Математика
Русский язык

5. Решение уравнений

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Иррациональные уравнения (со знаком корня) (страница 2)

Иррациональное уравнение – уравнение, содержащее переменную \(x\) под знаком корня любой степени.

 

Стандартное иррациональное уравнение:

\[{\large{ \sqrt[n]{f(x)}=g(x)}}, \text{ где }n\ -\text{ натуральное число.}\]

\(\blacktriangleright\) Если \(n\) – четное, то данное уравнение имеет решения только при \(g(x)\geqslant 0\) и \(f(x)\geqslant 0\) ввиду определения корня четной степени. Значит:

\[{\large{\sqrt[n]{f(x)}=g(x) \quad \Leftrightarrow \quad \begin{cases} f(x)=g^n(x)\\ g(x)\geqslant 0 \end{cases}}}\]

(условие \(f(x)\geqslant 0\) автоматически выполняется в данной системе)

 

\(\blacktriangleright\) Если \(n\) – нечетное, то данное уравнение имеет решения при любых \(f(x)\) и \(g(x)\). Значит:

\[{\large{ \sqrt[n]{f(x)}=g(x)\quad \Leftrightarrow \quad f(x)=g^n(x)}}\]

Задание 8
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите корень уравнения \(\sqrt{\dfrac{1}{3x + 4}} = \dfrac{1}{5}\).

Добавить задание в избранное

ОДЗ: \(\dfrac{1}{3x + 4} \geq 0\), что равносильно \(x > -\dfrac{4}{3}\). Решим на ОДЗ:

При возведении в квадрат левой и правой части уравнения в общем случае могут приобретаться лишние корни, но не могут теряться корни исходного уравнения.

Возведём в квадрат левую и правую часть, найдём корни получившегося уравнения и проверим подстановкой, все ли они являются корнями исходного уравнения: \[\dfrac{1}{3x + 4} = \dfrac{1}{25},\] что на ОДЗ равносильно \[3x + 4 = 25\qquad\Leftrightarrow\qquad x = 7.\] Подставим в исходное уравнение: \[\sqrt{\dfrac{1}{3 \cdot 7 + 4}} = \dfrac{1}{5}\] – верное равенство. Итого: \(x = 7\).

Ответ: 7

Задание 9
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите корень уравнения \(\sqrt{\dfrac{2}{-5x + 3}} = 10\).

Добавить задание в избранное

ОДЗ: \(\dfrac{2}{-5x + 3} \geq 0\), что равносильно \(x < 0,6\). Решим на ОДЗ:

При возведении в квадрат левой и правой части уравнения в общем случае могут приобретаться лишние корни, но не могут теряться корни исходного уравнения.

Возведём в квадрат левую и правую часть, найдём корни получившегося уравнения и проверим подстановкой, все ли они являются корнями исходного уравнения: \[\dfrac{2}{-5x + 3} = 100,\] что на ОДЗ равносильно \[2 = 100(-5x + 3)\qquad\Leftrightarrow\qquad x = 0,596.\] Подставим в исходное уравнение: \[\sqrt{\dfrac{2}{-5\cdot 0,596 + 3}} = 10\] – верное равенство, таким образом, ответ \(x = 0,596\).

Ответ: 0,596

Задание 10
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите корень уравнения \(\sqrt{\dfrac{11}{22 - \dfrac{1}{3}x}} = \sqrt{3}\).

Добавить задание в избранное

ОДЗ: \(\dfrac{11}{22 - \dfrac{1}{3}x} \geq 0\), что равносильно \(x < 66\). Решим на ОДЗ:

При возведении в квадрат левой и правой части уравнения в общем случае могут приобретаться лишние корни, но не могут теряться корни исходного уравнения.

Возведём в квадрат левую и правую часть, найдём корни получившегося уравнения и проверим подстановкой, все ли они являются корнями исходного уравнения: \[\dfrac{11}{22 - \dfrac{1}{3}x} = 3,\] что на ОДЗ равносильно \[11 = 3\left(22 - \dfrac{1}{3}x\right)\qquad\Leftrightarrow\qquad x = 55.\] Подставим в исходное уравнение: \[\sqrt{\dfrac{11}{22 - \dfrac{1}{3}\cdot 55}} = \sqrt{3}\] – верное равенство, таким образом, ответ \(x = 55\).

Ответ: 55

Задание 11
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите корень уравнения \(\sqrt[3]{x - 8} = 2\).

Добавить задание в избранное

ОДЗ: \(x\) – произвольное. Решим на ОДЗ:

Данное уравнение имеет стандартный вид, оно равносильно \(x - 8 = 2^3\), что равносильно \(x = 16\) – подходит по ОДЗ.

Ответ: 16

Задание 12
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите корень уравнения \(\sqrt[3]{2 + 4x} = 3\).

Добавить задание в избранное

ОДЗ: \(x\) – произвольное. Решим на ОДЗ:

Данное уравнение имеет стандартный вид, оно равносильно \(2 + 4x = 3^3\), что равносильно \(x = 6,25\) – подходит по ОДЗ.

Ответ: 6,25

Задание 13
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите корень уравнения \(\sqrt[3]{-x - 1} = 4\).

Добавить задание в избранное

ОДЗ: \(x\) – произвольное. Решим на ОДЗ:

Данное уравнение имеет стандартный вид, оно равносильно \(-x - 1 = 4^3\), что равносильно \(x = -65\) – подходит по ОДЗ.

Ответ: -65

Задание 14
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите корень уравнения \(\sqrt{2x + 6} = 2\sqrt{2}x\). Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите меньший из них.

Добавить задание в избранное

ОДЗ: \(2x + 6 \geq 0\), что равносильно \(x \geq -3\). Решим на ОДЗ:

При возведении в квадрат левой и правой части уравнения в общем случае могут приобретаться лишние корни, но не могут теряться корни исходного уравнения.

Возведём в квадрат левую и правую часть, найдём корни получившегося уравнения и проверим подстановкой, все ли они являются корнями исходного уравнения: \[2x + 6 = 8x^2\qquad\Leftrightarrow\qquad 8x^2 - 2x - 6 = 0.\] Дискриминант \[D = 4 + 192 = 196 = 14^2.\] Корни \[x_1 = \dfrac{2 + 14}{16} = 1, \ x_2 = \dfrac{2 - 14}{16} = -0,75.\] Подставим в исходное уравнение \(x_1 = 1\): \[\sqrt{2\cdot 1 + 6} = 2\sqrt{2}\cdot 1\] – верное равенство. Подставим в исходное уравнение \(x_2 = -0,75\): \[\sqrt{2\cdot(-0,75) + 6} = 2\sqrt{2}\cdot(-0,75).\] Левая часть данного равенства не может быть отрицательным числом, а справа отрицательное число, значит \(x_2 = -0,75\) – не корень исходного уравнения. Ответ: \(x = 1\).

Ответ: 1

1 2 3 4