Математика
Русский язык

13. Решение уравнений

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Сведение тригонометрических уравнений к квадратному или кубическому уравнению (страница 2)

\(\blacktriangleright\) Пример квадратного тригонометрического уравнения: \[a\sin^2x+b\sin x+c=0, \ \ \ a\ne 0\] Для решения данного уравнения нужно сделать замену \(\sin x=t\) и решить полученное квадратное уравнение.

 

\(\blacktriangleright\) Пример кубического тригонометрического уравнения: \[a\sin^3x+b\sin^2x+c\sin x+d=0, \ \ \ a\ne 0\] Для решения данного уравнения нужно сделать замену \(\sin x=t\) и решить полученное кубическое уравнение.

 

Часто использующиеся формулы:

 

\(\blacktriangleright\) Основные тождества: \[\begin{array}{|ccc|} \hline \sin^2 \alpha+\cos^2 \alpha =1&& \mathrm{tg}\, \alpha \cdot \mathrm{ctg}\,\alpha =1\\ &&\\ \mathrm{tg}\, \alpha=\dfrac{\sin \alpha}{\cos \alpha}&&\mathrm{ctg}\, \alpha =\dfrac{\cos \alpha}{\sin \alpha}\\&&\\ 1+\mathrm{tg}^2\, \alpha =\dfrac1{\cos^2 \alpha} && 1+\mathrm{ctg}^2\, \alpha=\dfrac1{\sin^2 \alpha}\\&&\\ \hline \end{array}\]

\(\blacktriangleright\) Формулы двойного угла: \[\begin{array}{|lc|cr|} \hline \sin {2\alpha}=2\sin \alpha\cos \alpha & \qquad &\qquad & \cos{2\alpha}=\cos^2\alpha -\sin^2\alpha\\ \sin \alpha\cos \alpha =\dfrac12\sin {2\alpha} && & \cos{2\alpha}=2\cos^2\alpha -1\\ & & & \cos{2\alpha}=1-2\sin^2 \alpha\\ \hline &&&\\ \mathrm{tg}\, 2\alpha = \dfrac{2\mathrm{tg}\, \alpha}{1-\mathrm{tg}^2\,\alpha} && & \mathrm{ctg}\,2\alpha = \dfrac{\mathrm{ctg}^2\,\alpha-1}{2\mathrm{ctg}\,\alpha}\\&&&\\ \hline \end{array}\]

\(\blacktriangleright\) Формулы понижения степени: \[\begin{array}{|lc|cr|} \hline &&&\\ \sin^2\alpha=\dfrac{1-\cos{2\alpha}}2 &&& \cos^2\alpha=\dfrac{1+\cos{2\alpha}}2\\&&&\\ \hline \end{array}\]

Задание 8
Уровень задания: Равен ЕГЭ

а) Решите уравнение \[\cos^2x-\dfrac{\sqrt2}2\cos x=\sin \left(\dfrac{\pi}2-x\right)-\dfrac1{\sqrt2}\]

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку \(\left(-\dfrac{\pi}2;\dfrac{\pi}2\right).\)

Добавить задание в избранное

а) По формуле приведения \(\sin\left(\dfrac{\pi}2-x\right)=\cos x\). Сделаем замену \(t=\cos x\): \[t^2-\dfrac{\sqrt2}2t=t-\dfrac1{\sqrt2} \quad\Leftrightarrow\quad t^2-\left(\dfrac{\sqrt2}2+1\right)t+\dfrac1{\sqrt2}=0\]

Дискриминант уравнения \[D=\left(\dfrac{\sqrt2}2+1\right)^2-\dfrac4{\sqrt2}= \left(\dfrac{\sqrt2}2\right)^2-\sqrt2+1^2=\left(\dfrac{\sqrt2}2-1\right)^2.\]

Следовательно, корнями будут \[t=\dfrac{\frac{\sqrt2}2+1\pm \left(\frac{\sqrt2}2-1\right)}{2} \quad\Rightarrow\quad t_1=\dfrac{\sqrt2}2\quad {\small{\text{и}}}\quad t_2=1.\]

Сделаем обратную замену: \[\begin{aligned} &\cos x=\dfrac{\sqrt2}2\quad\Leftrightarrow\quad x=\pm\dfrac{\pi}4+2\pi m, m\in\mathbb{Z}\\[2ex] &\cos x=1\quad\Leftrightarrow\quad x=2\pi n, n\in\mathbb{Z} \end{aligned}\]

б) Отберем корни.

