Математика
Русский язык

13. Решение уравнений

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Разложение на множители тригонометрических уравнений (страница 3)

\(\blacktriangleright\) Напомним стандартные тригонометрические уравнения:
\[\begin{array}{l|c|c} \hline \text{Уравнение} & \text{Ограничения} & \text{Решение}\\ \hline &&\\ \sin x=a & -1\leq a\leq 1 & \left[ \begin{gathered} \begin{aligned} &x=\arcsin a+2\pi n\\ &x=\pi -\arcsin a+2\pi n \end{aligned} \end{gathered} \right. \ \ , \ n\in \mathbb{Z}\\&&\\ \hline &&\\ \cos x=a & -1\leq a\leq 1 & x=\pm \arccos a+2\pi n, \ n\in \mathbb{Z}\\&&\\ \hline &&\\ \mathrm{tg}\, x=a & a\in \mathbb{R} & x=\mathrm{arctg}\, a+\pi n, \ n\in \mathbb{Z}\\&&\\ \hline &&\\ \mathrm{ctg}\,x=a & a\in \mathbb{R} & x=\mathrm{arcctg}\, a+\pi n, \ n\in \mathbb{Z}\\&&\\ \hline \end{array}\] Иногда для более короткой записи ответ для \(\sin x=a\) записывают как
\(x=(-1)^k\cdot \arcsin a+\pi k, \ k\in \mathbb{Z}\).

 

\(\blacktriangleright\) Разложить на множители выражение — это значит представить его в виде произведения нескольких множителей.
Основная формула \[a\cdot b+a\cdot c=a\cdot (b+c)\]

\(\blacktriangleright\) Произведение нескольких множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из них равен нулю, а остальные при этом не теряют смысла!: \[f(x)\cdot g(x)=0 \ \Longleftrightarrow \ \begin{cases} \left[ \begin{gathered} \begin{aligned} &f(x)=0\\ &g(x)=0\\ \end{aligned} \end{gathered} \right.\\\text{ОДЗ} \end{cases}\]

 

\(\blacktriangleright\) Частное двух выражений равно нулю тогда и только тогда, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. \[\dfrac{f(x)}{g(x)}=0 \ \Longleftrightarrow \ \begin{cases} f(x)=0\\ g(x)\ne 0 \end{cases}\]

Задание 15
Уровень задания: Равен ЕГЭ

a) Решите уравнение

\[\begin{aligned} \dfrac{\sin{(2x)} - 2\cos{x}}{\sin{x} - 1} = 0. \end{aligned}\]

б) Найдите все его корни, принадлежащие промежутку \((\pi; 2\pi]\).

Добавить задание в избранное

ОДЗ: \(\sin x \neq 1\). Решим на ОДЗ:

а) Воспользуемся формулой синуса двойного угла:

\[\begin{aligned} &\dfrac{2\sin{x}\cdot \cos{x} - 2\cos{x}}{\sin{x} - 1} = 0.\\ &2\cos{x} \cdot \dfrac{\sin{x} - 1}{\sin{x} - 1} = 0. \end{aligned}\]

Произведение выражений равно нулю в том и только том случае, когда хотя бы одно из них равно нулю и все они не теряют смысл, следовательно, на ОДЗ: \(\cos{x} = 0\), то есть

\[\begin{cases} \cos x = 0\\ \sin x \neq 1. \end{cases}\]

Отметим подходящие точки на тригонометрическом круге:


 

Таким образом, подходят только \(x = -\dfrac{\pi}{2} + 2\pi k\), где \(k\in\mathbb{Z}\).

 

б) \[\pi < -\dfrac{\pi}{2} + 2\pi k \leq 2\pi\qquad\Leftrightarrow\qquad \pi + \dfrac{\pi}{2} < 2\pi k \leq 2\pi + \dfrac{\pi}{2}\qquad\Leftrightarrow\qquad \dfrac{3}{4} < k \leq \dfrac{5}{4},\] но \(k\in\mathbb{Z}\), тогда на полуинтервал \((\pi; 2\pi]\) попадает только корень при \(k = 1\): \(x = \dfrac{3\pi}{2}\).

