Математика ЕГЭ
Русский язык ЕГЭ
Математика 5-7
Математика ОГЭ
Информатика
Физика
Обществознание
Кликните, чтобы открыть меню

13. Решение уравнений

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Сведение тригонометрических уравнений к квадратному или кубическому уравнению (страница 3)

\(\blacktriangleright\) Пример квадратного тригонометрического уравнения: \[a\sin^2x+b\sin x+c=0, \ \ \ a\ne 0\] Для решения данного уравнения нужно сделать замену \(\sin x=t\) и решить полученное квадратное уравнение.

 

\(\blacktriangleright\) Пример кубического тригонометрического уравнения: \[a\sin^3x+b\sin^2x+c\sin x+d=0, \ \ \ a\ne 0\] Для решения данного уравнения нужно сделать замену \(\sin x=t\) и решить полученное кубическое уравнение.

 

Часто использующиеся формулы:

 

\(\blacktriangleright\) Основные тождества: \[\begin{array}{|ccc|} \hline \sin^2 \alpha+\cos^2 \alpha =1&& \mathrm{tg}\, \alpha \cdot \mathrm{ctg}\,\alpha =1\\ &&\\ \mathrm{tg}\, \alpha=\dfrac{\sin \alpha}{\cos \alpha}&&\mathrm{ctg}\, \alpha =\dfrac{\cos \alpha}{\sin \alpha}\\&&\\ 1+\mathrm{tg}^2\, \alpha =\dfrac1{\cos^2 \alpha} && 1+\mathrm{ctg}^2\, \alpha=\dfrac1{\sin^2 \alpha}\\&&\\ \hline \end{array}\]

\(\blacktriangleright\) Формулы двойного угла: \[\begin{array}{|lc|cr|} \hline \sin {2\alpha}=2\sin \alpha\cos \alpha & \qquad &\qquad & \cos{2\alpha}=\cos^2\alpha -\sin^2\alpha\\ \sin \alpha\cos \alpha =\dfrac12\sin {2\alpha} && & \cos{2\alpha}=2\cos^2\alpha -1\\ & & & \cos{2\alpha}=1-2\sin^2 \alpha\\ \hline &&&\\ \mathrm{tg}\, 2\alpha = \dfrac{2\mathrm{tg}\, \alpha}{1-\mathrm{tg}^2\,\alpha} && & \mathrm{ctg}\,2\alpha = \dfrac{\mathrm{ctg}^2\,\alpha-1}{2\mathrm{ctg}\,\alpha}\\&&&\\ \hline \end{array}\]

\(\blacktriangleright\) Формулы понижения степени: \[\begin{array}{|lc|cr|} \hline &&&\\ \sin^2\alpha=\dfrac{1-\cos{2\alpha}}2 &&& \cos^2\alpha=\dfrac{1+\cos{2\alpha}}2\\&&&\\ \hline \end{array}\]

Задание 15 #3062
Уровень задания: Равен ЕГЭ

а) Решите уравнение \[(4\cos^23x-4\sin 3x-1)\cdot \sqrt{-\mathrm{ctg}\,x}=0\]

б) Укажите корни уравнения, принадлежащие промежутку \(\left(\dfrac{\pi}2;2\pi\right].\)

а) Данное уравнение равносильно системе \[\begin{cases} \left[ \begin{gathered}\begin{aligned} &4\cos^23x-4\sin 3x-1=0\\ &-\mathrm{ctg}\,x=0\end{aligned} \end{gathered} \right.\\ -\mathrm{ctg}\,x\geqslant 0 \end{cases}\]

Решим первое уравнение. Сделаем замену \(t=\sin 3x\), тогда уравнение примет вид \[4-4t^2-4t-1=0 \quad\Leftrightarrow\quad 4t^2+4t+1=4 \quad\Leftrightarrow\quad (2t+1)^2=2^2 \quad\Rightarrow\quad 2t+1=\pm 2.\] Следовательно, получаем:   1) \(\sin 3x=\dfrac12 \quad\Rightarrow\quad x=\dfrac{\pi}{18}+\dfrac{2\pi}3n\) и \(x=\dfrac{5\pi}{18}+\dfrac{2\pi}3k\), \(k,n\in\mathbb{Z}.\)   2) \(\sin 3x=-\dfrac32\) – не имеет решений.

