Математика ЕГЭ
Русский язык ЕГЭ
Математика 5-7
Математика ОГЭ
Физика
Кликните, чтобы открыть меню

5. Решение уравнений

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Иррациональные уравнения (со знаком корня) (страница 2)

Иррациональное уравнение – уравнение, содержащее переменную \(x\) под знаком корня любой степени.

 

Стандартное иррациональное уравнение:

\[{\large{ \sqrt[n]{f(x)}=g(x)}}, \text{ где }n\ -\text{ натуральное число.}\]

\(\blacktriangleright\) Если \(n\) – четное, то данное уравнение имеет решения только при \(g(x)\geqslant 0\) и \(f(x)\geqslant 0\) ввиду определения корня четной степени. Значит:

\[{\large{\sqrt[n]{f(x)}=g(x) \quad \Leftrightarrow \quad \begin{cases} f(x)=g^n(x)\\ g(x)\geqslant 0 \end{cases}}}\]

(условие \(f(x)\geqslant 0\) автоматически выполняется в данной системе)

 

\(\blacktriangleright\) Если \(n\) – нечетное, то данное уравнение имеет решения при любых \(f(x)\) и \(g(x)\). Значит:

\[{\large{ \sqrt[n]{f(x)}=g(x)\quad \Leftrightarrow \quad f(x)=g^n(x)}}\]

Задание 8 #372
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите корень уравнения \(\sqrt{\dfrac{5}{x + 7}} = 2\).

Добавить задание в избранное

ОДЗ: \(\dfrac{5}{x + 7} \geq 0\), что равносильно \(x > -7\). Решим на ОДЗ:

При возведении в квадрат левой и правой части уравнения в общем случае могут приобретаться лишние корни, но не могут теряться корни исходного уравнения.

Возведём в квадрат левую и правую часть, найдём корни получившегося уравнения и проверим подстановкой, все ли они являются корнями исходного уравнения: \[\dfrac{5}{x + 7} = 4,\] что на ОДЗ равносильно \[5 = 4(x + 7)\qquad\Leftrightarrow\qquad x = -5,75.\] Подставим в исходное уравнение: \[\sqrt{\dfrac{5}{-5,75 + 7}} = 2\] – верное равенство, таким образом, ответ \(x = -5,75\).

Ответ: -5,75

Задание 9 #373
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите корень уравнения \(\sqrt{\dfrac{1}{3x + 4}} = \dfrac{1}{5}\).

Добавить задание в избранное

ОДЗ: \(\dfrac{1}{3x + 4} \geq 0\), что равносильно \(x > -\dfrac{4}{3}\). Решим на ОДЗ:

При возведении в квадрат левой и правой части уравнения в общем случае могут приобретаться лишние корни, но не могут теряться корни исходного уравнения.

Возведём в квадрат левую и правую часть, найдём корни получившегося уравнения и проверим подстановкой, все ли они являются корнями исходного уравнения: \[\dfrac{1}{3x + 4} = \dfrac{1}{25},\] что на ОДЗ равносильно \[3x + 4 = 25\qquad\Leftrightarrow\qquad x = 7.\] Подставим в исходное уравнение: \[\sqrt{\dfrac{1}{3 \cdot 7 + 4}} = \dfrac{1}{5}\] – верное равенство. Итого: \(x = 7\).

Ответ: 7

Задание 10 #374
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите корень уравнения \(\sqrt{\dfrac{2}{-5x + 3}} = 10\).

Добавить задание в избранное

ОДЗ: \(\dfrac{2}{-5x + 3} \geq 0\), что равносильно \(x < 0,6\). Решим на ОДЗ:

При возведении в квадрат левой и правой части уравнения в общем случае могут приобретаться лишние корни, но не могут теряться корни исходного уравнения.

Возведём в квадрат левую и правую часть, найдём корни получившегося уравнения и проверим подстановкой, все ли они являются корнями исходного уравнения: \[\dfrac{2}{-5x + 3} = 100,\] что на ОДЗ равносильно \[2 = 100(-5x + 3)\qquad\Leftrightarrow\qquad x = 0,596.\] Подставим в исходное уравнение: \[\sqrt{\dfrac{2}{-5\cdot 0,596 + 3}} = 10\] – верное равенство, таким образом, ответ \(x = 0,596\).

Ответ: 0,596

Задание 11 #375
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите корень уравнения \(\sqrt{\dfrac{11}{22 - \dfrac{1}{3}x}} = \sqrt{3}\).

Добавить задание в избранное

ОДЗ: \(\dfrac{11}{22 - \dfrac{1}{3}x} \geq 0\), что равносильно \(x < 66\). Решим на ОДЗ:

При возведении в квадрат левой и правой части уравнения в общем случае могут приобретаться лишние корни, но не могут теряться корни исходного уравнения.

Возведём в квадрат левую и правую часть, найдём корни получившегося уравнения и проверим подстановкой, все ли они являются корнями исходного уравнения: \[\dfrac{11}{22 - \dfrac{1}{3}x} = 3,\] что на ОДЗ равносильно \[11 = 3\left(22 - \dfrac{1}{3}x\right)\qquad\Leftrightarrow\qquad x = 55.\] Подставим в исходное уравнение: \[\sqrt{\dfrac{11}{22 - \dfrac{1}{3}\cdot 55}} = \sqrt{3}\] – верное равенство, таким образом, ответ \(x = 55\).

Ответ: 55

Задание 12 #376
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите корень уравнения \(\sqrt[3]{x - 8} = 2\).

Добавить задание в избранное

ОДЗ: \(x\) – произвольное. Решим на ОДЗ:

Данное уравнение имеет стандартный вид, оно равносильно \(x - 8 = 2^3\), что равносильно \(x = 16\) – подходит по ОДЗ.

Ответ: 16

Задание 13 #377
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите корень уравнения \(\sqrt[3]{2 + 4x} = 3\).

Добавить задание в избранное

ОДЗ: \(x\) – произвольное. Решим на ОДЗ:

Данное уравнение имеет стандартный вид, оно равносильно \(2 + 4x = 3^3\), что равносильно \(x = 6,25\) – подходит по ОДЗ.

Ответ: 6,25

Задание 14 #378
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите корень уравнения \(\sqrt[3]{-x - 1} = 4\).

Добавить задание в избранное

ОДЗ: \(x\) – произвольное. Решим на ОДЗ:

Данное уравнение имеет стандартный вид, оно равносильно \(-x - 1 = 4^3\), что равносильно \(x = -65\) – подходит по ОДЗ.

Ответ: -65

1 2 3 4