 

\(-\dfrac{\pi}2<\dfrac{\pi}4+2\pi m<\dfrac{\pi}2\quad\Leftrightarrow\quad -\dfrac38<m<\dfrac18 \quad\Rightarrow\quad m=0 \quad \Rightarrow\quad x=\dfrac{\pi}4.\)

 

\(-\dfrac{\pi}2<-\dfrac{\pi}4+2\pi m<\dfrac{\pi}2\quad\Leftrightarrow\quad -\dfrac18<m<\dfrac38 \quad\Rightarrow\quad m=0 \quad\Rightarrow\quad x=-\dfrac{\pi}4.\)

 

\(-\dfrac{\pi}2<2\pi n<\dfrac{\pi}2\quad\Leftrightarrow\quad -\dfrac14<n<\dfrac14\quad\Rightarrow\quad n=0\quad\Rightarrow\quad x=0.\)

Ответ:

а) \(2\pi n; \quad \pm \dfrac{\pi}4+2\pi m; \quad n,m\in\mathbb{Z}\)  

б) \(-\dfrac{\pi}4; \ 0; \ \dfrac{\pi}4\)

Задание 9
Уровень задания: Равен ЕГЭ

а) Решите уравнение \[4-3\sqrt2 \sin\dfrac x4=2\cos^2(0,25x)\]

б) Найдите все его корни, принадлежащие промежутку \((0;4\pi)\).

Добавить задание в избранное

а) ОДЗ: \(x\) – произвольное. Решим на ОДЗ.

Заметим, что \(0,25x=\dfrac14 x\), следовательно:

\[4-3\sqrt2\sin \dfrac x4 -2\left(1-\sin^2\dfrac x4\right)=0\quad \Rightarrow\quad 2\sin^2\dfrac x4-3\sqrt2\sin \dfrac x4+2=0\]

Сделаем замену \(\sin\dfrac x4=t, \ -1\leqslant t\leqslant 1\). Тогда уравнение примет вид:

\[2t^2-3\sqrt2t+2=0 \quad\Rightarrow \quad t_1=\dfrac 1{\sqrt2}, \ t_2=\sqrt2\]

Заметим, что \(t_2\) не удовлетворяет условию \(-1\leqslant t\leqslant 1\), то есть не является решением. Сделаем обратную замену:

 

\(\sin\dfrac x4=\dfrac 1{\sqrt2}\quad \Rightarrow \quad\left[ \begin{gathered}\begin{aligned} &\dfrac x4=\dfrac{\pi}4+2\pi n, n\in\mathbb{Z}\\[2ex] &\dfrac x4=\dfrac{3\pi}4+2\pi m, m\in\mathbb{Z} \end{aligned} \end{gathered}\right. \quad\Rightarrow\quad \left[ \begin{gathered}\begin{aligned} &x_1=\pi +8\pi n, n\in\mathbb{Z}\\[1ex] &x_2=3\pi +8\pi m, m\in\mathbb{Z} \end{aligned} \end{gathered}\right.\)

 

б) Отберем корни:

 

\(0<x_1<4\pi \quad\Rightarrow\quad n=0 \quad\Rightarrow\quad x=\pi\)

 

\(0<x_2<4\pi \quad\Rightarrow \quad m=0 \quad\Rightarrow \quad x=3\pi\)

Ответ:

а) \(\pi +8\pi n,3\pi +8\pi m, \ n,m\in\mathbb{Z}\)

 

б) \(\pi; 3\pi\)

Задание 10
Уровень задания: Равен ЕГЭ

а) Решите уравнение \[2\cos^4x+6,5\sin^2x-5=0\]

б) Найдите все его корни, принадлежащие промежутку \(\left(-\dfrac{\pi}2;\pi\right)\).

Добавить задание в избранное

а) ОДЗ: \(x\) – произвольное. Решим на ОДЗ.

Т.к. \(\cos^4x=(\cos^2x)^2=(1-\sin^2x)^2\), то уравнение равносильно:

\[2(1-2\sin^2x+\sin^4x)+6,5\sin^2x-5=0 \Rightarrow 2\sin^4x+2,5\sin^2x-3=0\]

Сделаем замену: \(\sin^2x=t, \ 0\leqslant t\leqslant 1\). Имеем:

\[2t^2+2,5t-3=0 \Rightarrow t_1=-2; t_2=\dfrac34\]

Заметим, что \(t_1\) не подходит. Сделаем обратную замену:

\[\sin^2x=\dfrac34 \Rightarrow \sin x=\pm\dfrac{\sqrt3}2 \Rightarrow \left[ \begin{gathered}\begin{aligned} &x=\dfrac{\pi}3+2\pi n_1, n_1\in\mathbb{Z}\\ &x=\dfrac{2\pi}3+2\pi n_2, n_2\in\mathbb{Z}\\ &x=-\dfrac{\pi}3+2\pi m_1, m_1\in\mathbb{Z}\\ &x=-\dfrac{2\pi}3+2\pi m_2, m_2\in\mathbb{Z} \end{aligned} \end{gathered}\right.\]

