Математика ЕГЭ
Русский язык ЕГЭ
Математика 5-7
Математика ОГЭ
Информатика
Физика
Обществознание
Кликните, чтобы открыть меню

13. Решение уравнений

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Сведение тригонометрических уравнений к квадратному или кубическому уравнению (страница 2)

\(\blacktriangleright\) Пример квадратного тригонометрического уравнения: \[a\sin^2x+b\sin x+c=0, \ \ \ a\ne 0\] Для решения данного уравнения нужно сделать замену \(\sin x=t\) и решить полученное квадратное уравнение.

 

\(\blacktriangleright\) Пример кубического тригонометрического уравнения: \[a\sin^3x+b\sin^2x+c\sin x+d=0, \ \ \ a\ne 0\] Для решения данного уравнения нужно сделать замену \(\sin x=t\) и решить полученное кубическое уравнение.

 

Часто использующиеся формулы:

 

\(\blacktriangleright\) Основные тождества: \[\begin{array}{|ccc|} \hline \sin^2 \alpha+\cos^2 \alpha =1&& \mathrm{tg}\, \alpha \cdot \mathrm{ctg}\,\alpha =1\\ &&\\ \mathrm{tg}\, \alpha=\dfrac{\sin \alpha}{\cos \alpha}&&\mathrm{ctg}\, \alpha =\dfrac{\cos \alpha}{\sin \alpha}\\&&\\ 1+\mathrm{tg}^2\, \alpha =\dfrac1{\cos^2 \alpha} && 1+\mathrm{ctg}^2\, \alpha=\dfrac1{\sin^2 \alpha}\\&&\\ \hline \end{array}\]

\(\blacktriangleright\) Формулы двойного угла: \[\begin{array}{|lc|cr|} \hline \sin {2\alpha}=2\sin \alpha\cos \alpha & \qquad &\qquad & \cos{2\alpha}=\cos^2\alpha -\sin^2\alpha\\ \sin \alpha\cos \alpha =\dfrac12\sin {2\alpha} && & \cos{2\alpha}=2\cos^2\alpha -1\\ & & & \cos{2\alpha}=1-2\sin^2 \alpha\\ \hline &&&\\ \mathrm{tg}\, 2\alpha = \dfrac{2\mathrm{tg}\, \alpha}{1-\mathrm{tg}^2\,\alpha} && & \mathrm{ctg}\,2\alpha = \dfrac{\mathrm{ctg}^2\,\alpha-1}{2\mathrm{ctg}\,\alpha}\\&&&\\ \hline \end{array}\]

\(\blacktriangleright\) Формулы понижения степени: \[\begin{array}{|lc|cr|} \hline &&&\\ \sin^2\alpha=\dfrac{1-\cos{2\alpha}}2 &&& \cos^2\alpha=\dfrac{1+\cos{2\alpha}}2\\&&&\\ \hline \end{array}\]

Задание 8 #2808
Уровень задания: Равен ЕГЭ

а) Решите уравнение \[\cos^2x-\dfrac{\sqrt2}2\cos x=\sin \left(\dfrac{\pi}2-x\right)-\dfrac1{\sqrt2}\]

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку \(\left(-\dfrac{\pi}2;\dfrac{\pi}2\right).\)

а) По формуле приведения \(\sin\left(\dfrac{\pi}2-x\right)=\cos x\). Сделаем замену \(t=\cos x\): \[t^2-\dfrac{\sqrt2}2t=t-\dfrac1{\sqrt2} \quad\Leftrightarrow\quad t^2-\left(\dfrac{\sqrt2}2+1\right)t+\dfrac1{\sqrt2}=0\]

Дискриминант уравнения \[D=\left(\dfrac{\sqrt2}2+1\right)^2-\dfrac4{\sqrt2}= \left(\dfrac{\sqrt2}2\right)^2-\sqrt2+1^2=\left(\dfrac{\sqrt2}2-1\right)^2.\]

Следовательно, корнями будут \[t=\dfrac{\frac{\sqrt2}2+1\pm \left(\frac{\sqrt2}2-1\right)}{2} \quad\Rightarrow\quad t_1=\dfrac{\sqrt2}2\quad {\small{\text{и}}}\quad t_2=1.\]

Сделаем обратную замену: \[\begin{aligned} &\cos x=\dfrac{\sqrt2}2\quad\Leftrightarrow\quad x=\pm\dfrac{\pi}4+2\pi m, m\in\mathbb{Z}\\[2ex] &\cos x=1\quad\Leftrightarrow\quad x=2\pi n, n\in\mathbb{Z} \end{aligned}\]

б) Отберем корни.