 

Решим второе уравнение: \[\mathrm{ctg}\,x=0 \quad\Leftrightarrow\quad x=\dfrac{\pi}2+\pi m, m\in\mathbb{Z}\]

Пересечем полученные решения с условием \(-\mathrm{ctg}\,x\geqslant 0 \quad\Leftrightarrow\quad \mathrm{ctg}\,x\leqslant 0\).
Для этого отметим полученные корни на окружности, тогда подойдут те, которые находятся на зеленых дугах:



Следовательно, ответ: \(x=\dfrac{\pi}2+\pi m; \ \dfrac{13\pi}{18}+2\pi n; \ \dfrac{17\pi}{18}+2\pi k; \ \dfrac{29\pi}{18}+2\pi l; \ m,n,k,l\in\mathbb{Z}.\)

 

б) Отберем корни по окружности. Отметим дугу, соответствующую промежутку \(\left(\dfrac{\pi}2;2\pi\right]\). Тогда в этот промежуток попадают следующие точки:

Ответ:

а) \(\dfrac{\pi}2+\pi m; \ \dfrac{13\pi}{18}+2\pi n; \ \dfrac{17\pi}{18}+2\pi k; \ \dfrac{29\pi}{18}+2\pi l; \ m,n,k,l\in\mathbb{Z}\)

 

б) \(\dfrac{13\pi}{18}; \ \dfrac{17\pi}{18}; \ \dfrac{3\pi}2; \ \dfrac{29\pi}{18}\)

Задание 16 #1371
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

а) Решите уравнение \[\mathrm{tg}\,x-2\mathrm{ctg}\,x=1\]

б) Найдите все его корни, принадлежащие промежутку \(\left(-\dfrac{5\pi}2;-\dfrac{\pi}2\right)\).

а) ОДЗ: \(\sin x\ne 0, \cos x\ne 0\). Решим на ОДЗ.

Заметим, что в данном уравнении \(\mathrm{tg}\,x\ne 0\), т.к. тогда \(\mathrm{ctg}\,x\) не существует. Поэтому домножим правую и левую части уравнения на \(\mathrm{tg}\,x\):

\[\mathrm{tg}^2\,x-2\mathrm{ctg}\,x\cdot \mathrm{tg}\,x-\mathrm{tg}\,x=0 \Rightarrow \mathrm{tg}^2\,x-2-\mathrm{tg}\,x=0, \text{т.к. } \mathrm{ctg}\,x\cdot \mathrm{tg}\,x=1\]

Сделаем замену \(\mathrm{tg}\,x=t, t\in\mathbb{R}\):

\[t^2-t-2=0 \Rightarrow t_1=-1; t_2=2\]

Сделаем обратную замену:

\[\left[ \begin{gathered}\begin{aligned} &\mathrm{tg}\,x=-1\\ &\mathrm{tg}\,x=2 \end{aligned} \end{gathered}\right. \Rightarrow \left[ \begin{gathered}\begin{aligned} &x_1=-\dfrac{\pi}4+\pi n, n\in\mathbb{Z}\\ &x_2=\mathrm{arctg}\,2+\pi m, m\in\mathbb{Z} \end{aligned} \end{gathered}\right.\]

Заметим, что данные ответы подходят под ОДЗ.

 

б) Отберем корни:

 

1) \(-\dfrac{5\pi}4<x_1<-\dfrac{\pi}2 \Rightarrow -\dfrac94<n<-\dfrac14 \Rightarrow n=-2;-1 \Rightarrow x=-\dfrac{9\pi}4; -\dfrac{5\pi}4\)

 

2) Обозначим \(\mathrm{arctg}\,2=\alpha\).

 

\(-\dfrac{5\pi}2<x_2<-\dfrac{\pi}2 \Rightarrow -\dfrac52-\dfrac{\alpha}{\pi}<m<-\dfrac12-\dfrac{\alpha}{\pi}\)

 

Т.к. в первой четверти тангенс возрастает, то \(\dfrac{\pi}2>\alpha>\dfrac{\pi}3\), следовательно, \(-\dfrac12<-\dfrac{\alpha}{\pi}<-\dfrac13\), значит:

 

\(-3<-\dfrac52-\dfrac{\alpha}{\pi}<-\dfrac{17}6, \qquad -1<-\dfrac12-\dfrac{\alpha}{\pi}<-\dfrac56\), следовательно, можно условно записать, что \[-2,...<m<-0,...\]

Значит, \(m=-2;-1\), следовательно, \(x=\mathrm{arctg}\,2-2\pi; \mathrm{arctg}\,2-\pi\).

