Математика ЕГЭ
Русский язык ЕГЭ
Математика 5-7
Математика ОГЭ
Физика
Кликните, чтобы открыть меню

5. Решение уравнений

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Кубические уравнения (страница 2)

Кубическое уравнение – уравнение вида \[{\large{ax^3+bx^2+cx+d=0}},\]

где \(a\ne 0,\ b,\ c,\ d\) – некоторые числа.

 

Кубическое уравнение всегда имеет как минимум один корень \(x_1\).
Значит, всегда выполнено: \(ax^3+bx^2+cx+d=a(x-x_1)(x^2+mx+n)\), где \(m, n\) – некоторые числа.

 

\({\color{red}{I.}}\) Кубические уравнения вида \[x^3=a\]

для любого числа \(a\) имеют единственный корень

\[x=\sqrt[3]a\]

Пример.

Решением уравнения \(x^3=-8\) является \(x=\sqrt[3]{-8}=-2\).

 

\({\color{red}{II.}}\) Кубические уравнения вида \(ax^3+bx^2+cx+d=0\) в некоторых случаях можно решить, разложив на множители левую часть.

 

Пример.

Решить уравнение \(5x^3-x^2-20x+4=0\).

 

Сгруппируем слагаемые в левой части и разложим ее на множители: \[(5x^3-20x)-(x^2-4)=0 \quad \Leftrightarrow \quad 5x(x^2-4)-(x^2-4)=0 \quad \Leftrightarrow \quad (x^2-4)(5x-1)=0\]

Тогда корнями данного уравнения являются \(x_1=-2, x_2=2, x_3=\frac15\).

 

В некоторых задачах полезными могут оказаться формулы сокращенного умножения:

\[\begin{aligned} &(x\pm y)^3=x^3\pm3x^2y+3xy^2\pm y^3\\ &x^3\pm y^3=(x\pm y)(x^2\mp xy+y^2) \end{aligned}\]

 

\({\color{red}{III.}}\) Кубические уравнения вида \(ax^3+bx^2+cx+d=0\), в которых не удается разложить левую часть на множители, можно решить другим способом: подобрать рациональный корень, если таковой имеется.

 

Для этого можно использовать следующие утверждения:

\(\blacktriangleright\) Если сумма \(a+b+c+d=0\), то корнем уравнения является число \(1\).

 

\(\blacktriangleright\) Если \(b+d=a+c\), то корнем уравнения является число \(-1\).

 

\(\blacktriangleright\) Пусть \(a,b,c,d\)\({\color{blue}{\text{целые}}}\) числа. Тогда если уравнение имеет рациональный корень \(\large{\dfrac{p}{q}}\), то для него будет выполнено:

 

\(d\) делится нацело на \(p\);  \(a\) делится нацело на \(q\).

 

Пример.

1. У уравнения \(7x^3+3x^2-x-9=0\) сумма коэффициентов равна \(7+3-1-9=0\), значит, \(x=1\) является корнем (не обязательно единственным) этого уравнения.

 

2. У уравнения \(4,5x^3-3x^2-0,5x+7=0\) выполнено: \(4,5-0,5=-3+7\), значит, \(x=-1\) является корнем этого уравнения.

 

3. У уравнения \(2x^3+5x^2+3x-3=0\) коэффициенты — целые числа, поэтому можно подбирать корень: делители свободного члена \(-3\) : \(\pm 1, \pm 3\); делители старшего коэффициента \(2\): \(\pm1, \pm2\). Значит, возможные комбинации рациональных корней: \[\pm 1, \ \pm\dfrac12, \ \pm 3, \ \pm \dfrac32\]

Подставляя по очереди каждое число в уравнение, убеждаемся, что \(x=\frac12\) является корнем (т.к. после подстановки этого числа в уравнение оно превращается в верное равенство):

 

\[2\cdot \left(\frac12\right)^3+5\cdot \left(\frac12\right)^2+3\cdot \frac12-3=0 \quad \Leftrightarrow \quad 0=0\]

Заметим, что если у уравнения коэффициенты — рациональные числа, то домножением уравнения на их общих знаменатель можно получить равносильное ему уравнение с целыми коэффициентами. Например, уравнение \(\frac12x^3+\frac16x+2=0\) после умножения на \(6\) сводится к уравнению с целыми коэффициентами: \(3x^3+x+12=0\).

Задание 8 #2612
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Найдите больший корень уравнения \(x^3+9x^2+27x+27=0\).

Добавить задание в избранное

Заметим, что левая часть представляет из себя куб суммы: \[x^3+3\cdot x^2\cdot 3+3\cdot x\cdot3^2+3^3=0\quad\Leftrightarrow\quad (x+3)^3=0\quad\Leftrightarrow\quad x=-3.\]

Ответ: -3

Задание 9 #2613
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Найдите неположительный корень уравнения \(x^3+4x^2-3x-18=0\).