 

\(-\dfrac{\pi}2<\dfrac{\pi}4+2\pi m<\dfrac{\pi}2\quad\Leftrightarrow\quad -\dfrac38<m<\dfrac18 \quad\Rightarrow\quad m=0 \quad \Rightarrow\quad x=\dfrac{\pi}4.\)

 

\(-\dfrac{\pi}2<-\dfrac{\pi}4+2\pi m<\dfrac{\pi}2\quad\Leftrightarrow\quad -\dfrac18<m<\dfrac38 \quad\Rightarrow\quad m=0 \quad\Rightarrow\quad x=-\dfrac{\pi}4.\)

 

\(-\dfrac{\pi}2<2\pi n<\dfrac{\pi}2\quad\Leftrightarrow\quad -\dfrac14<n<\dfrac14\quad\Rightarrow\quad n=0\quad\Rightarrow\quad x=0.\)

Ответ:

а) \(2\pi n; \quad \pm \dfrac{\pi}4+2\pi m; \quad n,m\in\mathbb{Z}\)  

б) \(-\dfrac{\pi}4; \ 0; \ \dfrac{\pi}4\)

Задание 9 #3256
Уровень задания: Равен ЕГЭ

а) Решите уравнение \[4-3\sqrt2 \sin\dfrac x4=2\cos^2(0,25x)\]

б) Найдите все его корни, принадлежащие промежутку \((0;4\pi)\).

а) ОДЗ: \(x\) – произвольное. Решим на ОДЗ.

Заметим, что \(0,25x=\dfrac14 x\), следовательно:

\[4-3\sqrt2\sin \dfrac x4 -2\left(1-\sin^2\dfrac x4\right)=0\quad \Rightarrow\quad 2\sin^2\dfrac x4-3\sqrt2\sin \dfrac x4+2=0\]

Сделаем замену \(\sin\dfrac x4=t, \ -1\leqslant t\leqslant 1\). Тогда уравнение примет вид:

\[2t^2-3\sqrt2t+2=0 \quad\Rightarrow \quad t_1=\dfrac 1{\sqrt2}, \ t_2=\sqrt2\]

Заметим, что \(t_2\) не удовлетворяет условию \(-1\leqslant t\leqslant 1\), то есть не является решением. Сделаем обратную замену:

 

\(\sin\dfrac x4=\dfrac 1{\sqrt2}\quad \Rightarrow \quad\left[ \begin{gathered}\begin{aligned} &\dfrac x4=\dfrac{\pi}4+2\pi n, n\in\mathbb{Z}\\[2ex] &\dfrac x4=\dfrac{3\pi}4+2\pi m, m\in\mathbb{Z} \end{aligned} \end{gathered}\right. \quad\Rightarrow\quad \left[ \begin{gathered}\begin{aligned} &x_1=\pi +8\pi n, n\in\mathbb{Z}\\[1ex] &x_2=3\pi +8\pi m, m\in\mathbb{Z} \end{aligned} \end{gathered}\right.\)

 

б) Отберем корни:

 

\(0<x_1<4\pi \quad\Rightarrow\quad n=0 \quad\Rightarrow\quad x=\pi\)

 

\(0<x_2<4\pi \quad\Rightarrow \quad m=0 \quad\Rightarrow \quad x=3\pi\)

Ответ:

а) \(\pi +8\pi n,3\pi +8\pi m, \ n,m\in\mathbb{Z}\)

 

б) \(\pi; 3\pi\)

Задание 10 #1370
Уровень задания: Равен ЕГЭ

а) Решите уравнение \[2\cos^4x+6,5\sin^2x-5=0\]

б) Найдите все его корни, принадлежащие промежутку \(\left(-\dfrac{\pi}2;\pi\right)\).

а) ОДЗ: \(x\) – произвольное. Решим на ОДЗ.