Ответ:

а) \(-\dfrac{\pi}{2} + 2\pi k\), где \(k\in\mathbb{Z}\).

б) \(\dfrac{3\pi}{2}\).

Задание 16
Уровень задания: Равен ЕГЭ

a) Решите уравнение

\[\begin{aligned} \sin(2x) + \sin x = 2\cos x + 1. \end{aligned}\]

б) Найдите все его корни, принадлежащие промежутку \(\left[-\pi; \dfrac{3\pi}{2}\right]\).

Добавить задание в избранное

ОДЗ: \(x\) – произвольное.
По формуле синуса двойного угла:
\[2\sin x\cdot\cos x + \sin x - 2\cos x - 1 = 0.\] Сгруппируем первое и второе слагаемые, а также третье и четвертое:

\[\begin{aligned} \sin x(2\cos x + 1) - (2\cos x + 1) = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad (\sin x - 1)(2\cos x + 1) = 0. \end{aligned}\]

Произведение выражений равно нулю в том и только том случае, когда хотя бы одно из них равно нулю и все они не теряют смысл:
\(\sin x - 1 = 0\) или \(2\cos x + 1 = 0\).

 

Решениями уравнения \(\sin x = 1\) являются \(x = \dfrac{\pi}{2} + 2\pi k, k\in\mathbb{Z}\).

 

Решения уравнения \(\cos x = a\) имеют вид: \(x = \pm\mathrm{arccos}\, a + 2\pi k\), где \(k\in\mathbb{Z}\), следовательно,   решения уравнения \(\cos x = -\dfrac{1}{2}\) имеют вид \(x = \pm\dfrac{2\pi}{3} + 2\pi k, k\in\mathbb{Z}\).

 

б) \[-\pi \leq \dfrac{\pi}{2} + 2\pi k \leq \dfrac{3\pi}{2}\qquad\Leftrightarrow\qquad -\dfrac{3}{4} \leq k \leq \dfrac{1}{2},\] но \(k\in\mathbb{Z}\), тогда подходит \(x\) при \(k = 0\): \(x = \dfrac{\pi}{2}\).

\[-\pi \leq \dfrac{2\pi}{3} + 2\pi n \leq \dfrac{3\pi}{2}\qquad\Leftrightarrow\qquad -\dfrac{5}{6} \leq n \leq \dfrac{5}{12},\] но \(k\in\mathbb{Z}\), тогда подходит \(x\) при \(n = 0\): \(x = \dfrac{2\pi}{3}\).

\[-\pi \leq -\dfrac{2\pi}{3} + 2\pi n \leq \dfrac{3\pi}{2}\qquad\Leftrightarrow\qquad -\dfrac{1}{6} \leq n \leq \dfrac{13}{12},\] но \(k\in\mathbb{Z}\), тогда подходят \(x\) при \(n = 0\) и \(n = 1\): \(x = -\dfrac{2\pi}{3}\), \(x = \dfrac{4\pi}{3}\).

Ответ:

а) \(\dfrac{\pi}{2} + 2\pi k\), \(\pm\dfrac{2\pi}{3} + 2\pi k, k\in\mathbb{Z}\).

б) \(\dfrac{\pi}{2}\), \(\dfrac{2\pi}{3}\), \(-\dfrac{2\pi}{3}\), \(\dfrac{4\pi}{3}\).

Задание 17
Уровень задания: Равен ЕГЭ

a) Решите уравнение

\[\begin{aligned} 3\sin x + \dfrac{\cos (2x)}{\sin x} = -2 \end{aligned}\]

б) Найдите все его корни, принадлежащие промежутку \([-\pi; \pi]\).

Добавить задание в избранное

ОДЗ: \(\sin x\neq 0\). Решим на ОДЗ:

а) Перенесём всё влево и приведём к общему знаменателю:

\[\begin{aligned} \dfrac{3\sin^2 x + \cos (2x) + 2\sin x}{\sin x} = 0 \end{aligned}\]

Так как \(\cos (2x) = 1 - 2\sin^2 x\), то последнее уравнение можно переписать в виде

\[\begin{aligned} \dfrac{\sin^2 x + 2\sin x + 1}{\sin x} = 0 \label{Start} \end{aligned}\]

Используя формулу для квадрата суммы, получим, что уравнение  эквивалентно уравнению

\[\begin{aligned} \dfrac{(\sin x + 1)^2}{\sin x} = 0 \end{aligned}\]

Произведение выражений равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы одно из них равно нулю и все они не теряют смысла, следовательно, на ОДЗ: \(\sin x = -1\).

