Математика
Русский язык

5. Решение уравнений

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Иррациональные уравнения (со знаком корня) (страница 3)

Иррациональное уравнение – уравнение, содержащее переменную \(x\) под знаком корня любой степени.

 

Стандартное иррациональное уравнение:

\[{\large{ \sqrt[n]{f(x)}=g(x)}}, \text{ где }n\ -\text{ натуральное число.}\]

\(\blacktriangleright\) Если \(n\) – четное, то данное уравнение имеет решения только при \(g(x)\geqslant 0\) и \(f(x)\geqslant 0\) ввиду определения корня четной степени. Значит:

\[{\large{\sqrt[n]{f(x)}=g(x) \quad \Leftrightarrow \quad \begin{cases} f(x)=g^n(x)\\ g(x)\geqslant 0 \end{cases}}}\]

(условие \(f(x)\geqslant 0\) автоматически выполняется в данной системе)

 

\(\blacktriangleright\) Если \(n\) – нечетное, то данное уравнение имеет решения при любых \(f(x)\) и \(g(x)\). Значит:

\[{\large{ \sqrt[n]{f(x)}=g(x)\quad \Leftrightarrow \quad f(x)=g^n(x)}}\]

Задание 15
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите корень уравнения \(\sqrt{-x + 22} = (-2)^2\).

Добавить задание в избранное

ОДЗ: \(-x + 22 \geq 0\), что равносильно \(x \leq 22\). Решим на ОДЗ:

Исходное уравнение можно переписать в виде \[\sqrt{-x + 22} = 4.\]

При возведении в квадрат левой и правой части уравнения в общем случае могут приобретаться лишние корни, но не могут теряться корни исходного уравнения.

Возведём в квадрат левую и правую часть, найдём корни получившегося уравнения и проверим подстановкой, все ли они являются корнями исходного уравнения: \(-x + 22 = 16\), что равносильно \(x = 6\).

Подставим в исходное уравнение: \(\sqrt{-6 + 22} = (-2)^2\) – верное равенство, таким образом, ответ \(x = 6\).

Ответ: 6

Задание 16
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите корень уравнения \(\sqrt{13x - 40} = x\). Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите наименьший из них.

Добавить задание в избранное

ОДЗ: \(13x - 40 \geq 0\). Решим на ОДЗ:

При возведении в квадрат левой и правой части уравнения в общем случае могут приобретаться лишние корни, но не могут теряться корни исходного уравнения.

Возведём в квадрат левую и правую часть, найдём корни получившегося уравнения и проверим подстановкой, все ли они являются корнями исходного уравнения: \[13x - 40 = x^2\qquad\Leftrightarrow\qquad x^2 - 13x + 40 = 0.\] Дискриминант \(D = 169 - 160 = 9 = 3^2\). Корни \[x_1 = \dfrac{13 + 3}{2} = 8, \ x_2 = \dfrac{13 - 3}{2} = 5.\] Подставив их в исходное уравнение, убеждаемся, что оба они являются корнями исходного уравнения. Наименьший корень равен \(5\).

Ответ: 5

Задание 17
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите корень уравнения \(\sqrt{4\dfrac{4}{7}x + 2\dfrac{1}{7}} = x\). Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите меньший из них.

Добавить задание в избранное

ОДЗ: \(4\dfrac{4}{7}x + 2\dfrac{1}{7} \geq 0\). Решим на ОДЗ:

При возведении в квадрат левой и правой части уравнения в общем случае могут приобретаться лишние корни, но не могут теряться корни исходного уравнения.

Возведём в квадрат левую и правую часть, найдём корни получившегося уравнения и проверим подстановкой, все ли они являются корнями исходного уравнения: \[4\dfrac{4}{7}x + 2\dfrac{1}{7} = x^2\qquad\Leftrightarrow\qquad x^2 - 4\dfrac{4}{7}x - 2\dfrac{1}{7} = 0.\] Дискриминант \[D = \dfrac{1024}{49} + \dfrac{60}{7} = \dfrac{1444}{49} = \left(\dfrac{38}{7}\right)^2.\] Корни \[x_1 = \dfrac{1}{2}\biggl(\dfrac{32}{7} + \dfrac{38}{7}\biggr) = 5, \ x_2 = \dfrac{1}{2}\biggl(\dfrac{32}{7} - \dfrac{38}{7}\biggr) = -\dfrac{3}{7}.\] Подставим в исходное уравнение \(x_1 = 5\): \[\sqrt{4\dfrac{4}{7} \cdot 5 + 2\dfrac{1}{7}} = 5\] – верное равенство. Подставим в исходное уравнение \(x_2 = -\dfrac{3}{7}\): \[\sqrt{4\dfrac{4}{7} \cdot \left(\dfrac{-3}{7}\right) + 2\dfrac{1}{7}} = -\dfrac{3}{7}.\] Левая часть данного равенства не может быть отрицательным числом, а справа отрицательное число, значит \(x_2 = -\dfrac{3}{7}\) – не корень исходного уравнения. Ответ: \(x = 5\).

Ответ: 5

Задание 18
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите корень уравнения \(\sqrt{x + 3,25} = -1,5x\). Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите меньший из них.

Добавить задание в избранное

ОДЗ: \(x \geq -3,25\). Решим на ОДЗ:

При возведении в квадрат левой и правой части уравнения в общем случае могут приобретаться лишние корни, но не могут теряться корни исходного уравнения.

