Найдите корень уравнения \(\sqrt{2x + 6} = 2\sqrt{2}x\). Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите меньший из них.
ОДЗ: \(2x + 6 \geq 0\), что равносильно \(x \geq -3\). Решим на ОДЗ:
При возведении в квадрат левой и правой части уравнения в общем случае могут приобретаться лишние корни, но не могут теряться корни исходного уравнения.
Возведём в квадрат левую и правую часть, найдём корни получившегося уравнения и проверим подстановкой, все ли они являются корнями исходного уравнения: \[2x + 6 = 8x^2\qquad\Leftrightarrow\qquad 8x^2 - 2x - 6 = 0.\] Дискриминант \[D = 4 + 192 = 196 = 14^2.\] Корни \[x_1 = \dfrac{2 + 14}{16} = 1, \ x_2 = \dfrac{2 - 14}{16} = -0,75.\] Подставим в исходное уравнение \(x_1 = 1\): \[\sqrt{2\cdot 1 + 6} = 2\sqrt{2}\cdot 1\] – верное равенство. Подставим в исходное уравнение \(x_2 = -0,75\): \[\sqrt{2\cdot(-0,75) + 6} = 2\sqrt{2}\cdot(-0,75).\] Левая часть данного равенства не может быть отрицательным числом, а справа отрицательное число, значит \(x_2 = -0,75\) – не корень исходного уравнения. Ответ: \(x = 1\).
Ответ: 1