dfrac{19\pi}4\leqslant x_4\leqslant \dfrac{23\pi}4 \Rightarrow \dfrac32\leqslant l\leqslant 2 \Rightarrow l=2 \Rightarrow x=\dfrac{23\pi}4\)

Ответ:

а) \(\dfrac{5\pi}{12}+2\pi n, \dfrac{13\pi}{12}+2\pi m, \dfrac{5\pi}4+2\pi k, \dfrac{7\pi}4+2\pi l, \ n,m,k,l\in\mathbb{Z}\)

 

б) \(\dfrac{61\pi}{12};\dfrac{21\pi}4;\dfrac{23\pi}4\)

Задание 14
Уровень задания: Равен ЕГЭ

a) Решите уравнение \[\begin{aligned} \sin{(2x)} + \cos{(2x)} + 1 = 0. \end{aligned}\]

б) Найдите все его корни, принадлежащие промежутку \((0; \pi)\).

Добавить задание в избранное

ОДЗ: \(x\) – произвольное. Решим на ОДЗ:

а) Воспользуемся формулами для косинуса двойного угла и синуса двойного угла: \[\begin{aligned} &2\sin{x}\cdot \cos{x} + 2\cos^2{x} - 1 + 1 = 0.\\ &2\cos{x}\cdot (\sin{x} + \cos{x}) = 0. \end{aligned}\] Произведение выражений равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы одно из них равно нулю и все они не теряют смысла, следовательно, или \(\cos{x} = 0\), или \(\sin{x} + \cos{x} = 0\).

 

В случае \(\cos{x} = 0\):
решениями будут \(x = \dfrac{\pi}{2} +\pi k\), где \(k\in\mathbb{Z}\).

 

В случае \(\sin{x} + \cos{x} = 0\):
равенство можно разделить на \(\cos{x}\) (так как если \(\cos{x} = 0\) является решением, то из этого равенства следует, что и \(\sin x=0\); но тогда мы получаем противоречие с основным тригонометрическим тождеством: \(0^2+0^2=1\)).

После деления имеем: \(\mathrm{tg}\, x = -1\), откуда получаем \(x = -\dfrac{\pi}{4} +\pi k\), где \(k\in\mathbb{Z}\) – подходят по ОДЗ.

 

б) \[0 < \dfrac{\pi}{2} + \pi k < \pi\qquad\Leftrightarrow\qquad -\dfrac{\pi}{2} < \pi k < \dfrac{\pi}{2}\qquad\Leftrightarrow\qquad -\dfrac{1}{2} < k < \dfrac{1}{2},\] но \(k\in\mathbb{Z}\), тогда на интервал \((0; \pi)\) попадает только корень при \(k = 0\): \(x = \dfrac{\pi}{2}\).

\[0 < -\dfrac{\pi}{4} +\pi k < \pi\qquad\Leftrightarrow\qquad \dfrac{\pi}{4} < \pi k < \pi + \dfrac{\pi}{4}\qquad\Leftrightarrow\qquad \dfrac{1}{4} < k < 1\dfrac{1}{4},\] но \(k\in\mathbb{Z}\), тогда на интервал \((0; \pi)\) попадает только корень при \(k = 1\): \(x = \dfrac{3\pi}{4}\).

Ответ:

а) \(\dfrac{\pi}{2} + \pi k\), \(-\dfrac{\pi}{4} + \pi k\), где \(k\in\mathbb{Z}\)

б) \(\dfrac{\pi}{2}\), \(\dfrac{3\pi}{4}\)

1 2 3 4