Заметим, что данные корни можно записать в виде двух формул: \(x_1=\dfrac{\pi}3+\pi n, n\in\mathbb{Z}; \ x_2=-\dfrac{\pi}3+\pi m, m\in\mathbb{Z}\)

 

б) Отберем корни:

 

\(-\dfrac{\pi}2<x_1<\pi \Rightarrow n=0 \Rightarrow x=\dfrac{\pi}3\)

 

\(-\dfrac{\pi}2<x_2<\pi \Rightarrow m=0;1 \Rightarrow x=-\dfrac{\pi}3; \dfrac{2\pi}3\)

Ответ:

а) \(\dfrac{\pi}3+\pi n, n\in\mathbb{Z};-\dfrac{\pi}3+\pi m, \ n,m\in\mathbb{Z}\)

 

б) \(-\dfrac{\pi}3; \dfrac{\pi}3; \dfrac{2\pi}3\)

Задание 11
Уровень задания: Равен ЕГЭ

a) Решите уравнение

\[\begin{aligned} 2\cos^2 (2x) - 3^{1,5}\cos (2x) = -3. \end{aligned}\]

б) Найдите все его корни, принадлежащие промежутку \((-\pi; \pi]\).

Добавить задание в избранное

ОДЗ: \(x\) – произвольное. Решим на ОДЗ:

а) Перенесём всё влево:

\[\begin{aligned} 2\cos^2 (2x) - 3\sqrt{3}\cos (2x) + 3 = 0. \end{aligned}\]

Полученное уравнение представляет собой квадратное уравнение относительно \(\cos (2x)\).

Сделаем замену \(\cos (2x) = t\), тогда уравнение примет вид \[2t^2 - 3\sqrt{3}t + 3 = 0.\] Его дискриминант \(D = 27 - 24 = 3\), тогда \(t_{1, 2} = \dfrac{3\sqrt{3}\pm\sqrt{3}}{4}\), откуда \(t_1 = \sqrt{3}\), \(t_2 = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\), следовательно,
\(\cos (2x) = \sqrt{3}\) или \(\cos (2x) = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\).

Так как \(\cos (2x)\leq 1\), то \(\cos (2x) = \sqrt{3}\) быть не может, следовательно, \(\cos (2x) = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\).

 

Уравнение \(\cos y = a\) имеет решения \(y = \pm\mathrm{arccos}\, a + 2\pi k\), где \(k\in\mathbb{Z}\), следовательно,   уравнение \(\cos (2x) = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\) имеет решения, для которых выполнено \(2x = \pm\dfrac{\pi}{6} + 2\pi k\), где \(k\in\mathbb{Z}\), тогда \[x = \pm\dfrac{\pi}{12} + \pi k, k\in\mathbb{Z}.\]

б) \[-\pi < \dfrac{\pi}{12} + \pi k \leq \pi\qquad\Leftrightarrow\qquad -\dfrac{13\pi}{12} < \pi k \leq \dfrac{11\pi}{12}\qquad\Leftrightarrow\qquad -\dfrac{13}{12} < k \leq \dfrac{11}{12},\] но \(k\in\mathbb{Z}\), следовательно, среди этих решений подходят решения при \(k = -1\) и \(k = 0\): \(x = -\dfrac{11\pi}{12}\) и \(x = \dfrac{\pi}{12}\).

\[-\pi < -\dfrac{\pi}{12} + \pi k \leq \pi\qquad\Leftrightarrow\qquad -\dfrac{11\pi}{12} < \pi k \leq \dfrac{13\pi}{12}\qquad\Leftrightarrow\qquad -\dfrac{11}{12} < k \leq \dfrac{13}{12},\] но \(k\in\mathbb{Z}\), следовательно, среди этих решений подходят решения при \(k = 0\) и \(k = 1\): \(x = -\dfrac{\pi}{12}\) и \(x = \dfrac{11\pi}{12}\).

Ответ:

а) \(\pm\dfrac{\pi}{12} + \pi k\), где \(k\in\mathbb{Z}\).

б) \(-\dfrac{11\pi}{12}\), \(-\dfrac{\pi}{12}\), \(\dfrac{\pi}{12}\), \(\dfrac{11\pi}{12}\).