Ответ:

а) \(-\dfrac{\pi}4+\pi n, \mathrm{arctg}\,2+\pi m, \ n,m\in\mathbb{Z}\)

 

б) \(-\dfrac{9\pi}4;\mathrm{arctg}\,2-2\pi; -\dfrac{5\pi}4; \mathrm{arctg}\,2-\pi\)

Задание 17 #1374
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

а) Решите уравнение \[\dfrac{9-10\sin^2x-3\cos x}{2\sin x-\sqrt3}=0\]

б) Найдите все его корни, принадлежащие промежутку \(\left[-20\pi;-\dfrac{35\pi}2\right]\).

а) ОДЗ: \(\sin x\ne \dfrac{\sqrt3}2\). Решим на ОДЗ.

\[9-10(1-\cos^2x)-3\cos x=0 \Rightarrow 10\cos^2x-3\cos x-1=0\]

Сделаем замену: \(t=\cos x, \ -1\leqslant t\leqslant 1\):

\[10t^2-3t-1=0 \Rightarrow t_1=\dfrac12; t_2=-\dfrac15\]

Сделаем обратную замену:

\[\left[ \begin{gathered}\begin{aligned} &\cos x=\dfrac12\\ &\cos x=-\dfrac15 \end{aligned} \end{gathered}\right. \Rightarrow \left[ \begin{gathered}\begin{aligned} &x=\dfrac{\pi}3+2\pi n, n\in\mathbb{Z}\\ &x=-\dfrac{\pi}3+2\pi m, m\in\mathbb{Z}\\ &x=\pi-\arccos\dfrac15+2\pi k, k\in\mathbb{Z}\\ &x=-(\pi-\arccos \dfrac15)+2\pi l, l\in\mathbb{Z} \end{aligned} \end{gathered}\right.\]

Пересечем данные ответы с ОДЗ: по ОДЗ не подходит только одна серия корней: \(x=\dfrac{\pi}3+2\pi n, n\in\mathbb{Z}\)
(т.к. если \(\sin x\ne \dfrac{\sqrt3}2 \Rightarrow x\ne \dfrac{\pi}3+2\pi r; \dfrac{2\pi}3+2\pi s, r,s\in\mathbb{Z}\))

 

б) Отберем корни:

 

1) \(-20\pi\leqslant -\dfrac{\pi}3+2\pi m\leqslant -\dfrac{35\pi}2 \Rightarrow -9\dfrac56\leqslant m\leqslant -8\dfrac7{12} \Rightarrow m=-9 \Rightarrow x=-\dfrac{55\pi}3\)

 

2) Т.к. в первой четверти косинус убывает, то \(\dfrac{\pi}2>\arccos \dfrac15>\arccos \dfrac12=\dfrac{\pi}3\).

 

\(-20\pi\leqslant\pi-\arccos\dfrac15+2\pi k\leqslant -\dfrac{35\pi}2 \Rightarrow -\dfrac{21}2+\dfrac{\alpha}{2\pi}\leqslant k\leqslant -\dfrac{37}4+\dfrac{\alpha}{2\pi} \Rightarrow \)

 

\(-10,...\leqslant k\leqslant -9,... \Rightarrow k=-10 \Rightarrow x=-19\pi-\arccos \dfrac15\)

 

3) Аналогично второму случаю находим, что из третьей серии корней в промежуток попадает \(x=\arccos \dfrac15-19\pi\)

Ответ:

а) \(-\dfrac{\pi}3+2\pi m, \pi-\arccos\dfrac15+2\pi k, -\pi+\arccos \dfrac15+2\pi l, \ m,k,l\in\mathbb{Z}\)

 

б) \(-19\pi-\arccos \dfrac15; -19\pi+\arccos \dfrac15;-\dfrac{55\pi}3\)

Задание 18 #1372
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

а) Решите уравнение \[3(\sin^3x+1)^2+2\cos^3\left(\dfrac{13\pi}2+x\right)-3=0\]

б) Найдите все его корни, принадлежащие промежутку \((0;\pi]\).

а) ОДЗ: \(x\) – произвольное. Решим на ОДЗ.

По формуле приведения \(\cos\left(\dfrac{13\pi}2+x\right)=-\sin x\), следовательно, уравнение примет вид:

\[3(\sin^3x+1)^2+2(-\sin x)^3-3=0 \Rightarrow 3(\sin^3x+1)^2-2\sin^3x-3=0\]

Сделаем замену: \(\sin^3x+1=t\), тогда \(\sin^3x=t-1\):

\[3t^2-2(t-1)-3=0 \Rightarrow 3t^2-2t-1=0 \Rightarrow t_1=1; t_2=-\dfrac13\]

