Математика ЕГЭ Профиль
Русский язык ЕГЭ

5. Решение уравнений

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Кубические уравнения (страница 3)

Кубическое уравнение – уравнение вида \[{\large{ax^3+bx^2+cx+d=0}},\]

где \(a\ne 0,\ b,\ c,\ d\) – некоторые числа.

 

Кубическое уравнение всегда имеет как минимум один корень \(x_1\).
Значит, всегда выполнено: \(ax^3+bx^2+cx+d=a(x-x_1)(x^2+mx+n)\), где \(m, n\) – некоторые числа.

 

\({\color{red}{I.}}\) Кубические уравнения вида \[x^3=a\]

для любого числа \(a\) имеют единственный корень

\[x=\sqrt[3]a\]

Пример.

Решением уравнения \(x^3=-8\) является \(x=\sqrt[3]{-8}=-2\).

 

\({\color{red}{II.}}\) Кубические уравнения вида \(ax^3+bx^2+cx+d=0\) в некоторых случаях можно решить, разложив на множители левую часть.

 

Пример.

Решить уравнение \(5x^3-x^2-20x+4=0\).

 

Сгруппируем слагаемые в левой части и разложим ее на множители: \[(5x^3-20x)-(x^2-4)=0 \quad \Leftrightarrow \quad 5x(x^2-4)-(x^2-4)=0 \quad \Leftrightarrow \quad (x^2-4)(5x-1)=0\]

Тогда корнями данного уравнения являются \(x_1=-2, x_2=2, x_3=\frac15\).

 

В некоторых задачах полезными могут оказаться формулы сокращенного умножения:

\[\begin{aligned} &(x\pm y)^3=x^3\pm3x^2y+3xy^2\pm y^3\\ &x^3\pm y^3=(x\pm y)(x^2\mp xy+y^2) \end{aligned}\]

 

\({\color{red}{III.}}\) Кубические уравнения вида \(ax^3+bx^2+cx+d=0\), в которых не удается разложить левую часть на множители, можно решить другим способом: подобрать рациональный корень, если таковой имеется.

 

Для этого можно использовать следующие утверждения:

\(\blacktriangleright\) Если сумма \(a+b+c+d=0\), то корнем уравнения является число \(1\).

 

\(\blacktriangleright\) Если \(b+d=a+c\), то корнем уравнения является число \(-1\).

 

\(\blacktriangleright\) Пусть \(a,b,c,d\)\({\color{blue}{\text{целые}}}\) числа. Тогда если уравнение имеет рациональный корень \(\large{\dfrac{p}{q}}\), то для него будет выполнено:

 

\(d\) делится нацело на \(p\);  \(a\) делится нацело на \(q\).

 

Пример.

1. У уравнения \(7x^3+3x^2-x-9=0\) сумма коэффициентов равна \(7+3-1-9=0\), значит, \(x=1\) является корнем (не обязательно единственным) этого уравнения.

 

2. У уравнения \(4,5x^3-3x^2-0,5x+7=0\) выполнено: \(4,5-0,5=-3+7\), значит, \(x=-1\) является корнем этого уравнения.

 

3. У уравнения \(2x^3+5x^2+3x-3=0\) коэффициенты — целые числа, поэтому можно подбирать корень: делители свободного члена \(-3\) : \(\pm 1, \pm 3\); делители старшего коэффициента \(2\): \(\pm1, \pm2\). Значит, возможные комбинации рациональных корней: \[\pm 1, \ \pm\dfrac12, \ \pm 3, \ \pm \dfrac32\]

Подставляя по очереди каждое число в уравнение, убеждаемся, что \(x=\frac12\) является корнем (т.к. после подстановки этого числа в уравнение оно превращается в верное равенство):

 

\[2\cdot \left(\frac12\right)^3+5\cdot \left(\frac12\right)^2+3\cdot \frac12-3=0 \quad \Leftrightarrow \quad 0=0\]

Заметим, что если у уравнения коэффициенты — рациональные числа, то домножением уравнения на их общих знаменатель можно получить равносильное ему уравнение с целыми коэффициентами. Например, уравнение \(\frac12x^3+\frac16x+2=0\) после умножения на \(6\) сводится к уравнению с целыми коэффициентами: \(3x^3+x+12=0\).

