Математика
Русский язык

5. Решение уравнений

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Кубические уравнения (страница 5)

Кубическое уравнение – уравнение вида \[{\large{ax^3+bx^2+cx+d=0}},\]

где \(a\ne 0,\ b,\ c,\ d\) – некоторые числа.

 

Кубическое уравнение всегда имеет как минимум один корень \(x_1\).
Значит, всегда выполнено: \(ax^3+bx^2+cx+d=a(x-x_1)(x^2+mx+n)\), где \(m, n\) – некоторые числа.

 

\({\color{red}{I.}}\) Кубические уравнения вида \[x^3=a\]

для любого числа \(a\) имеют единственный корень

\[x=\sqrt[3]a\]

Пример.

Решением уравнения \(x^3=-8\) является \(x=\sqrt[3]{-8}=-2\).

 

\({\color{red}{II.}}\) Кубические уравнения вида \(ax^3+bx^2+cx+d=0\) в некоторых случаях можно решить, разложив на множители левую часть.

 

Пример.

Решить уравнение \(5x^3-x^2-20x+4=0\).

 

Сгруппируем слагаемые в левой части и разложим ее на множители: \[(5x^3-20x)-(x^2-4)=0 \quad \Leftrightarrow \quad 5x(x^2-4)-(x^2-4)=0 \quad \Leftrightarrow \quad (x^2-4)(5x-1)=0\]

Тогда корнями данного уравнения являются \(x_1=-2, x_2=2, x_3=\frac15\).

 

В некоторых задачах полезными могут оказаться формулы сокращенного умножения:

\[\begin{aligned} &(x\pm y)^3=x^3\pm3x^2y+3xy^2\pm y^3\\ &x^3\pm y^3=(x\pm y)(x^2\mp xy+y^2) \end{aligned}\]

 

\({\color{red}{III.}}\) Кубические уравнения вида \(ax^3+bx^2+cx+d=0\), в которых не удается разложить левую часть на множители, можно решить другим способом: подобрать рациональный корень, если таковой имеется.

 

Для этого можно использовать следующие утверждения:

\(\blacktriangleright\) Если сумма \(a+b+c+d=0\), то корнем уравнения является число \(1\).

 

\(\blacktriangleright\) Если \(b+d=a+c\), то корнем уравнения является число \(-1\).

 

\(\blacktriangleright\) Пусть \(a,b,c,d\)\({\color{blue}{\text{целые}}}\) числа. Тогда если уравнение имеет рациональный корень \(\large{\dfrac{p}{q}}\), то для него будет выполнено:

 

\(d\) делится нацело на \(p\);  \(a\) делится нацело на \(q\).

 

Пример.

1. У уравнения \(7x^3+3x^2-x-9=0\) сумма коэффициентов равна \(7+3-1-9=0\), значит, \(x=1\) является корнем (не обязательно единственным) этого уравнения.

 

2. У уравнения \(4,5x^3-3x^2-0,5x+7=0\) выполнено: \(4,5-0,5=-3+7\), значит, \(x=-1\) является корнем этого уравнения.

 

3. У уравнения \(2x^3+5x^2+3x-3=0\) коэффициенты — целые числа, поэтому можно подбирать корень: делители свободного члена \(-3\) : \(\pm 1, \pm 3\); делители старшего коэффициента \(2\): \(\pm1, \pm2\). Значит, возможные комбинации рациональных корней: \[\pm 1, \ \pm\dfrac12, \ \pm 3, \ \pm \dfrac32\]

Подставляя по очереди каждое число в уравнение, убеждаемся, что \(x=\frac12\) является корнем (т.к. после подстановки этого числа в уравнение оно превращается в верное равенство):

 

\[2\cdot \left(\frac12\right)^3+5\cdot \left(\frac12\right)^2+3\cdot \frac12-3=0 \quad \Leftrightarrow \quad 0=0\]

Заметим, что если у уравнения коэффициенты — рациональные числа, то домножением уравнения на их общих знаменатель можно получить равносильное ему уравнение с целыми коэффициентами. Например, уравнение \(\frac12x^3+\frac16x+2=0\) после умножения на \(6\) сводится к уравнению с целыми коэффициентами: \(3x^3+x+12=0\).

Задание 29
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Найдите значение выражения \(\dfrac{x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3}{x_1x_2x_3}\), где \(x_1\), \(x_2\), \(x_3\) – корни уравнения \[x^3 - 10x^2 - 225x + 2250 = 0,\]

если известно, что все они различны.

Добавить задание в избранное

По теореме Виета для уравнения третьей степени \(ax^3 + bx^2 + cx + d = 0\) отношение \(\dfrac{c}{a}\) равно значению выражения \(x_1x_2 + x_2x_3 + x_3x_1\), где \(x_1\), \(x_2\), \(x_3\) – корни этого уравнения (при учёте того, что все они различны), тогда значение выражения \(x_1x_2 + x_2x_3 + x_3x_1\) для исходного уравнения равно \[\dfrac{-225}{1} = -225.\]

По теореме Виета для уравнения третьей степени \(ax^3 + bx^2 + cx + d = 0\) произведение его корней (при учёте того, что все они различны) равно \(-\dfrac{d}{a}\), тогда произведение \(x_1x_2x_3\) корней рассматриваемого уравнения равно \[-\dfrac{2250}{1} = -2250.\]

В итоге \[\dfrac{x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3}{x_1x_2x_3} = \dfrac{-225}{-2250} = 0,1.\]

Ответ: 0,1

Задание 30
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Найдите произведение корней уравнения \[11\pi + \pi x^3 + (-11\pi + 1 - \pi^2)x^2 + (-11 + 11\pi^2 - \pi)x = 0,\]

если известно, что все они различны.

Добавить задание в избранное

По теореме Виета для уравнения третьей степени \(ax^3 + bx^2 + cx + d = 0\) произведение его корней (при учёте того, что все они различны) равно \(-\dfrac{d}{a}\), тогда произведение корней рассматриваемого уравнения равно \[-\dfrac{11\pi}{\pi} = -11.\]

Ответ: -11