Сделаем обратную замену:

\[\left[ \begin{gathered}\begin{aligned} &\sin^3x+1=1\\ &\sin^3x+1=-\dfrac13 \end{aligned} \end{gathered}\right. \Rightarrow \left[ \begin{gathered}\begin{aligned} &\sin^3x=0\\ &\sin^3x=-\dfrac43 \end{aligned} \end{gathered}\right.\]

Т.к. \(-1\leqslant \sin\alpha\leqslant 1\) при любом \(\alpha\), следовательно, \(-1\leqslant \sin^3\alpha\leqslant 1\), значит, второе уравнение решений не имеет. Следовательно:

\[\sin^3x=0 \Rightarrow x=\pi n, n\in\mathbb{Z}\]

б) Отберем корни:

 

\(0<\pi n\leqslant \pi \Rightarrow 0<n\leqslant 1 \Rightarrow n=1 \Rightarrow x= \pi\).

Ответ:

а) \(\pi n, n\in\mathbb{Z}\)

 

б) \(\pi\)

Задание 19 #2810
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

а) Решите уравнение \[\sin^2\left(x-\dfrac{3\pi}8\right)+\cos \left(x+\dfrac{\pi}8\right)-2=0\]

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку \((-2\pi;2\pi).\)

а) Сделаем замену: \(t=x-\dfrac{3\pi}8\). Тогда \(x=t+\dfrac{3\pi}8\), следовательно, \(x+\dfrac{\pi}8=t+\dfrac{4\pi}8=t+\dfrac{\pi}2\).

 

Следовательно, по формуле приведения \(\cos \left(x+\dfrac{\pi}8\right)=\cos \left(t+\dfrac{\pi}2\right)=-\sin t\). Тогда уравнение примет вид: \[\sin^2 t-\sin t-2=0\] Сделав еще одну замену \(\sin t=f\), получим квадратное уравнение \(f^2-f-2=0\), корнями которого являются \(f=2\) и \(f=-1\). Так как \(f=\sin t\in [-1;1]\), то корень \(f=2\) не подходит. Следовательно, \[\sin t=\sin \left(x-\dfrac{3\pi}8\right)=-1 \quad\Leftrightarrow\quad x-\dfrac{3\pi}8=-\dfrac{\pi}2+2\pi n \quad\Leftrightarrow\quad x=-\dfrac{\pi}8+2\pi n, n\in\mathbb{Z}.\]

б) Отберем корни.

 

\(-2\pi<-\dfrac{\pi}8+2\pi n<2\pi\quad\Leftrightarrow\quad -\dfrac{15}{16}<n<\dfrac{17}{16} \quad\Rightarrow\quad n=0; \ 1 \quad \Rightarrow\quad x=-\dfrac{\pi}8; \ \dfrac{15\pi}8.\)

Ответ:

а) \(-\dfrac{\pi}8+2\pi n, n\in\mathbb{Z}\)  

б) \(-\dfrac{\pi}8; \ \dfrac{15\pi}8\)

Задание 20 #1375
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

а) Решите уравнение \[2\cos^2x+4\cos x+2=\dfrac1{1+\mathrm{ctg}^2\,x}\]

б) Найдите все его корни, принадлежащие промежутку \(\left(-\pi;0\right)\).

а) ОДЗ: \(\sin x\ne 0\). Решим на ОДЗ.

Т.к. \(1+\mathrm{ctg}^2\,x=\dfrac1{\sin^2x} \Rightarrow \) уравнение примет вид:

\[2\cos^2x+4\cos x+2=\dfrac1{\frac1{\sin^2x}} \Rightarrow 2\cos^2x+4\cos x+2=\sin^2x \Rightarrow\]

\[2\cos^2x+4\cos x+2=1-\cos^2x \Rightarrow 3\cos^2x+4\cos x+1=0\]

С помощью замены \(\cos x=t\) данное уравнение сводится к квадратному, корнями которого будут \(t_1=-1; t_2=-\dfrac13\). Сделав обратную замену, получим:

\[\left[ \begin{gathered}\begin{aligned} &\cos x=-1\\ &\cos x=-\dfrac13 \end{aligned} \end{gathered}\right. \Rightarrow \left[ \begin{gathered}\begin{aligned} &x=-\pi+2\pi n, n\in\mathbb{Z}\\ &x=\pm \left(\pi-\arccos\dfrac13\right)+2\pi m, m\in\mathbb{Z} \end{aligned} \end{gathered}\right.\]

Заметим, что первая серия корней не удовлетворяет ОДЗ, т.к. \(\sin \left(-\pi+2\pi n\right)=\sin (-\pi)=0\)

 

б) Отберем корни.