Задание 12
Уровень задания: Равен ЕГЭ

а) Решите уравнение \[\dfrac{2-3\sin x-\cos 2x}{\sqrt{2x-\pi}}=0\]

б) Найдите все его корни, принадлежащие промежутку \(\left[0;\dfrac{5\pi}4\right]\).

Добавить задание в избранное

а) ОДЗ: \(x>\dfrac{\pi}2\). Решим на ОДЗ:

\[2-3\sin x-\cos2x=0 \Rightarrow 2-3\sin x-(1-2\sin^2x)=0 \Rightarrow 2\sin^2x-3\sin x+1=0\]

Сделаем замену: \(t=\sin x, \ -1\leqslant t\leqslant 1\):

\[2t^2-3t+1=0 \Rightarrow t_1=1; t_2=\dfrac12\]

Сделаем обратную замену:

\[\left[ \begin{gathered}\begin{aligned} &\sin x=1\\ &\sin x=\dfrac12 \end{aligned} \end{gathered}\right. \Rightarrow \left[ \begin{gathered}\begin{aligned} &x=\dfrac{\pi}2+2\pi n, n\in\mathbb{Z}\\ &x=\dfrac{\pi}6+2\pi m, m\in\mathbb{Z}\\ &x=\dfrac{5\pi}6+2\pi k, k\in\mathbb{Z} \end{aligned} \end{gathered}\right.\]

Пересечем полученные ответы с ОДЗ:

 

1) \(\dfrac{\pi}2+2\pi n>\dfrac{\pi}2 \Rightarrow n>0 \Rightarrow n\geqslant 1, \text{ т.к. } n - \text{целое}, \Rightarrow x_1=\dfrac{\pi}2+2\pi n, n\in\mathbb{N}\)

 

2) \(\dfrac{\pi}6+2\pi m>\dfrac{\pi}2 \Rightarrow m>\dfrac16 \Rightarrow m\geqslant 1, \text{ т.к. } m - \text{целое}, \Rightarrow x_2=\dfrac{\pi}6+2\pi m, m\in\mathbb{N}\)

 

3) \(\dfrac{5\pi}6+2\pi k>\dfrac{\pi}2 \Rightarrow k>-\dfrac13 \Rightarrow k\geqslant 0 \Rightarrow x_3=\dfrac{5\pi}6+2\pi k, k\in\mathbb{N}\cup\{0\}\) или \(x_3=-\dfrac{7\pi}6+2\pi k, k\in\mathbb{N}\).

 

б) Отберем корни:

 

1) \(0\leqslant x_1\leqslant \dfrac{5\pi}4 \Rightarrow -\dfrac14\leqslant n\leqslant \dfrac38 \Rightarrow n=0\), но т.к. \(n\) — натуральное, то \(n\in\varnothing\)

 

2) \(0\leqslant x_2\leqslant \dfrac{5\pi}4 \Rightarrow -\dfrac1{12}\leqslant m \leqslant \dfrac{13}{24} \Rightarrow m=0\), но т.к. \(m\) — натуральное, то \(m\in\varnothing\).

 

3) \(0\leqslant x_3\leqslant \dfrac{5\pi}4 \Rightarrow \dfrac7{12}\leqslant k\leqslant \dfrac{29}{24} \Rightarrow k=1 \Rightarrow x=\dfrac{5\pi}6\)

Ответ:

а) \(\dfrac{\pi}2+2\pi n,\dfrac{\pi}6+2\pi m, -\dfrac{7\pi}6+2\pi k, \ n,m,k\in\mathbb{N}\)

 

б) \(\dfrac{5\pi}6\)

Задание 13
Уровень задания: Равен ЕГЭ

a) Решите уравнение

\[\begin{aligned} \sin^3{x} + 0,5\cos^2 x + \sin x = 1. \end{aligned}\]

б) Найдите все его корни, принадлежащие промежутку \((-\pi; \pi)\).

Добавить задание в избранное

ОДЗ: \(x\) – произвольное. Решим на ОДЗ:

а) Перепишем исходное уравнение при помощи основного тригонометрического тождества:

\[\begin{aligned} \sin^3{x} + 0,5 - 0,5\sin^2 x + \sin x = 1\qquad\Leftrightarrow\qquad \sin^3{x} - 0,5\sin^2 x + \sin x - 0,5 = 0. \end{aligned}\]

Последнее уравнение является уравнением третьей степени относительно \(\sin{x}\). Сделаем замену \(\sin x = t\): \[t^3 - 0,5t^2 + t - 0,5 = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad t^2(t - 0,5) + (t - 0,5) = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad (t^2 + 1)(t - 0,5) = 0.\] Так как \(t^2 + 1\geq 1 > 0\) при любом \(t\), то полученное уравнение равносильно \[t = 0,5,\] откуда \[\sin x = 0,5.\] Решения этого уравнения имеют вид \(x = \dfrac{\pi}{6} + 2\pi k\), \(x = \dfrac{5\pi}{6} + 2\pi k\), где \(k\in\mathbb{Z}\).

