Кубическое уравнение – уравнение вида \[{\large{ax^3+bx^2+cx+d=0}},\]
где \(a\ne 0,\ b,\ c,\ d\) – некоторые числа.
Кубическое уравнение всегда имеет как минимум один корень \(x_1\).
Значит, всегда выполнено: \(ax^3+bx^2+cx+d=a(x-x_1)(x^2+mx+n)\), где \(m, n\) – некоторые числа.
\({\color{red}{I.}}\) Кубические уравнения вида \[x^3=a\]
для любого числа \(a\) имеют единственный корень
\[x=\sqrt[3]a\]
Пример.
Решением уравнения \(x^3=-8\) является \(x=\sqrt[3]{-8}=-2\).
\({\color{red}{II.}}\) Кубические уравнения вида \(ax^3+bx^2+cx+d=0\) в некоторых случаях можно решить, разложив на множители левую часть.
Пример.
Решить уравнение \(5x^3-x^2-20x+4=0\).
Сгруппируем слагаемые в левой части и разложим ее на множители: \[(5x^3-20x)-(x^2-4)=0 \quad \Leftrightarrow \quad 5x(x^2-4)-(x^2-4)=0 \quad
\Leftrightarrow \quad (x^2-4)(5x-1)=0\]
Тогда корнями данного уравнения являются \(x_1=-2, x_2=2,
x_3=\frac15\).
В некоторых задачах полезными могут оказаться формулы сокращенного умножения:
\[\begin{aligned}
&(x\pm y)^3=x^3\pm3x^2y+3xy^2\pm y^3\\
&x^3\pm y^3=(x\pm y)(x^2\mp xy+y^2) \end{aligned}\]
\({\color{red}{III.}}\) Кубические уравнения вида \(ax^3+bx^2+cx+d=0\), в которых не удается разложить левую часть на множители, можно решить другим способом: подобрать рациональный корень, если таковой имеется.
Для этого можно использовать следующие утверждения:
\(\blacktriangleright\) Если сумма \(a+b+c+d=0\), то корнем уравнения является число \(1\).
\(\blacktriangleright\) Если \(b+d=a+c\), то корнем уравнения является число \(-1\).
\(\blacktriangleright\) Пусть \(a,b,c,d\) – \({\color{blue}{\text{целые}}}\) числа. Тогда если уравнение имеет рациональный корень \(\large{\dfrac{p}{q}}\), то для него будет выполнено:
\(d\) делится нацело на \(p\); \(a\) делится нацело на \(q\).
Пример.
1. У уравнения \(7x^3+3x^2-x-9=0\) сумма коэффициентов равна \(7+3-1-9=0\), значит, \(x=1\) является корнем (не обязательно единственным) этого уравнения.
2. У уравнения \(4,5x^3-3x^2-0,5x+7=0\) выполнено: \(4,5-0,5=-3+7\), значит, \(x=-1\) является корнем этого уравнения.
3. У уравнения \(2x^3+5x^2+3x-3=0\) коэффициенты — целые числа, поэтому можно подбирать корень: делители свободного члена \(-3\) : \(\pm 1, \pm 3\); делители старшего коэффициента \(2\): \(\pm1, \pm2\). Значит, возможные комбинации рациональных корней: \[\pm 1, \ \pm\dfrac12, \ \pm 3, \ \pm \dfrac32\]
Подставляя по очереди каждое число в уравнение, убеждаемся, что \(x=\frac12\) является корнем (т.к. после подстановки этого числа в уравнение оно превращается в верное равенство):
\[2\cdot \left(\frac12\right)^3+5\cdot \left(\frac12\right)^2+3\cdot
\frac12-3=0 \quad \Leftrightarrow \quad 0=0\]
Заметим, что если у уравнения коэффициенты — рациональные числа, то домножением уравнения на их общих знаменатель можно получить равносильное ему уравнение с целыми коэффициентами. Например, уравнение \(\frac12x^3+\frac16x+2=0\) после умножения на \(6\) сводится к уравнению с целыми коэффициентами: \(3x^3+x+12=0\).