\(-\pi<\pm \left(\pi-\arccos\dfrac13\right)+2\pi m<0 \Rightarrow x=-\pi+\arccos\dfrac13\)

Ответ:

а) \(\pm \left(\pi-\arccos\dfrac13\right)+2\pi m, m\in\mathbb{Z}\)

 

б) \(-\pi+\arccos\dfrac13\)

Задание 21 #1285
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

a) Решите уравнение

\[\begin{aligned} \sin^3{x} + (1 + \pi)\sin^2{x} + (\pi - 2)\sin{x} - 2\pi = 0 \end{aligned}\]

б) Найдите все его корни, принадлежащие промежутку \(\left(\dfrac{\pi}{3}; 4\pi \right)\).

ОДЗ: \(x\) – произвольное. Решим на ОДЗ:

а) Данное уравнение является уравнением третьей степени относительно \(\sin{x}\). Сделаем замену \[\sin{x} = t.\]

В новых переменных уравнение примет вид:

\[\begin{aligned} t^3 + (1 + \pi)t^2 + (\pi - 2)t - 2\pi = 0. \end{aligned}\]

Можно угадать один из корней этого уравнения \(t = 1\). Знание этого корня позволяет вынести за скобку выражение \((t - 1)\) при помощи деления многочлена \(t^3 + (1 + \pi)t^2 + (\pi - 2)t - 2\pi\) на \((t - 1)\) столбиком: \[\begin{array}{rr|l} t^3+(1 + \pi)t^2+(\pi - 2)t-2\pi&&\negthickspace\underline{\qquad\quad t-1 \qquad\quad }\\ \underline{t^3 -\qquad\quad t^2} \phantom{00000000000000}&&\negthickspace \ t^2 + (2 + \pi)t + 2\pi\\[-3pt] (2+\pi)t^2 + (\pi - 2)t\,\phantom{0000}&&\\ \underline{(2+\pi)t^2 - (2 + \pi)t\,}\phantom{0000}&&\\[-3pt] 2\pi t - 2\pi&&\\ \underline{2\pi t - 2\pi}&&\\[-3pt] 0&&\\ \end{array}\]

Для дальнейшего разложения на множители необходимо найти корни квадратного уравнения \[t^2 + (2 + \pi)t + 2\pi = 0.\]

По теореме Виета сумма его корней равна \(-(2 + \pi)\), а их произведение равно \(2\pi\), откуда подбираются корни \(t_1 = -2, \ t_2 = -\pi\).

Таким образом,

\[\begin{aligned} & t^3 + (1 + \pi)t^2 + (\pi - 2)t - 2\pi = (t - 1)(t + 2)(t + \pi). \end{aligned}\]

Произведение выражений равно нулю в том и только том случае, когда хотя бы одно из них равно нулю и все они не теряют смысл, следовательно, корнями уравнения

\[\begin{aligned} & t^3 + (1 + \pi)t^2 + (\pi - 2)t - 2\pi = 0 \end{aligned}\]

являются \(t_1 = -2, \ t_2 = -\pi, t_3 = 1\).

 

Возвращаясь к старым переменным, находим, что корнями исходного уравнения являются те \(x\), при которых выполнено по крайней мере одно из условий: или \(\sin{x} = -2\), или \(\sin{x} = -\pi\), или \(\sin{x} = 1\).

Так как \(-1 \leq \sin{x}\leq 1\), то у уравнений \(\sin{x} = -2\) и \(\sin{x} = -\pi\) нет корней, тогда

\[\begin{aligned} \sin{x} = 1. \end{aligned}\]

Решения этого уравнения имеют вид \(x = \dfrac{\pi}{2} + 2\pi k\), где \(k\in\mathbb{Z}\).

 

б) \[\dfrac{\pi}{3} < \dfrac{\pi}{2} + 2\pi k < 4\pi\qquad\Leftrightarrow\qquad \dfrac{1}{3} < \dfrac{1}{2} + 2 k < 4\qquad\Leftrightarrow\] \[\Leftrightarrow \qquad \dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{2} < 2 k < 4 - \dfrac{1}{2}\qquad\Leftrightarrow\qquad -\dfrac{1}{12} < k < 1,75,\] но \(k\in\mathbb{Z}\), тогда подходят только корни при \(k = 0\) и \(k = 1\): \(x_1 = \dfrac{\pi}{2}\), \(x_2 = \dfrac{5\pi}{2}\).

Ответ:

а) \(\dfrac{\pi}{2} + 2\pi k\), где \(k\in\mathbb{Z}\).

б) \(\dfrac{\pi}{2}\), \(\dfrac{5\pi}{2}\).