Математика
Русский язык

13. Решение уравнений

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Разложение на множители тригонометрических уравнений (страница 4)

\(\blacktriangleright\) Напомним стандартные тригонометрические уравнения:
\[\begin{array}{l|c|c} \hline \text{Уравнение} & \text{Ограничения} & \text{Решение}\\ \hline &&\\ \sin x=a & -1\leq a\leq 1 & \left[ \begin{gathered} \begin{aligned} &x=\arcsin a+2\pi n\\ &x=\pi -\arcsin a+2\pi n \end{aligned} \end{gathered} \right. \ \ , \ n\in \mathbb{Z}\\&&\\ \hline &&\\ \cos x=a & -1\leq a\leq 1 & x=\pm \arccos a+2\pi n, \ n\in \mathbb{Z}\\&&\\ \hline &&\\ \mathrm{tg}\, x=a & a\in \mathbb{R} & x=\mathrm{arctg}\, a+\pi n, \ n\in \mathbb{Z}\\&&\\ \hline &&\\ \mathrm{ctg}\,x=a & a\in \mathbb{R} & x=\mathrm{arcctg}\, a+\pi n, \ n\in \mathbb{Z}\\&&\\ \hline \end{array}\] Иногда для более короткой записи ответ для \(\sin x=a\) записывают как
\(x=(-1)^k\cdot \arcsin a+\pi k, \ k\in \mathbb{Z}\).

 

\(\blacktriangleright\) Разложить на множители выражение — это значит представить его в виде произведения нескольких множителей.
Основная формула \[a\cdot b+a\cdot c=a\cdot (b+c)\]

\(\blacktriangleright\) Произведение нескольких множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из них равен нулю, а остальные при этом не теряют смысла!: \[f(x)\cdot g(x)=0 \ \Longleftrightarrow \ \begin{cases} \left[ \begin{gathered} \begin{aligned} &f(x)=0\\ &g(x)=0\\ \end{aligned} \end{gathered} \right.\\\text{ОДЗ} \end{cases}\]

 

\(\blacktriangleright\) Частное двух выражений равно нулю тогда и только тогда, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. \[\dfrac{f(x)}{g(x)}=0 \ \Longleftrightarrow \ \begin{cases} f(x)=0\\ g(x)\ne 0 \end{cases}\]

Задание 22
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

а) Решите уравнение \[\sin x+\sin 3x+\cos x=0\]

б) Найдите все его корни, принадлежащие промежутку \(\left(-\dfrac{3\pi}2;\pi\right)\).

Добавить задание в избранное

а) ОДЗ: \(x\) – произвольное. Решим на ОДЗ.

Применим формулу суммы синусов: \(\sin\alpha+\sin \beta=2\sin \dfrac{\alpha+\beta}2\cos \dfrac{\alpha-\beta}2\) и получим:

\[2\sin 2x\cos x+\cos x=0 \Rightarrow \cos x\,(2\sin 2x+1)=0 \Rightarrow \left[ \begin{gathered}\begin{aligned} &\cos x=0\\ &\sin 2x=-\dfrac12 \end{aligned} \end{gathered}\right. \Rightarrow \left[ \begin{gathered}\begin{aligned} &x_1=\dfrac{\pi}2+\pi n, n\in\mathbb{Z}\\ &x_2=-\dfrac{\pi}{12}+\pi m, m\in\mathbb{Z}\\ &x_3=-\dfrac{5\pi}{12}+\pi k, k\in\mathbb{Z} \end{aligned} \end{gathered}\right.\]

б) Отберем корни по окружности:


 

Отметим дугу, соответствующую промежутку \(\left(-\dfrac{3\pi}2;\pi\right)\): она отмечена голубым цветом (причем концы дуги выколоты). Таким образом, мы по одному разу проходимся по \(I, III, IV\) четвертям и два раза по \(II\) четверти.

 

Углы, попадающие на эту дугу:

 

\[\dfrac{7\pi}{12}-2\pi; \ \dfrac{11\pi}{12}-2\pi; \ -\dfrac{\pi}2; \ -\dfrac{5\pi}{12}; \ -\dfrac{\pi}{12}; \ \dfrac{\pi}2; \ \dfrac{7\pi}{12}; \ \dfrac{11\pi}{12}\]

Ответ:

а) \(\dfrac{\pi}2+\pi n, -\dfrac{\pi}{12}+\pi m, -\dfrac{5\pi}{12}+\pi k, \ n,m,k\in\mathbb{Z}\)

 

б) \(-\dfrac{17\pi}{12}; \ -\dfrac{13\pi}{12}; \ -\dfrac{\pi}2; \ -\dfrac{5\pi}{12}; \ -\dfrac{\pi}{12}; \ \dfrac{\pi}2; \ \dfrac{7\pi}{12}; \ \dfrac{11\pi}{12}\)

Задание 23
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

а) Решите уравнение \[\dfrac{2\cos 3x+2\cos x}{\cos x}=0\]

б) Найдите все его корни, принадлежащие промежутку \((0;3)\).