Т.к. \(\cos^4x=(\cos^2x)^2=(1-\sin^2x)^2\), то уравнение равносильно:

\[2(1-2\sin^2x+\sin^4x)+6,5\sin^2x-5=0 \Rightarrow 2\sin^4x+2,5\sin^2x-3=0\]

Сделаем замену: \(\sin^2x=t, \ 0\leqslant t\leqslant 1\). Имеем:

\[2t^2+2,5t-3=0 \Rightarrow t_1=-2; t_2=\dfrac34\]

Заметим, что \(t_1\) не подходит. Сделаем обратную замену:

\[\sin^2x=\dfrac34 \Rightarrow \sin x=\pm\dfrac{\sqrt3}2 \Rightarrow \left[ \begin{gathered}\begin{aligned} &x=\dfrac{\pi}3+2\pi n_1, n_1\in\mathbb{Z}\\ &x=\dfrac{2\pi}3+2\pi n_2, n_2\in\mathbb{Z}\\ &x=-\dfrac{\pi}3+2\pi m_1, m_1\in\mathbb{Z}\\ &x=-\dfrac{2\pi}3+2\pi m_2, m_2\in\mathbb{Z} \end{aligned} \end{gathered}\right.\]

Заметим, что данные корни можно записать в виде двух формул: \(x_1=\dfrac{\pi}3+\pi n, n\in\mathbb{Z}; \ x_2=-\dfrac{\pi}3+\pi m, m\in\mathbb{Z}\)

 

б) Отберем корни:

 

\(-\dfrac{\pi}2<x_1<\pi \Rightarrow n=0 \Rightarrow x=\dfrac{\pi}3\)

 

\(-\dfrac{\pi}2<x_2<\pi \Rightarrow m=0;1 \Rightarrow x=-\dfrac{\pi}3; \dfrac{2\pi}3\)

Ответ:

а) \(\dfrac{\pi}3+\pi n, n\in\mathbb{Z};-\dfrac{\pi}3+\pi m, \ n,m\in\mathbb{Z}\)

 

б) \(-\dfrac{\pi}3; \dfrac{\pi}3; \dfrac{2\pi}3\)

Задание 11 #3899
Уровень задания: Равен ЕГЭ

а) Решите уравнение \[\cos 2x+13\sin x+6=0\]

б) Найти все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \(\left[-\dfrac{5\pi}2; -\pi\right]\).

 

а) Преобразуем уравнение \[1-2\sin^2x+13\sin x+6=0\quad\Leftrightarrow\quad 2\sin^2x-13\sin x-7=0\quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin{gathered}\begin{aligned}&\sin x=7\\[2ex] &\sin x=-\dfrac12\end{aligned}\end{gathered}\right.\] Так как \(\sin x\in [-1;1]\), то подходит только \(\sin x=-0,5\), откуда \(x=-\dfrac{\pi}6+2\pi n\), \(x=-\dfrac{5\pi}6+2\pi k\), \(n,k\in\mathbb{Z}\).

 

б) Отберем корни.   \(-\dfrac{5\pi}2\leqslant -\dfrac{\pi}6+2\pi n\leqslant -\pi \quad\Leftrightarrow\quad -\dfrac76\leqslant n\leqslant -\dfrac5{12}\quad\Rightarrow\quad n=-1\quad\Rightarrow\quad x=-\dfrac{13\pi}6\)   \(-\dfrac{5\pi}2\leqslant -\dfrac{5\pi}6+2\pi k\leqslant -\pi \quad\Leftrightarrow\quad -\dfrac56\leqslant k\leqslant -\dfrac1{12}\quad\Rightarrow\quad k\in \varnothing\quad\Rightarrow\quad x\in \varnothing\)

Ответ:

а) \(x=-\dfrac{\pi}6+2\pi n\), \(x=-\dfrac{5\pi}6+2\pi k\), \(n,k\in\mathbb{Z}\)

 

б) \(-\dfrac{13\pi}6\)

 

Задание 12 #1281
Уровень задания: Равен ЕГЭ

a) Решите уравнение

\[\begin{aligned} 2\cos^2 (2x) - 3^{1,5}\cos (2x) = -3. \end{aligned}\]

б) Найдите все его корни, принадлежащие промежутку \((-\pi; \pi]\).

ОДЗ: \(x\) – произвольное. Решим на ОДЗ:

а) Перенесём всё влево:

\[\begin{aligned} 2\cos^2 (2x) - 3\sqrt{3}\cos (2x) + 3 = 0. \end{aligned}\]

Полученное уравнение представляет собой квадратное уравнение относительно \(\cos (2x)\).