Добавить задание в избранное

Попробуем подобрать рациональный корень \(\frac pq\). Тогда \(p\) – делитель \(18\), а \(q\) – делитель \(1\). Следовательно, возможные варианты корней: \[\pm1; \quad\pm2;\quad \pm3; \quad\pm6;\quad \pm 9;\quad\pm 18.\] Подбором находим, что \(x=2\) является корнем: \[2^3+4\cdot 2^2-3\cdot 2-18=0\quad\Leftrightarrow\quad 0=0.\] Выполним деление в столбик \(x^3+4x^2-3x-18\) на \(x-2\): \[\begin{array}{rr|l} x^3+4x^2-\;3x-18&&\negthickspace\underline{\qquad x-2 \qquad}\\ \underline{x^3-2x^2} \,\phantom{000000000}&&\negthickspace \quad x^2+6x+9\\[-3pt] 6x^2-\;3x\phantom{0000}&&\\ \underline{6x^2-12x}\,\phantom{000}&&\\[-3pt] 9x-18&&\\ \underline{9x-18}&&\\[-3pt] 0&&\\ \end{array}\] Таким образом, уравнение перепишется в виде:\[(x-2)(x^2+6x+9)=0\quad\Leftrightarrow\quad (x-2)(x+3)^2=0\quad\Leftrightarrow\quad x_1=2; \quad x_2=-3.\] Неположительный корень уравнения – это \(x=-3\).

Ответ: -3

Задание 10 #330
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Найдите корни уравнения \(x^3 - 2x^2 - 16x + 32 = 0\). Если уравнение имеет несколько корней, в ответ запишите больший из них.

Добавить задание в избранное

ОДЗ: \(x\) – произвольное. Решим на ОДЗ:

Выражение в левой части можно разложить на множители: \[x^3 - 2x^2 - 16x + 32 = x^2(x - 2) - 16(x - 2) = (x - 2)(x^2 - 16) = (x - 2)(x - 4)(x + 4).\]

Произведение нескольких выражений равно нулю в том и только том случае, когда хотя бы одно из них равно нулю и все они не теряют смысл. Отсюда находим корни уравнения: \(x_1 = 2, \ x_2 = 4, \ x_3 = -4\) – подходят по ОДЗ. Больший корень \(x = 4\).

Ответ: 4

Задание 11 #331
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Найдите корни уравнения \(3x^3 + 9x^2 + x + 3 = 0\). Если уравнение имеет несколько корней, в ответ запишите больший из них.

Добавить задание в избранное

ОДЗ: \(x\) – произвольное. Решим на ОДЗ:

Выражение в левой части можно разложить на множители:

\[3x^3 + 9x^2 + x + 3 = 3x^2(x + 3) + 1 \cdot (x + 3) = (x + 3)(3x^2 + 1).\]

Произведение нескольких выражений равно нулю в том и только том случае, когда хотя бы одно из них равно нулю и все они не теряют смысл. Отсюда находим корень уравнения: \(x = -3\) – подходит по ОДЗ.

Дискриминант уравнения \(3x^2 + 1 = 0\) отрицательный: \(D = 0 - 4\cdot 3\cdot 1 = -12\), следовательно, других корней нет.

Ответ: -3

Задание 12 #332
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Найдите корни уравнения \(2x^3 - 7x^2 + 4x - 14 = 0\). Если уравнение имеет несколько корней, в ответ запишите больший из них.

Добавить задание в избранное

ОДЗ: \(x\) – произвольное. Решим на ОДЗ:

Выражение в левой части можно разложить на множители:

\[2x^3 - 7x^2 + 4x - 14 = x^2(2x - 7) + 2(2x - 7) = (2x - 7)(x^2 + 2).\]

Произведение нескольких выражений равно нулю в том и только том случае, когда хотя бы одно из них равно нулю и все они не теряют смысл. Отсюда находим корень уравнения: \(x = 3,5\) – подходит по ОДЗ.

Дискриминант уравнения \(x^2 + 2 = 0\) отрицательный: \(D = 0 - 4\cdot 1\cdot 2 = -8\), следовательно, других корней нет.

Ответ: 3,5

Задание 13 #333
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Найдите корни уравнения \(-x^3 - 5x^2 + 4x + 20 = 0\). Если уравнение имеет несколько корней, в ответ запишите сумму тех из них, которые больше \(-10\).

Добавить задание в избранное

ОДЗ: \(x\) – произвольное. Решим на ОДЗ:

Выражение в левой части можно разложить на множители:

\[-x^3 - 5x^2 + 4x + 20 = -x^2(x + 5) + 4(x + 5) = (x + 5)(-x^2 + 4) = (x + 5)(2 - x)(2 + x).\]

Произведение нескольких выражений равно нулю в том и только том случае, когда хотя бы одно из них равно нулю и все они не теряют смысл. Отсюда находим корни уравнения: \(x_1 = -5, \ x_2 = 2, \ x_3 = -2\) – подходят по ОДЗ. Все они больше, чем \(-10\). Их сумма равна \(-5\).

Ответ: -5

Задание 14 #1651
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Найдите корни уравнения \(3x^3 - 0,75x - 3x^2 + 0,75 = 0\). Если уравнение имеет несколько корней, в ответ запишите сумму тех из них, которые больше \(-1\).

Добавить задание в избранное

ОДЗ: \(x\) – произвольное. Решим на ОДЗ:

Выражение в левой части можно разложить на множители:

\(3x^3 - 0,75x - 3x^2 + 0,75 = 3(x^3 - 0,25x - x^2 + 0,25) = 3(x(x^2 - 0,25) - (x^2 - 0,25)) =\)

 

\(=3(x^2 - 0,25)(x - 1) = 3(x - 1)(x - 0,5)(x + 0,5).\)

Произведение нескольких выражений равно нулю в том и только том случае, когда хотя бы одно из них равно нулю и все они не теряют смысл. Отсюда находим корни уравнения: \(x_1 = 1, \ x_2 = 0,5, \ x_3 = -0,5\) – подходят по ОДЗ. Все они больше, чем \(-1\). Их сумма равна \(1\).

Ответ: 1

1 2 3 .... 5