Задание 15 #1176
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Найдите корни уравнения \(x^3 + 5x^2 + 3x - 9 = 0\). Если уравнение имеет несколько корней, в ответ запишите меньший из них.

Добавить задание в избранное

ОДЗ: \(x\) – произвольное. Решим на ОДЗ:

Можно угадать один из корней \(x = 1\). Знание этого корня позволяет вынести за скобку выражение \((x - 1)\) при помощи деления столбиком: \[\begin{array}{rr|l} x^3+5x^2+3x-9&&\negthickspace\underline{\qquad x-1 \qquad}\\ \underline{x^3-\ x^2\,} \phantom{00000000}&&\negthickspace \quad x^2 + 6x + 9\\[-3pt] 6x^2 + 3x\,\phantom{000}&&\\ \underline{6x^2 - 6x\,}\phantom{000}&&\\[-3pt] 9x - 9&&\\ \underline{9x - 9}&&\\[-3pt] 0&&\\ \end{array}\] тогда \[x^3 + 5x^2 + 3x - 9 = (x^2 + 6x + 9)(x - 1) = (x + 3)^2(x + 1).\]

Произведение нескольких выражений равно нулю в том и только том случае, когда хотя бы одно из них равно нулю и все они не теряют смысл. Отсюда находим корни уравнения: \(x_1 = -3, \ x_2 = 1\) – подходят по ОДЗ. Меньший из них \(x = -3\).

Ответ: -3

Задание 16 #1177
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Найдите корни уравнения \(x^3 - 21x^2 + 111x - 91 = 0\). Если уравнение имеет несколько корней, в ответ запишите больший из них.

Добавить задание в избранное

ОДЗ: \(x\) – произвольное. Решим на ОДЗ:

Можно угадать один из корней \(x = 1\). Знание этого корня позволяет вынести за скобку выражение \((x - 1)\) при помощи деления столбиком: \[\begin{array}{rr|l} x^3-21x^2+111x-91&&\negthickspace\underline{\qquad x-1 \qquad}\\ \underline{x^3\, -\ \ \ x^2} \phantom{00000000000}&&\negthickspace \ x^2 -20x + 91\\[-3pt] -20x^2 + 111x\,\phantom{0000}&&\\ \underline{-20x^2 +\ 20x\,}\phantom{0000}&&\\[-3pt] 91x - 91&&\\ \underline{91x - 91}&&\\[-3pt] 0&&\\ \end{array}\]

тогда \[x^3 - 21x^2 + 111x - 91 = (x - 1)(x^2 - 20x + 91).\] Второй множитель также можно разложить в произведение линейных. Для этого находим корни уравнения \(x^2 - 20x + 91 = 0\). Его корни \(x_1 = 7, \ x_2 = 13\). Теперь разложение принимает окончательный вид:

\[x^3 - 21x^2 + 111x - 91 = (x^2 - 20x + 91)(x - 1) = (x - 7)(x - 13)(x - 1).\]

Произведение нескольких выражений равно нулю в том и только том случае, когда хотя бы одно из них равно нулю и все они не теряют смысл. Отсюда находим корни исходного уравнения: \(x_1 = 13, \ x_2 = 7, \ x_3 = 1\) – подходят по ОДЗ. Больший из них \(x = 13\).

Ответ: 13

Задание 17 #1178
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Найдите корни уравнения \(x^3 + 9x^2 + 33x + 38 = 0\). Если уравнение имеет несколько корней, в ответ запишите больший из них.

