а) Решите уравнение \[2\cos 2x\sin x-\sqrt3\sin x+2\cos 2x=\sqrt3\]
б) Найдите все его корни, принадлежащие промежутку \(\left[-\dfrac{\pi}2; \dfrac{3\pi}2\right)\).
а) ОДЗ: \(x\) – произвольное. Решим на ОДЗ.
Перенесем все слагаемые в левую часть и вынесем общие множители за скобки:
\(2\cos2x(\sin x+1) -\sqrt3(\sin x+1)=0 \Rightarrow (\sin x+1)(2\cos 2x-\sqrt3)=0 \Rightarrow\)
\(\left[ \begin{gathered}\begin{aligned} &\sin x=-1\\ &\cos 2x=\dfrac{\sqrt3}2 \end{aligned} \end{gathered}\right. \quad \Rightarrow\quad \left[ \begin{gathered}\begin{aligned} &x_1=-\dfrac{\pi}2+2\pi n, n\in\mathbb{Z}\\ &x_2=\dfrac{\pi}{12}+\pi m, m\in\mathbb{Z}\\ &x_3=-\dfrac{\pi}{12}+\pi k, k\in\mathbb{Z} \end{aligned} \end{gathered}\right. \)
б) Отберем корни:
1) \(-\dfrac{\pi}2\leqslant x_1<\dfrac{3\pi}2 \Rightarrow 0\leqslant n<1 \Rightarrow n=0 \Rightarrow x=-\dfrac{\pi}2\)
2) \(-\dfrac{\pi}2\leqslant x_2<\dfrac{3\pi}2 \Rightarrow -\dfrac7{12}\leqslant m<\dfrac{17}{12} \Rightarrow m=0;1 \Rightarrow x=\dfrac{\pi}{12}; \dfrac{13\pi}{12}\)
3) \(-\dfrac{\pi}2\leqslant x_3<\dfrac{3\pi}2 \Rightarrow -\dfrac5{12}\leqslant k<\dfrac{19}{12} \Rightarrow k=0;1 \Rightarrow x=-\dfrac{\pi}{12}; \dfrac{11\pi}{12}\)
Ответ:
а) \(-\dfrac{\pi}2+2\pi n, \dfrac{\pi}{12}+\pi m, -\dfrac{\pi}{12}+\pi k, \ n,m,k\in\mathbb{Z}\)
б) \(-\dfrac{\pi}2; -\dfrac{\pi}{12};\dfrac{\pi}{12};\dfrac{11\pi}{12}\dfrac{13\pi}{12}\)