Добавить задание в избранное

а) ОДЗ: \(\cos x\ne 0\). Решим на ОДЗ.

\[2\cos 3x+2\cos x=0 \Rightarrow \text{по формуле тройного угла для косинуса: } 2(4\cos^3x-3\cos x)+2\cos x=0 \Rightarrow\]

\[\cos x(8\cos^2x-4)=0 \Rightarrow \left[ \begin{gathered}\begin{aligned} &\cos x=0\\ &\cos^2x=\dfrac12 \end{aligned} \end{gathered}\right. \Rightarrow\]

Т.к. по ОДЗ \(\cos x\ne 0 \Rightarrow \) решением будет только \(\cos^2x=\dfrac12 \Rightarrow \cos x=\pm \dfrac{\sqrt2}2 \Rightarrow x=\dfrac{\pi}4+\dfrac{\pi}2n, n\in\mathbb{Z}\)

 

б) Отберем корни:

 

\(0<\dfrac{\pi}4+\dfrac{\pi}2n<3 \Rightarrow -\dfrac12<n<-\dfrac12+\dfrac6{\pi} \Rightarrow n=0;1 \Rightarrow x=\dfrac{\pi}4; \dfrac{3\pi}4\)

Ответ:

а) \(\dfrac{\pi}4+\dfrac{\pi}2n, n\in\mathbb{Z}\)

 

б) \(\dfrac{\pi}4; \dfrac{3\pi}4\)

Задание 24
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

а) Решите уравнение \[\sin 5x\cdot \cos 2x=\sin 3x\]

б) Укажите все его корни, принадлежащие промежутку \([2014\pi; 2016\pi].\)

 

(Задача от подписчиков)

Добавить задание в избранное

а) Представим \(\sin 3x=\sin(5x-2x)=\sin 5x\cos 2x-\sin 2x\cos 5x\), тогда уравнение перепишется в виде: \[\sin 5x\cdot \cos 2x=\sin 5x\cdot \cos 2x-\sin 2x\cdot \cos 5x \quad\Leftrightarrow\quad \sin 2x\cdot \cos 5x=0 \quad\Leftrightarrow\] \[\Leftrightarrow\quad \left[ \begin{gathered}\begin{aligned} &2x=\pi n, n\in\mathbb{Z}\\[1ex] & 5x=\dfrac{\pi}2+\pi m, m\in\mathbb{Z} \end{aligned} \end{gathered}\right. \quad\Leftrightarrow\quad \left[ \begin{gathered}\begin{aligned} & x=\dfrac{\pi}2 n, n\in\mathbb{Z}\\[1ex] & x=\dfrac{\pi}{10}+\dfrac{\pi}5 m, m\in\mathbb{Z} \end{aligned} \end{gathered}\right.\]

б) Отберем корни.   \(\begin{aligned} & 2014\pi \leqslant \dfrac{\pi}2n\leqslant 2016\pi \quad\Leftrightarrow\quad 4028\leqslant n\leqslant 4032 \quad\Rightarrow\quad n=4028; \ 4029; \ 4030; \ 4031; \ 4032 \quad\Rightarrow\\[2ex] &\Rightarrow\quad x=2014\pi; \ 2014,5\pi; \ 2015\pi; \ 2015,5\pi; \ 2016\pi.\\[2ex] & 2014\pi\leqslant \dfrac{\pi}{10}+\dfrac{\pi}5m\leqslant 2016\pi \quad\Leftrightarrow\quad 10069,5\leqslant m\leqslant 10079,5 \quad\Rightarrow\\[2ex] &\Rightarrow\quad m=10070; \ 10071; \ 10072; \ 10073; \ 10074; \ 10075; \ 10076; \ 10077; \ 10078; \ 10079 \quad\Rightarrow\\[2ex] &\Rightarrow\quad x=2014,1\pi; \ 2014,3\pi; \ 2014,5\pi; \ 2014,7\pi; \ 2014,9\pi; \ 2015,1\pi; \ 2015,3\pi; \ 2015,5\pi; \ 2015,7\pi; \ 2015,9\pi. \end{aligned}\)

Ответ:

а) \(\dfrac{\pi}2 n; \ \dfrac{\pi}{10}+\dfrac{\pi}5 m, n,m\in\mathbb{Z}\)  

Задание 25
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

a) Решите уравнение

\[\begin{aligned} 2^{n+m}\sin^{2n}x\cdot\cos^{2m} (2x)\cdot\sin^{2m}(2x)\cdot\cos^n x = 1^{3n}, \end{aligned}\]

где \(n, m\in\mathbb{N}\) – такие, что \(96n = 2^{2017}\cdot 123456789\), \(n^{2017} = \dfrac{\sqrt{m}}{2017}\).

б) Найдите все его корни, принадлежащие промежутку \([-2016\pi; 2017\pi]\).

Добавить задание в избранное

ОДЗ: \(x\) – произвольное. Решим на ОДЗ:

а) Исходное уравнение можно переписать в виде

\[2^n\sin^{2n}x\cdot\cos^n x\cdot 2^m\sin^{2m}(2x)\cdot\cos^{2m} (2x) = 1,\]

что равносильно

\[(2\sin x\cdot\cos x)^n\cdot\sin^n x\cdot (2\sin (2x)\cdot\cos (2x))^m\sin^{m}(2x)\cdot\cos^{m} (2x) = 1,\]

что равносильно

\[\sin^n (2x)\cdot\sin^n x\cdot \sin^m (4x)\cdot\sin^{m}(2x)\cdot\cos^{m} (2x) = 1.\]

Так как в произведении в левой части стоят \(2n + 3m\) множителей, модули которых не больше \(1\), а правая часть равна \(1\), то модули каждого из множителей в левой части должны быть равны \(1\) (иначе модуль левой части будет меньше 1, а модуль правой равен 1 и равенство невозможно).

 

Заметим, однако, что \(|\sin x|\) и \(|\sin 2x|\) не могут одновременно быть равны 1, так как если \(|\sin x| = 1\), то из основного тригонометрического тождества следует, что \(\cos x = 0\), тогда \(|\sin 2x| = |2\sin x\cdot\cos x| = 0\). Отсюда следует, что у данного уравнения нет решений ни при каких \(n, m\in\mathbb{N}\).

Ответ:

а) \(\varnothing\)

б) \(\varnothing\)