Добавить задание в избранное

ОДЗ: \(x\) – произвольное. Решим на ОДЗ:

Можно угадать один из корней \(x = -2\). Знание этого корня позволяет вынести за скобку выражение \((x - (-2)) = (x + 2)\) при помощи деления столбиком: \[\begin{array}{rr|l} x^3+9x^2+33x+38&&\negthickspace\underline{\qquad x+2 \qquad}\\ \underline{x^3 + 2x^2} \phantom{0000000000}&&\negthickspace \ x^2 +7x + 19\\[-3pt] 7x^2 + 33x\,\phantom{0000}&&\\ \underline{7x^2 + 14x\,}\phantom{0000}&&\\[-3pt] 19x + 38&&\\ \underline{19x + 38}&&\\[-3pt] 0&&\\ \end{array}\]

тогда \[x^3 + 9x^2 + 33x + 38 = (x^2 + 7x + 19)(x + 2).\]

Рассмотрим отдельно уравнение \[x^2 + 7x + 19 = 0.\] Его дискриминант \(D = 49 - 4~\cdot~19 < 0\), значит у рассматриваемого уравнения нет корней. Произведение нескольких выражений равно нулю в том и только том случае, когда хотя бы одно из них равно нулю и все они не теряют смысл. Отсюда находим единственный корень исходного уравнения: \(x = -2\) – подходит по ОДЗ.

Ответ: -2

Задание 18 #1179
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Найдите корни уравнения \(x^3 - 3x - 2 = 0\). Если уравнение имеет несколько корней, в ответ запишите наибольший из них.

Добавить задание в избранное

ОДЗ: \(x\) – произвольное. Решим на ОДЗ:

Можно угадать один из корней \(x = 2\). Знание этого корня позволяет вынести за скобку выражение \((x - 2)\) при помощи деления столбиком: \[\begin{array}{rr|l} x^3+0\cdot x^2-3x-2&&\negthickspace\underline{\qquad x-2 \qquad}\\ \underline{x^3 -\ \, 2x^2\,} \phantom{00000000}&&\negthickspace \ \,x^2 +2x + 1\\[-3pt] 2x^2 - 3x\,\phantom{000}&&\\ \underline{2x^2 - 4x\,}\phantom{000}&&\\[-3pt] x - 2&&\\ \underline{x - 2}&&\\[-3pt] 0&&\\ \end{array}\]

тогда \[x^3 - 3x - 2 = (x^2 + 2x + 1)(x - 2) = (x + 1)^2(x - 2).\]

Произведение нескольких выражений равно нулю в том и только том случае, когда хотя бы одно из них равно нулю и все они не теряют смысл. Отсюда находим корни исходного уравнения: \(x_1 = 2, \ x_2 = -1\) – подходят по ОДЗ. Наибольший из них \(x = 2\).

Ответ: 2

Задание 19 #1180
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Найдите корни уравнения \(x^3 - 27x - 54 = 0\). Если уравнение имеет несколько корней, в ответ запишите меньший из них.

Добавить задание в избранное

ОДЗ: \(x\) – произвольное. Решим на ОДЗ:

Можно угадать один из корней \(x = -3\). Знание этого корня позволяет вынести за скобку выражение \((x + 3)\) при помощи деления столбиком: \[\begin{array}{rr|l} x^3+0\cdot x^2-27x-54&&\negthickspace\underline{\qquad x+3 \qquad}\\ \underline{x^3 +\ \, 3x^2\,} \phantom{0000000000}&&\negthickspace \ \,x^2 -3x - 18\\[-3pt] -3x^2 - 27x\,\phantom{0000}&&\\ \underline{-3x^2 -\ 9x\,}\phantom{0000}&&\\[-3pt] -18x - 54&&\\ \underline{-18x - 54}&&\\[-3pt] 0&&\\ \end{array}\]

тогда \[x^3 - 27x - 54 = (x^2 - 3x - 18)(x + 3).\] Выражение \(x^2 - 3x - 18\) можно разложить на множители, найдя корни уравнения \(x^2 - 3x - 18 = 0\). Корни \(x_1 = 6,\ x_2 = -3\), тогда окончательно \[x^3 - 27x - 54 = (x - 6)(x + 3)^2\]

Произведение нескольких выражений равно нулю в том и только том случае, когда хотя бы одно из них равно нулю и все они не теряют смысл. Отсюда находим корни исходного уравнения: \(x_1 = 6, \ x_2 = -3\) – подходят по ОДЗ. Меньший из них \(x = -3\).