Отметим подходящие точки на тригонометрическом круге:


 

Таким образом, решениями будут \[x = -\dfrac{\pi}{2} + 2\pi k, k\in\mathbb{Z}.\]

б) \[-\pi\leq -\dfrac{\pi}{2} + 2\pi k\leq\pi\qquad\Leftrightarrow\qquad -\dfrac{\pi}{2}\leq 2\pi k\leq \dfrac{3\pi}{2}\qquad\Leftrightarrow\qquad -\dfrac{1}{4}\leq k\leq \dfrac{3}{4},\] но \(k\in\mathbb{Z}\), тогда на отрезок \([-\pi; \pi]\) попадает только решение при \(k = 0\), то есть \(x = -\dfrac{\pi}{2}\).

Ответ:

а) \(x = -\dfrac{\pi}{2} + 2\pi k\), где \(k\in\mathbb{Z}\).

б) \(-\dfrac{\pi}{2}\).

Задание 18
Уровень задания: Равен ЕГЭ

а) Решите уравнение \(5\sin x+3\sin^2x=0\).

 

б) Найдите все его корни, принадлежащие промежутку \((-7;0)\).

Добавить задание в избранное

а) Вынесем множитель \(\sin x\) за скобки:

\[\sin x\cdot (5+3\sin x)=0 \quad \Rightarrow \quad \left[ \begin{gathered} \begin{aligned} &\sin x=0\\ &5+3\sin x=0 \end{aligned} \end{gathered} \right. \quad \Rightarrow \quad \left[ \begin{gathered} \begin{aligned} &\sin x=0\\[2ex] &\sin x=-\dfrac53 \end{aligned} \end{gathered} \right.\]

Заметим, что т.к. область значений синуса – это отрезок \([-1;1]\), то второе уравнение решений не имеет. Следовательно, решением данной совокупности является решение первого уравнения:

\[\sin x=0 \quad \Rightarrow \quad x=\pi n, n\in\mathbb{Z}\]

б) Отберем корни:

\[-7<\pi n<0 \quad \Rightarrow \quad -\dfrac7{\pi}<n<0\]

Т.к. \(2\pi<7<3\pi\), то \(-\dfrac{3\pi}{\pi}<-\dfrac7{\pi}<-\dfrac{2\pi}{\pi}\), что равносильно \(-3<-\dfrac7{\pi}<-2\).

 

Таким образом, целые \(n\), принадлежащие полученному промежутку, это \(n=-2;-1\). При этих значениях \(n\) получаем корни \(x=-2\pi; -\pi\).

Ответ:

а) \(\pi n, n\in\mathbb{Z}\)

б) \(-2\pi; -\pi\)

Задание 19
Уровень задания: Равен ЕГЭ

a) Решите уравнение

\[\begin{aligned} \dfrac{\cos x}{1 - \sin^2 x - \cos x} = \dfrac{\sin (2x)}{1 - \sin^2 x - \cos x} \end{aligned}\]

б) Найдите все его корни, принадлежащие промежутку \(\left(-2\pi; -\dfrac{3\pi}{2}\right)\).

Добавить задание в избранное

ОДЗ: \(1 - \sin^2 x - \cos x\neq 0\). Решим на ОДЗ:

а) Перенесём всё влево и приведём к общему знаменателю:

\[\begin{aligned} \dfrac{\cos x - \sin(2x)}{1 - \sin^2 x - \cos x} = 0 \end{aligned}\]

Воспользуемся формулой для синуса двойного угла:

\[\begin{aligned} \dfrac{\cos x(1 - 2\sin x)}{1 - \sin^2 x - \cos x} = 0 \end{aligned}\]

Произведение выражений равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы одно из них равно нулю и все они не теряют смысла, следовательно, на ОДЗ: или \(\cos{x} = 0\), или \(\sin x = 0,5\).

