Найдите произведение корней уравнения \((x^2+2)^2=6x^2+4\).
1 способ.
Сделаем замену: \(x^2+2=t\). Тогда \(x^2=t-2\) и уравнение примет вид: \[t^2-6(t-2)-4=0\quad\Leftrightarrow\quad t^2-6t+8=0\] По теореме Виета корнями являются числа \(t=4\) и \(t=2\), следовательно, \[\left[\begin{gathered}\begin{aligned} &x^2+2=2\\&x^2+2=4
\end{aligned}\end{gathered}\right.\quad\Leftrightarrow\quad
\left[\begin{gathered}\begin{aligned} &x^2=0\\&x^2=2
\end{aligned}\end{gathered}\right.\quad\Leftrightarrow\quad
\left[\begin{gathered}\begin{aligned}
&x=0\\&x^2=2\end{aligned}\end{gathered}\right.\] Следовательно, один из корней уравнения равен \(0\), а значит, и произведение корней равно \(0\).
2 способ.
Раскроем скобки: \[x^4+4x^2+4=6x^2+4\quad\Leftrightarrow\quad x^4-2x^2=0\quad\Leftrightarrow\quad
x^2(x^2-2)=0\]Следовательно, один из корней уравнения равен \(0\), а значит, и произведение корней равно \(0\).
Ответ: 0