Возведём в квадрат левую и правую часть, найдём корни получившегося уравнения и проверим подстановкой, все ли они являются корнями исходного уравнения: \[x + 3,25 = 2,25x^2\qquad\Leftrightarrow\qquad 2,25x^2 - x - 3,25 = 0.\] Дискриминант \[D = 1 + \dfrac{117}{4} = \dfrac{121}{4} = \left(\dfrac{11}{2}\right)^2.\] Корни \[x_1 = \dfrac{1 - 5,5}{4,5} = -1, \ x_2 = \dfrac{1 + 5,5}{4,5} = \dfrac{13}{9}.\] Подставим в исходное уравнение \(x_1 = -1\): \[\sqrt{-1 + 3,25} = -1,5\cdot (-1)\] – верное равенство. Подставим в исходное уравнение \(x_2 = \dfrac{13}{9}\): \[\sqrt{\dfrac{13}{9} + 3,25} = -1,5\cdot \dfrac{13}{9}.\] Левая часть данного равенства не может быть отрицательным числом, а справа отрицательное число, значит единственный корень \(x = -1\).

Ответ: -1

Задание 19
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Сколько корней имеет данное уравнение? \[\sqrt{x^4 + x^3 + x^2 + x + 1} + \sqrt{x^3 + 3x^2 + x + 1} = 0\]

Добавить задание в избранное

ОДЗ:

\[\begin{aligned} \begin{cases} x^4 + x^3 + x^2 + x + 1 \geqslant 0\\ x^3 + 3x^2 + x + 1\geqslant 0 \end{cases} \end{aligned}\]

Так как при любом \(a\geqslant 0\) имеем \(\sqrt{a} \geqslant 0\), то сумма двух корней на ОДЗ равна нулю тогда и только тогда, когда оба корня равны нулю, откуда

\[\begin{aligned} \begin{cases} \sqrt{x^4 + x^3 + x^2 + x + 1} = 0\\ \sqrt{x^3 + 3x^2 + x + 1} = 0\,, \end{cases} \end{aligned}\]

что равносильно

\[\begin{aligned} \begin{cases} x^4 + x^3 + x^2 + x + 1 = 0\\ x^3 + 3x^2 + x + 1 = 0\,. \end{cases} \end{aligned}\]

Из второго уравнения получаем: \[x^3 + x^2 + 3x^2 + x + 1 = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad x^3 + x^2 + x + 1 = -2x^2\,.\]

Подставляя это в первое уравнение, находим: \[x^4 - 2x^2 = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad x^2(x - \sqrt{2})(x + \sqrt{2}) = 0\]

Таким образом, корнями исходного уравнения могут быть только числа \(0,\ \sqrt{2},\ -\sqrt{2}\).

Прямой подстановкой в полученную систему убеждаемся, что ни одно из них не является корнем первого уравнения системы. Например, при \(x = -\sqrt{2}\):

\[\begin{aligned} x^4 + x^3 + x^2 + x + 1 = 4 - 2\sqrt{2} + 2 - \sqrt{2} + 1 = 7 - 3\sqrt{2}\neq 0 \end{aligned}\]

В итоге, ответ: \(0\).

Ответ: 0

Задание 20
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Число называется алгебраическим, если оно является корнем какого-нибудь многочлена с целыми коэффициентами. Антон придумал себе уравнение \[\sqrt{x^2 - 0,5x} - \sqrt{0,5x^2 + 0,5x + 0,5} = 0\] Сколько алгебраических корней у этого уравнения?

Добавить задание в избранное

ОДЗ:

\[\begin{aligned} \begin{cases} x^2 - 0,5x \geqslant 0\\ 0,5x^2 + 0,5x + 0,5\geqslant 0 \end{cases} \end{aligned}\]

Исходное уравнение равносильно уравнению \[\sqrt{x^2 - 0,5x} = \sqrt{0,5x^2 + 0,5x + 0,5}\,.\] Так как левая и правая части последнего неравенства неотрицательны, то уравнение, получающееся из данного возведением в квадрат левой и правой частей, равносильно исходному на ОДЗ. \[x^2 - 0,5x = 0,5x^2 + 0,5x + 0,5\qquad\Leftrightarrow\qquad x^2 - 2x - 1 = 0\,.\] Таким образом, всякое решение исходного уравнения является корнем многочлена \(x^2 - 2x - 1\), следовательно, всякое решение исходного уравнения будет алгебраическим.

Решениями последнего уравнения будут \(1\pm \sqrt{2}\). Прямой проверкой убеждаемся, что оба корня подходят по ОДЗ. Например, для \(x = 1 - \sqrt{2}\):

\[\begin{aligned} &x^2 - 0,5x = 1 - 2\sqrt{2} + 2 - 0,5 + 0,5\sqrt{2} = 2,5 - 1,5\sqrt{2} > 2,5 - 1,5\cdot 1,5 = 0,25 \geqslant 0\\ &0,5x^2 + 0,5x + 0,5 = 0,5(1 - 2\sqrt{2} + 2) + 0,5 - 0,5\sqrt{2} + 0,5 = 2,5 - 1,5\sqrt{2}\geqslant 0\,. \end{aligned}\]

Таким образом, у исходного уравнения два алгебраических корня.

Ответ: 2

Задание 21
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Найдите корень уравнения \(\sqrt[101]{13 + 12x} = 1\).

Добавить задание в избранное

ОДЗ: \(x\) – произвольное. Решим на ОДЗ:

Данное уравнение имеет стандартный вид, оно равносильно \(13 + 12x = 1^{101}\), что равносильно \(x = -1\) – подходит по ОДЗ.

Ответ: -1

1 2 3 4