a) Решите уравнение
\[\begin{aligned} \cos^4 x + \cos (4x) - 0,5\sin^2 (2x) + 15\sin^2 x + \sin^4 x = 5\cos^2 x + 1. \end{aligned}\]
б) Найдите все его корни, принадлежащие промежутку \((0; \pi)\).
ОДЗ: \(x\) – произвольное. Решим на ОДЗ:
а) Используя формулу для косинуса двойного угла, исходное уравнение можно переписать в виде:
\[\begin{aligned} \cos^4 x - 0,5\sin^2 (2x) + \sin^4 x + (2\cos^2 (2x) - 1) + 15\sin^2 x - 5\cos^2 x - 1 = 0. \end{aligned}\]
Используя формулу для синуса двойного угла, полученное уравнение можно переписать в виде:
\[\begin{aligned} \cos^4 x - 2\sin^2 x\cdot\cos^2 x + \sin^4 x + (2\cos^2 (2x) - 1) + 15\sin^2 x - 5\cos^2 x - 1 = 0. \end{aligned}\]
Так как \(\cos^2 (2x) = (\cos^2 x - \sin^2 x)^2 = \cos^4 x - 2\sin^2 x\cdot\cos^2 x + \sin^4 x\), то последнее уравнение можно переписать в виде:
\[\begin{aligned} &\cos^2 (2x) + (2\cos^2 (2x) - 1) + 15\sin^2 x - 5\cos^2 x - 1 = 0 \Leftrightarrow\\ \Leftrightarrow\ &3\cos^2 (2x) + 10\sin^2 x + (5\sin^2 x - 5\cos^2 x) - 2 = 0\Leftrightarrow\\ \Leftrightarrow\ &3\cos^2 (2x) + (5\sin^2 x - 5\cos^2 x) + (10\sin^2 x - 5) + 5 - 2 = 0. \end{aligned}\]
Используя формулы для косинуса двойного угла, последнее уравнение можно переписать в виде:
\[\begin{aligned} 3\cos^2 (2x) - 10\cos (2x) + 3 = 0. \end{aligned}\]
Полученное уравнение представляет собой квадратное уравнение относительно \(\cos (2x)\).
Сделаем замену \(\cos (2x) = t\), тогда уравнение примет вид \[3t^2 - 10t + 3 = 0.\] Его дискриминант \(D = 100 - 36 = 64\), тогда \(t_{1, 2} = \dfrac{10\pm 8}{6}\), откуда \(t_1 = 3\), \(t_2 = \dfrac{1}{3}\), следовательно,
\(\cos (2x) = 3\) или \(\cos (2x) = \dfrac{1}{3}\).
Так как \(\cos (2x)\leq 1\), то \(\cos (2x) = 3\) быть не может, следовательно, \(\cos (2x) = \dfrac{1}{3}\).
Уравнение \(\cos y = a\) имеет решения \(y = \pm\mathrm{arccos}\, a + 2\pi k\), где \(k\in\mathbb{Z}\), следовательно, уравнение \(\cos (2x) = \dfrac{1}{3}\) имеет решения, для которых выполнено \(2x = \pm\mathrm{arccos}\, \dfrac{1}{3} + 2\pi k\), где \(k\in\mathbb{Z}\), тогда \[x = \pm\dfrac{1}{2}\cdot\mathrm{arccos}\, \dfrac{1}{3} + \pi k, k\in\mathbb{Z}.\]
б) \[0 < \dfrac{1}{2}\cdot\mathrm{arccos}\, \dfrac{1}{3} + \pi k < \pi\quad\Leftrightarrow\quad -\dfrac{1}{2}\cdot\mathrm{arccos}\, \dfrac{1}{3} < \pi k < \pi - \dfrac{1}{2}\cdot\mathrm{arccos}\, \dfrac{1}{3}\quad\Leftrightarrow\] \[-\dfrac{1}{2\pi}\cdot\mathrm{arccos}\, \dfrac{1}{3} < k < 1 - \dfrac{1}{2\pi}\cdot\mathrm{arccos}\, \dfrac{1}{3}\]
Так как \(\mathrm{arccos}\, \dfrac{1}{3}\in (0; \pi)\), то \(-\dfrac{1}{2\pi}\cdot\mathrm{arccos}\, \dfrac{1}{3}\in (-0,5; 0)\). При этом \(k\in\mathbb{Z}\), следовательно, среди этих решений подходит только решение при \(k = 0\): \(x = \dfrac{1}{2}\cdot\mathrm{arccos}\, \dfrac{1}{3}\).
\[0 < -\dfrac{1}{2}\cdot\mathrm{arccos}\, \dfrac{1}{3} + \pi k < \pi\quad\Leftrightarrow\quad \dfrac{1}{2}\cdot\mathrm{arccos}\, \dfrac{1}{3} < \pi k < \pi + \dfrac{1}{2}\cdot\mathrm{arccos}\, \dfrac{1}{3}\quad\Leftrightarrow\] \[\dfrac{1}{2\pi}\cdot\mathrm{arccos}\, \dfrac{1}{3} < k < 1 + \dfrac{1}{2\pi}\cdot\mathrm{arccos}\, \dfrac{1}{3}\]
Так как \(\mathrm{arccos}\, \dfrac{1}{3}\in (0; \pi)\), то \(\dfrac{1}{2\pi}\cdot\mathrm{arccos}\, \dfrac{1}{3}\in (0; 0,5)\). При этом \(k\in\mathbb{Z}\), следовательно, среди этих решений подходит только решение при \(k = 1\): \(x = \pi - \dfrac{1}{2}\cdot\mathrm{arccos}\, \dfrac{1}{3}\).
Ответ:
а) \(\pm\dfrac{1}{2}\cdot\mathrm{arccos}\, \dfrac{1}{3} + \pi k\), где \(k\in\mathbb{Z}\).
б) \(\dfrac{1}{2}\cdot\mathrm{arccos}\, \dfrac{1}{3}\), \(\pi - \dfrac{1}{2}\cdot\mathrm{arccos}\, \dfrac{1}{3}\).
