Математика ЕГЭ
Русский язык ЕГЭ
Математика 5-7
Математика ОГЭ
Кликните, чтобы открыть меню

5. Решение уравнений

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Кубические уравнения (страница 5)

Кубическое уравнение – уравнение вида \[{\large{ax^3+bx^2+cx+d=0}},\]

где \(a\ne 0,\ b,\ c,\ d\) – некоторые числа.

 

Кубическое уравнение всегда имеет как минимум один корень \(x_1\).
Значит, всегда выполнено: \(ax^3+bx^2+cx+d=a(x-x_1)(x^2+mx+n)\), где \(m, n\) – некоторые числа.

 

\({\color{red}{I.}}\) Кубические уравнения вида \[x^3=a\]

для любого числа \(a\) имеют единственный корень

\[x=\sqrt[3]a\]

Пример.

Решением уравнения \(x^3=-8\) является \(x=\sqrt[3]{-8}=-2\).

 

\({\color{red}{II.}}\) Кубические уравнения вида \(ax^3+bx^2+cx+d=0\) в некоторых случаях можно решить, разложив на множители левую часть.

 

Пример.

Решить уравнение \(5x^3-x^2-20x+4=0\).

 

Сгруппируем слагаемые в левой части и разложим ее на множители: \[(5x^3-20x)-(x^2-4)=0 \quad \Leftrightarrow \quad 5x(x^2-4)-(x^2-4)=0 \quad \Leftrightarrow \quad (x^2-4)(5x-1)=0\]

Тогда корнями данного уравнения являются \(x_1=-2, x_2=2, x_3=\frac15\).

 

В некоторых задачах полезными могут оказаться формулы сокращенного умножения:

\[\begin{aligned} &(x\pm y)^3=x^3\pm3x^2y+3xy^2\pm y^3\\ &x^3\pm y^3=(x\pm y)(x^2\mp xy+y^2) \end{aligned}\]

 

\({\color{red}{III.}}\) Кубические уравнения вида \(ax^3+bx^2+cx+d=0\), в которых не удается разложить левую часть на множители, можно решить другим способом: подобрать рациональный корень, если таковой имеется.

 

Для этого можно использовать следующие утверждения:

\(\blacktriangleright\) Если сумма \(a+b+c+d=0\), то корнем уравнения является число \(1\).

 

\(\blacktriangleright\) Если \(b+d=a+c\), то корнем уравнения является число \(-1\).

 

\(\blacktriangleright\) Пусть \(a,b,c,d\)\({\color{blue}{\text{целые}}}\) числа. Тогда если уравнение имеет рациональный корень \(\large{\dfrac{p}{q}}\), то для него будет выполнено:

 

\(d\) делится нацело на \(p\);  \(a\) делится нацело на \(q\).

 

Пример.

1. У уравнения \(7x^3+3x^2-x-9=0\) сумма коэффициентов равна \(7+3-1-9=0\), значит, \(x=1\) является корнем (не обязательно единственным) этого уравнения.

 

2. У уравнения \(4,5x^3-3x^2-0,5x+7=0\) выполнено: \(4,5-0,5=-3+7\), значит, \(x=-1\) является корнем этого уравнения.

 

3. У уравнения \(2x^3+5x^2+3x-3=0\) коэффициенты — целые числа, поэтому можно подбирать корень: делители свободного члена \(-3\) : \(\pm 1, \pm 3\); делители старшего коэффициента \(2\): \(\pm1, \pm2\). Значит, возможные комбинации рациональных корней: \[\pm 1, \ \pm\dfrac12, \ \pm 3, \ \pm \dfrac32\]

Подставляя по очереди каждое число в уравнение, убеждаемся, что \(x=\frac12\) является корнем (т.к. после подстановки этого числа в уравнение оно превращается в верное равенство):

 

\[2\cdot \left(\frac12\right)^3+5\cdot \left(\frac12\right)^2+3\cdot \frac12-3=0 \quad \Leftrightarrow \quad 0=0\]

Заметим, что если у уравнения коэффициенты — рациональные числа, то домножением уравнения на их общих знаменатель можно получить равносильное ему уравнение с целыми коэффициентами. Например, уравнение \(\frac12x^3+\frac16x+2=0\) после умножения на \(6\) сводится к уравнению с целыми коэффициентами: \(3x^3+x+12=0\).

Задание 29 #1185
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Найдите значение выражения \(\dfrac{x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3}{x_1x_2x_3}\), где \(x_1\), \(x_2\), \(x_3\) – корни уравнения \[x^3 - 10x^2 - 225x + 2250 = 0,\]

если известно, что все они различны.

По теореме Виета для уравнения третьей степени \(ax^3 + bx^2 + cx + d = 0\) отношение \(\dfrac{c}{a}\) равно значению выражения \(x_1x_2 + x_2x_3 + x_3x_1\), где \(x_1\), \(x_2\), \(x_3\) – корни этого уравнения (при учёте того, что все они различны), тогда значение выражения \(x_1x_2 + x_2x_3 + x_3x_1\) для исходного уравнения равно \[\dfrac{-225}{1} = -225.\]

По теореме Виета для уравнения третьей степени \(ax^3 + bx^2 + cx + d = 0\) произведение его корней (при учёте того, что все они различны) равно \(-\dfrac{d}{a}\), тогда произведение \(x_1x_2x_3\) корней рассматриваемого уравнения равно \[-\dfrac{2250}{1} = -2250.\]

В итоге \[\dfrac{x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3}{x_1x_2x_3} = \dfrac{-225}{-2250} = 0,1.\]

Ответ: 0,1

Задание 30 #1183
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Найдите произведение корней уравнения \[11\pi + \pi x^3 + (-11\pi + 1 - \pi^2)x^2 + (-11 + 11\pi^2 - \pi)x = 0,\]

если известно, что все они различны.

По теореме Виета для уравнения третьей степени \(ax^3 + bx^2 + cx + d = 0\) произведение его корней (при учёте того, что все они различны) равно \(-\dfrac{d}{a}\), тогда произведение корней рассматриваемого уравнения равно \[-\dfrac{11\pi}{\pi} = -11.\]

Ответ: -11