Сделаем замену \(\cos (2x) = t\), тогда уравнение примет вид \[2t^2 - 3\sqrt{3}t + 3 = 0.\] Его дискриминант \(D = 27 - 24 = 3\), тогда \(t_{1, 2} = \dfrac{3\sqrt{3}\pm\sqrt{3}}{4}\), откуда \(t_1 = \sqrt{3}\), \(t_2 = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\), следовательно,
\(\cos (2x) = \sqrt{3}\) или \(\cos (2x) = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\).

Так как \(\cos (2x)\leq 1\), то \(\cos (2x) = \sqrt{3}\) быть не может, следовательно, \(\cos (2x) = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\).

 

Уравнение \(\cos y = a\) имеет решения \(y = \pm\mathrm{arccos}\, a + 2\pi k\), где \(k\in\mathbb{Z}\), следовательно,   уравнение \(\cos (2x) = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\) имеет решения, для которых выполнено \(2x = \pm\dfrac{\pi}{6} + 2\pi k\), где \(k\in\mathbb{Z}\), тогда \[x = \pm\dfrac{\pi}{12} + \pi k, k\in\mathbb{Z}.\]

б) \[-\pi < \dfrac{\pi}{12} + \pi k \leq \pi\qquad\Leftrightarrow\qquad -\dfrac{13\pi}{12} < \pi k \leq \dfrac{11\pi}{12}\qquad\Leftrightarrow\qquad -\dfrac{13}{12} < k \leq \dfrac{11}{12},\] но \(k\in\mathbb{Z}\), следовательно, среди этих решений подходят решения при \(k = -1\) и \(k = 0\): \(x = -\dfrac{11\pi}{12}\) и \(x = \dfrac{\pi}{12}\).

\[-\pi < -\dfrac{\pi}{12} + \pi k \leq \pi\qquad\Leftrightarrow\qquad -\dfrac{11\pi}{12} < \pi k \leq \dfrac{13\pi}{12}\qquad\Leftrightarrow\qquad -\dfrac{11}{12} < k \leq \dfrac{13}{12},\] но \(k\in\mathbb{Z}\), следовательно, среди этих решений подходят решения при \(k = 0\) и \(k = 1\): \(x = -\dfrac{\pi}{12}\) и \(x = \dfrac{11\pi}{12}\).

Ответ:

а) \(\pm\dfrac{\pi}{12} + \pi k\), где \(k\in\mathbb{Z}\).

б) \(-\dfrac{11\pi}{12}\), \(-\dfrac{\pi}{12}\), \(\dfrac{\pi}{12}\), \(\dfrac{11\pi}{12}\).

Задание 13 #1373
Уровень задания: Равен ЕГЭ

а) Решите уравнение \[\dfrac{2-3\sin x-\cos 2x}{\sqrt{2x-\pi}}=0\]

б) Найдите все его корни, принадлежащие промежутку \(\left[0;\dfrac{5\pi}4\right]\).

а) ОДЗ: \(x>\dfrac{\pi}2\). Решим на ОДЗ:

\[2-3\sin x-\cos2x=0 \Rightarrow 2-3\sin x-(1-2\sin^2x)=0 \Rightarrow 2\sin^2x-3\sin x+1=0\]

Сделаем замену: \(t=\sin x, \ -1\leqslant t\leqslant 1\):

\[2t^2-3t+1=0 \Rightarrow t_1=1; t_2=\dfrac12\]

Сделаем обратную замену:

\[\left[ \begin{gathered}\begin{aligned} &\sin x=1\\ &\sin x=\dfrac12 \end{aligned} \end{gathered}\right. \Rightarrow \left[ \begin{gathered}\begin{aligned} &x=\dfrac{\pi}2+2\pi n, n\in\mathbb{Z}\\ &x=\dfrac{\pi}6+2\pi m, m\in\mathbb{Z}\\ &x=\dfrac{5\pi}6+2\pi k, k\in\mathbb{Z} \end{aligned} \end{gathered}\right.\]

Пересечем полученные ответы с ОДЗ:

 

1) \(\dfrac{\pi}2+2\pi n>\dfrac{\pi}2 \Rightarrow n>0 \Rightarrow n\geqslant 1, \text{ т.к. } n - \text{целое}, \Rightarrow x_1=\dfrac{\pi}2+2\pi n, n\in\mathbb{N}\)

 

2) \(\dfrac{\pi}6+2\pi m>\dfrac{\pi}2 \Rightarrow m>\dfrac16 \Rightarrow m\geqslant 1, \text{ т.к. } m - \text{целое}, \Rightarrow x_2=\dfrac{\pi}6+2\pi m, m\in\mathbb{N}\)

 

3) \(\dfrac{5\pi}6+2\pi k>\dfrac{\pi}2 \Rightarrow k>-\dfrac13 \Rightarrow k\geqslant 0 \Rightarrow x_3=\dfrac{5\pi}6+2\pi k, k\in\mathbb{N}\cup\{0\}\) или \(x_3=-\dfrac{7\pi}6+2\pi k, k\in\mathbb{N}\).

