Математика ЕГЭ
Русский язык ЕГЭ
Математика 5-7
Математика ОГЭ
Физика
Кликните, чтобы открыть меню

5. Решение уравнений

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Иррациональные уравнения (со знаком корня) (страница 4)

Иррациональное уравнение – уравнение, содержащее переменную \(x\) под знаком корня любой степени.

 

Стандартное иррациональное уравнение:

\[{\large{ \sqrt[n]{f(x)}=g(x)}}, \text{ где }n\ -\text{ натуральное число.}\]

\(\blacktriangleright\) Если \(n\) – четное, то данное уравнение имеет решения только при \(g(x)\geqslant 0\) и \(f(x)\geqslant 0\) ввиду определения корня четной степени. Значит:

\[{\large{\sqrt[n]{f(x)}=g(x) \quad \Leftrightarrow \quad \begin{cases} f(x)=g^n(x)\\ g(x)\geqslant 0 \end{cases}}}\]

(условие \(f(x)\geqslant 0\) автоматически выполняется в данной системе)

 

\(\blacktriangleright\) Если \(n\) – нечетное, то данное уравнение имеет решения при любых \(f(x)\) и \(g(x)\). Значит:

\[{\large{ \sqrt[n]{f(x)}=g(x)\quad \Leftrightarrow \quad f(x)=g^n(x)}}\]

Задание 22 #379
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Найдите корень уравнения \(\sqrt[101]{13 + 12x} = 1\).

Добавить задание в избранное

ОДЗ: \(x\) – произвольное. Решим на ОДЗ:

Данное уравнение имеет стандартный вид, оно равносильно \(13 + 12x = 1^{101}\), что равносильно \(x = -1\) – подходит по ОДЗ.

Ответ: -1

Задание 23 #380
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Найдите корень уравнения \(\sqrt[2016]{7x + 22} = 1\).

Добавить задание в избранное

ОДЗ: \(7x + 22 \geq 0\). Решим на ОДЗ:

Данное уравнение имеет стандартный вид, оно равносильно \(7x + 22 = 1^{2016}\), что равносильно \(x = -3\) – подходит по ОДЗ.

Ответ: -3

Задание 24 #3999
Уровень задания: Легче ЕГЭ

Найдите корень уравнения \(\sqrt[3]{x-4}=3.\)

Добавить задание в избранное

ОДЗ уравнения: \(x\in\mathbb{R}\).
Уравнение равносильно \(x-4=3^3\), следовательно, \(x=31\).

 

Ответ: 31