Ответ: -3

Задание 20 #1181
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Найдите корни уравнения \(2x^3 - 11x^2 + 8x + 21 = 0\). Если уравнение имеет несколько корней, в ответ запишите сумму тех из них, которые больше \(0\).

Добавить задание в избранное

ОДЗ: \(x\) – произвольное. Решим на ОДЗ:

Можно угадать один из корней \(x = -1\). Знание этого корня позволяет вынести за скобку выражение \((x + 1)\) при помощи деления столбиком: \[\begin{array}{rr|l} 2x^3-11x^2+8x+21&&\negthickspace\underline{\qquad x+1 \qquad}\\ \underline{2x^3 +\ \, 2x^2} \phantom{000000000}&&\negthickspace \ \,2x^2 -13x + 21\\[-3pt] -13x^2 + 8x\,\phantom{0000}&&\\ \underline{-13x^2 - 13x}\phantom{0000}&&\\[-3pt] 21x + 21&&\\ \underline{21x + 21}&&\\[-3pt] 0&&\\ \end{array}\]

тогда \[2x^3 - 11x^2 + 8x + 21 = (2x^2 -13x + 21)(x + 1).\] Выражение \(2x^2 -13x + 21\) можно разложить на множители, найдя корни уравнения \(2x^2 -13x + 21 = 0\). Корни \(x_1 = 3,\ x_2 = 3,5\), тогда окончательно \[2x^3 - 11x^2 + 8x + 21 = 2(x - 3)(x - 3,5)(x + 1).\]

Произведение нескольких выражений равно нулю в том и только том случае, когда хотя бы одно из них равно нулю и все они не теряют смысл. Отсюда находим корни исходного уравнения: \(x_1 = 3, \ x_2 = 3,5, \ x_3 = -1\) – подходят по ОДЗ. Сумма больших \(0\) равна \(3 + 3,5 = 6,5\).

Ответ: 6,5

Задание 21 #2009
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Найдите корни уравнения

\[\begin{aligned} 3x^3 + 8x^2 - 17x - 42 = 0. \end{aligned}\]

Если уравнение имеет несколько корней, в ответ запишите произведение тех из них, которые меньше \(0\).

Добавить задание в избранное

ОДЗ: \(x\) – произвольное. Решим на ОДЗ:

Можно угадать один из корней \(x = -2\). Знание этого корня позволяет вынести за скобку выражение \((x + 2)\) при помощи деления столбиком: \[\begin{array}{rr|l} 3x^3+8x^2-17x-42&&\negthickspace\underline{\qquad x+2 \qquad}\\ \underline{3x^3 + 6x^2} \phantom{0000000000}&&\negthickspace \quad 3x^2 +2x - 21\\[-3pt] 2x^2 - 17x\,\phantom{0000}&&\\ \underline{2x^2 +\ 4x\,}\phantom{0000}&&\\[-3pt] -21x - 42&&\\ \underline{-21x - 42}&&\\[-3pt] 0&&\\ \end{array}\] тогда \[3x^3 + 8x^2 - 17x - 42 = (3x^2 +2x - 21)(x + 2).\] Выражение \(3x^2 +2x - 21\) можно разложить на множители, найдя корни уравнения \(3x^2 +2x - 21 = 0\). Корни \(x_1 = -3,\ x_2 = \dfrac{7}{3}\), тогда окончательно \[3x^3 + 8x^2 - 17x - 42 = 3(x + 2)(x + 3)\left(x - \dfrac{7}{3}\right).\]

Произведение нескольких выражений равно нулю в том и только том случае, когда хотя бы одно из них равно нулю и все они не теряют смысл. Отсюда находим корни исходного уравнения: \[x_1 = -2, \ x_2 = -3, \ x_3 = \dfrac{7}{3}\] – подходят по ОДЗ. Произведение отрицательных корней равно \(-2\cdot(-3) = 6\).

Ответ: 6

1 2 3 4 5