 

б) Отберем корни:

 

1) \(0\leqslant x_1\leqslant \dfrac{5\pi}4 \Rightarrow -\dfrac14\leqslant n\leqslant \dfrac38 \Rightarrow n=0\), но т.к. \(n\) — натуральное, то \(n\in\varnothing\)

 

2) \(0\leqslant x_2\leqslant \dfrac{5\pi}4 \Rightarrow -\dfrac1{12}\leqslant m \leqslant \dfrac{13}{24} \Rightarrow m=0\), но т.к. \(m\) — натуральное, то \(m\in\varnothing\).

 

3) \(0\leqslant x_3\leqslant \dfrac{5\pi}4 \Rightarrow \dfrac7{12}\leqslant k\leqslant \dfrac{29}{24} \Rightarrow k=1 \Rightarrow x=\dfrac{5\pi}6\)

Ответ:

а) \(\dfrac{\pi}2+2\pi n,\dfrac{\pi}6+2\pi m, -\dfrac{7\pi}6+2\pi k, \ n,m,k\in\mathbb{N}\)

 

б) \(\dfrac{5\pi}6\)

Задание 14 #1284
Уровень задания: Равен ЕГЭ

a) Решите уравнение

\[\begin{aligned} \sin^3{x} + 0,5\cos^2 x + \sin x = 1. \end{aligned}\]

б) Найдите все его корни, принадлежащие промежутку \((-\pi; \pi)\).

ОДЗ: \(x\) – произвольное. Решим на ОДЗ:

а) Перепишем исходное уравнение при помощи основного тригонометрического тождества:

\[\begin{aligned} \sin^3{x} + 0,5 - 0,5\sin^2 x + \sin x = 1\qquad\Leftrightarrow\qquad \sin^3{x} - 0,5\sin^2 x + \sin x - 0,5 = 0. \end{aligned}\]

Последнее уравнение является уравнением третьей степени относительно \(\sin{x}\). Сделаем замену \(\sin x = t\): \[t^3 - 0,5t^2 + t - 0,5 = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad t^2(t - 0,5) + (t - 0,5) = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad (t^2 + 1)(t - 0,5) = 0.\] Так как \(t^2 + 1\geq 1 > 0\) при любом \(t\), то полученное уравнение равносильно \[t = 0,5,\] откуда \[\sin x = 0,5.\] Решения этого уравнения имеют вид \(x = \dfrac{\pi}{6} + 2\pi k\), \(x = \dfrac{5\pi}{6} + 2\pi k\), где \(k\in\mathbb{Z}\).

 

б) \[-\pi < \dfrac{\pi}{6} + 2\pi k < \pi\qquad\Leftrightarrow\qquad -\dfrac{7\pi}{6} < 2\pi k < \dfrac{5\pi}{6}\qquad\Leftrightarrow\qquad -\dfrac{7}{12} < k < \dfrac{5}{12},\] но \(k\in\mathbb{Z}\), тогда среди этих решений подходит только решение при \(k = 0\): \(x = \dfrac{\pi}{6}\).

\[-\pi < \dfrac{5\pi}{6} + 2\pi k < \pi\qquad\Leftrightarrow\qquad -\dfrac{11\pi}{6} < 2\pi k < \dfrac{\pi}{6}\qquad\Leftrightarrow\qquad -\dfrac{11}{12} < k < \dfrac{1}{12},\] но \(k\in\mathbb{Z}\), тогда среди этих решений подходит только решение при \(k = 0\): \(x = \dfrac{5\pi}{6}\).

Ответ:

а) \(\dfrac{\pi}{6} + 2\pi k\), \(\dfrac{5\pi}{6} + 2\pi k\), где \(k\in\mathbb{Z}\).

б) \(\dfrac{\pi}{6}\), \(\dfrac{5\pi}{6}\).