 

Рассмотрим ОДЗ: \(1 - \sin^2 x - \cos x\neq 0\),
что в силу основного тригонометрического тождества равносильно \(\cos^2 x - \cos x\neq 0\), что равносильно \(\cos x(\cos x - 1)\neq 0\), что равносильно системе

\[\begin{cases} \cos x \neq 0\\ \cos x \neq 1. \end{cases}\]

Отметим подходящие точки на тригонометрическом круге:


 

Таким образом, решениями будут \(\mathrm{arcsin}\, 0,5 + 2\pi k\), \(k\in\mathbb{Z}\) и \(\pi - \mathrm{arcsin}\, 0,5 + 2\pi k\), \(k\in\mathbb{Z}\), то есть \[x = \dfrac{\pi}{6} + 2\pi k, k\in\mathbb{Z},\qquad x = \dfrac{5\pi}{6} + 2\pi k, k\in\mathbb{Z}.\]

 

б) \[-2\pi < \dfrac{\pi}{6} + 2\pi k < -\dfrac{3\pi}{2}\qquad\Leftrightarrow\qquad -\dfrac{13\pi}{6} < 2\pi k < -\dfrac{10\pi}{6}\qquad\Leftrightarrow\qquad -\dfrac{13}{12} < k < -\dfrac{10}{12},\] но \(k\in\mathbb{Z}\), тогда на интервал \(\left(-2\pi; -\dfrac{3\pi}{2}\right)\) попадает только решение при \(k = -1\): \(x = -\dfrac{11\pi}{6}\).

\[-2\pi < \dfrac{5\pi}{6} + 2\pi k < -\dfrac{3\pi}{2}\qquad\Leftrightarrow\qquad -\dfrac{17\pi}{6} < 2\pi k < -\dfrac{14\pi}{6}\qquad\Leftrightarrow\qquad -\dfrac{17}{12} < k < -\dfrac{14}{12},\] но \(k\in\mathbb{Z}\), следовательно, решения вида \(x = \dfrac{5\pi}{6} + 2\pi k\), \(k\in\mathbb{Z}\) на интервал \(\left(-2\pi; -\dfrac{3\pi}{2}\right)\) не попадают.

Ответ:

а) \(x = \dfrac{\pi}{6} + 2\pi k\), \(x = \dfrac{5\pi}{6} + 2\pi k\), где \(k\in\mathbb{Z}\).

б) \(-\dfrac{11\pi}{6}\).

Задание 20
Уровень задания: Равен ЕГЭ

а) Решите уравнение \[\dfrac{\sin 3x+\sin x}{\sin x-1}=0\]

б) Найдите наибольший отрицательный корень данного уравнения.

Добавить задание в избранное

а) По формуле синуса тройного угла \(\sin3x=3\sin x-4\sin^3x\), следовательно: \[\dfrac{4\sin x-4\sin^3x}{\sin x-1}=0 \quad\Leftrightarrow\quad \dfrac{4\sin x(1-\sin^2x)}{\sin x-1}=0\quad\Leftrightarrow\quad \dfrac{\sin x(1-\sin x)(1+\sin x)}{\sin x-1}=0\] Данное уравнение равносильно системе: \[\begin{cases} \sin x\ne 1\\ \left[\begin{gathered}\begin{aligned} &\sin x=0\\ &\sin x=-1\end{aligned}\end{gathered}\right. \end{cases} \quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin{gathered}\begin{aligned} &x=\pi m, m\in\mathbb{Z}\\[2ex] &x=-\dfrac{\pi}2+2\pi n, n\in\mathbb{Z} \end{aligned}\end{gathered}\right.\]

б) Отберем корни.

 

\(\pi m<0 \quad\Leftrightarrow\quad m<0\quad\Rightarrow\quad m_{max}=-1\quad\Rightarrow\quad x_{max}=-\pi\)

 

\(-\dfrac{\pi}2+2\pi n<0\quad\Leftrightarrow\quad n<\dfrac14\quad\Rightarrow\quad n_{max}=0\quad\Rightarrow\quad x_{max}=-\dfrac{\pi}2\)

 

Заметим, что среди найденных в каждой серии наибольших отрицательных корней самым большим является \(-\dfrac{\pi}2\).

