а) Решите уравнение \[\cos^2x-\dfrac{\sqrt2}2\cos x=\sin \left(\dfrac{\pi}2-x\right)-\dfrac1{\sqrt2}\]
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку \(\left(-\dfrac{\pi}2;\dfrac{\pi}2\right).\)
а) По формуле приведения \(\sin\left(\dfrac{\pi}2-x\right)=\cos x\). Сделаем замену \(t=\cos x\): \[t^2-\dfrac{\sqrt2}2t=t-\dfrac1{\sqrt2} \quad\Leftrightarrow\quad t^2-\left(\dfrac{\sqrt2}2+1\right)t+\dfrac1{\sqrt2}=0\]
Дискриминант уравнения \[D=\left(\dfrac{\sqrt2}2+1\right)^2-\dfrac4{\sqrt2}= \left(\dfrac{\sqrt2}2\right)^2-\sqrt2+1^2=\left(\dfrac{\sqrt2}2-1\right)^2.\]
Следовательно, корнями будут \[t=\dfrac{\frac{\sqrt2}2+1\pm \left(\frac{\sqrt2}2-1\right)}{2} \quad\Rightarrow\quad t_1=\dfrac{\sqrt2}2\quad {\small{\text{и}}}\quad t_2=1.\]
Сделаем обратную замену: \[\begin{aligned} &\cos x=\dfrac{\sqrt2}2\quad\Leftrightarrow\quad x=\pm\dfrac{\pi}4+2\pi m, m\in\mathbb{Z}\\[2ex] &\cos x=1\quad\Leftrightarrow\quad x=2\pi n, n\in\mathbb{Z} \end{aligned}\]
б) Отберем корни.
\(-\dfrac{\pi}2<\dfrac{\pi}4+2\pi m<\dfrac{\pi}2\quad\Leftrightarrow\quad -\dfrac38<m<\dfrac18 \quad\Rightarrow\quad m=0 \quad \Rightarrow\quad x=\dfrac{\pi}4.\)
\(-\dfrac{\pi}2<-\dfrac{\pi}4+2\pi m<\dfrac{\pi}2\quad\Leftrightarrow\quad -\dfrac18<m<\dfrac38 \quad\Rightarrow\quad m=0 \quad\Rightarrow\quad x=-\dfrac{\pi}4.\)
\(-\dfrac{\pi}2<2\pi n<\dfrac{\pi}2\quad\Leftrightarrow\quad -\dfrac14<n<\dfrac14\quad\Rightarrow\quad n=0\quad\Rightarrow\quad x=0.\)
Ответ:
а) \(2\pi n; \quad \pm \dfrac{\pi}4+2\pi m; \quad n,m\in\mathbb{Z}\)
б) \(-\dfrac{\pi}4; \ 0; \ \dfrac{\pi}4\)