 

б) \[-\pi < \dfrac{\pi}{6} + 2\pi k < \pi\qquad\Leftrightarrow\qquad -\dfrac{7\pi}{6} < 2\pi k < \dfrac{5\pi}{6}\qquad\Leftrightarrow\qquad -\dfrac{7}{12} < k < \dfrac{5}{12},\] но \(k\in\mathbb{Z}\), тогда среди этих решений подходит только решение при \(k = 0\): \(x = \dfrac{\pi}{6}\).

\[-\pi < \dfrac{5\pi}{6} + 2\pi k < \pi\qquad\Leftrightarrow\qquad -\dfrac{11\pi}{6} < 2\pi k < \dfrac{\pi}{6}\qquad\Leftrightarrow\qquad -\dfrac{11}{12} < k < \dfrac{1}{12},\] но \(k\in\mathbb{Z}\), тогда среди этих решений подходит только решение при \(k = 0\): \(x = \dfrac{5\pi}{6}\).

Ответ:

а) \(\dfrac{\pi}{6} + 2\pi k\), \(\dfrac{5\pi}{6} + 2\pi k\), где \(k\in\mathbb{Z}\).

б) \(\dfrac{\pi}{6}\), \(\dfrac{5\pi}{6}\).

Задание 14
Уровень задания: Равен ЕГЭ

а) Решите уравнение \[(4\cos^23x-4\sin 3x-1)\cdot \sqrt{-\mathrm{ctg}\,x}=0\]

б) Укажите корни уравнения, принадлежащие промежутку \(\left(\dfrac{\pi}2;2\pi\right].\)

Добавить задание в избранное

а) Данное уравнение равносильно системе \[\begin{cases} \left[ \begin{gathered}\begin{aligned} &4\cos^23x-4\sin 3x-1=0\\ &-\mathrm{ctg}\,x=0\end{aligned} \end{gathered} \right.\\ -\mathrm{ctg}\,x\geqslant 0 \end{cases}\]

Решим первое уравнение. Сделаем замену \(t=\sin 3x\), тогда уравнение примет вид \[4-4t^2-4t-1=0 \quad\Leftrightarrow\quad 4t^2+4t+1=4 \quad\Leftrightarrow\quad (2t+1)^2=2^2 \quad\Rightarrow\quad 2t+1=\pm 2.\] Следовательно, получаем:   1) \(\sin 3x=\dfrac12 \quad\Rightarrow\quad x=\dfrac{\pi}{18}+\dfrac{2\pi}3n\) и \(x=\dfrac{5\pi}{18}+\dfrac{2\pi}3k\), \(k,n\in\mathbb{Z}.\)   2) \(\sin 3x=-\dfrac32\) – не имеет решений.

 

Решим второе уравнение: \[\mathrm{ctg}\,x=0 \quad\Leftrightarrow\quad x=\dfrac{\pi}2+\pi m, m\in\mathbb{Z}\]

Пересечем полученные решения с условием \(-\mathrm{ctg}\,x\geqslant 0 \quad\Leftrightarrow\quad \mathrm{ctg}\,x\leqslant 0\).
Для этого отметим полученные корни на окружности, тогда подойдут те, которые находятся на зеленых дугах:



Следовательно, ответ: \(x=\dfrac{\pi}2+\pi m; \ \dfrac{13\pi}{18}+2\pi n; \ \dfrac{17\pi}{18}+2\pi k; \ \dfrac{29\pi}{18}+2\pi l; \ m,n,k,l\in\mathbb{Z}.\)

 

б) Отберем корни по окружности. Отметим дугу, соответствующую промежутку \(\left(\dfrac{\pi}2;2\pi\right]\). Тогда в этот промежуток попадают следующие точки:

Ответ:

а) \(\dfrac{\pi}2+\pi m; \ \dfrac{13\pi}{18}+2\pi n; \ \dfrac{17\pi}{18}+2\pi k; \ \dfrac{29\pi}{18}+2\pi l; \ m,n,k,l\in\mathbb{Z}\)

 

б) \(\dfrac{13\pi}{18}; \ \dfrac{17\pi}{18}; \ \dfrac{3\pi}2; \ \dfrac{29\pi}{18}\)

1 2 3