Ответ:

а) \(-\dfrac{\pi}2+2\pi n; \ \pi m, \quad n,m\in\mathbb{Z}\)

б) \(-\dfrac{\pi}2\)

Задание 21
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

а) Решите уравнение \[3\sin x+3\sqrt3\cos x=\sqrt3+\mathrm{tg}\,x\]

б) Найдите все его корни, принадлежащие промежутку \(\left(-\dfrac{\pi}2;\pi\right]\).

Добавить задание в избранное

а) ОДЗ: \(\cos x\ne 0\). Решим на ОДЗ. Т.к. на ОДЗ \(\sin x=\dfrac{\sin x\cos x}{\cos x}=\mathrm{tg}\, x\cos x\Rightarrow \)

\[3\cos x\mathrm{tg}\,x +3\sqrt3\cos x-\sqrt3-\mathrm{tg}\,x=0 \Rightarrow (\mathrm{tg}\,x+\sqrt3)(3\cos x-1)=0 \Rightarrow\]

\[\left[ \begin{gathered}\begin{aligned} &\mathrm{tg}\,x=-\sqrt3\\ &\cos x=\dfrac13 \end{aligned} \end{gathered}\right. \quad \Rightarrow\quad \left[ \begin{gathered}\begin{aligned} &x=-\dfrac{\pi}3+\pi n, n\in\mathbb{Z}\\ &x=\pm \arccos \dfrac13+2\pi m, m\in\mathbb{Z} \end{aligned} \end{gathered}\right.\]

Т.к. по ОДЗ \(\cos x\ne 0 \Rightarrow x\ne \dfrac{\pi}2+\pi k, k\in\mathbb{Z}\), то полученные корни удовлетворяют ОДЗ.

 

б) Отберем корни:

 

1) \(-\dfrac{\pi}2<-\dfrac{\pi}3+\pi n\leqslant \pi \Rightarrow -\dfrac16<n\leqslant \dfrac43 \Rightarrow n=0;1 \Rightarrow x=-\dfrac{\pi}3; \dfrac{2\pi}3\)

 

2) Обозначим \(\arccos \dfrac13=\alpha\).

 

\(-\dfrac{\pi}2<\alpha+2\pi m_1\leqslant \pi \Rightarrow -\dfrac14-\dfrac{\alpha}{2\pi}<m_1\leqslant \dfrac12-\dfrac{\alpha}{2\pi}\)

 

Т.к. в первой четверти косинус убывает и \(\dfrac13<\dfrac12\), то \(\dfrac{\pi}3<\alpha<\dfrac{\pi}2 \Longrightarrow -\dfrac14<-\dfrac{\alpha}{2\pi}<-\dfrac16 \Rightarrow \) можно условно сказать, что

 

\(-\dfrac14-\dfrac{\alpha}{2\pi}=-0,...\) и \(\dfrac12-\dfrac{\alpha}{2\pi}=0,...\). Значит, \(m_1=0 \Rightarrow x=\alpha=\arccos \dfrac13\)

 

3) \(-\dfrac{\pi}2<-\alpha+2\pi m_2\leqslant \pi \Rightarrow -\dfrac14+\dfrac{\alpha}{2\pi}<m_2\leqslant \dfrac12+\dfrac{\alpha}{2\pi}\)

 

Аналогично, \(-\dfrac14+\dfrac{\alpha}{2\pi}=-0,...\) и \(\dfrac12+\dfrac{\alpha}{2\pi}=0,...\), следовательно, \(m_2=0 \Rightarrow x=-\arccos \dfrac13\).

Ответ:

а) \(-\dfrac{\pi}3+\pi n, \pm \arccos \dfrac13+2\pi m, \ n,m\in\mathbb{Z}\)

 

б) \(-\arccos\dfrac13; -\dfrac{\pi}3; \arccos \dfrac13; \dfrac{2\pi}3\)

1 2 3 4