Линейное уравнение – уравнение, сводящееся к виду \(\large{ax+b=0}\), где \(a\ne
0, b\) – числа.
Линейное уравнение всегда имеет единственное решение \(x=-\dfrac ba\).
Квадратное уравнение – уравнение, сводящееся к виду \(\large{ax^2+bx+c=0}\), где \(a\ne
0,b,c\) – числа.
Выражение \(D=b^2-4ac\) называется дискриминантом квадратного уравнения.
Квадратное уравнение может иметь не более двух корней:
\(\bullet\) если \(D>0\), то оно имеет два различных корня
\[x_1=\dfrac{-b+\sqrt{D}}{2a} \quad \text{и} \quad x_2=\dfrac{-b-\sqrt{D}}{2a}\]
\(\bullet\) если \(D=0\), то оно имеет один корень (иногда говорят, что два совпадающих)
\[x_1=x_2=-\dfrac{b}{2a}\]
\(\bullet\) если \(D<0\), то оно не имеет корней.
\(\blacktriangleright\) Теорема Виета для квадратного уравнения:
Если квадратное уравнение имеет неотрицательный дискриминант, то сумма корней уравнения
\[{\large{x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}}}\]
а произведение
\[{\large{x_1\cdot x_2=\dfrac{c}{a}}}\]
\(\blacktriangleright\) Если квадратное уравнение:
\(\sim\) имеет два корня \(x_1\) и \(x_2\), то \(ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)\).
\(\sim\) имеет один корень \(x_1\) (иногда говорят, что два совпадающих), то \(ax^2+bx+c=a(x-x_1)^2\).
\(\sim\) не имеет корней, то квадратный трехчлен \(ax^2+bc+c\) никогда не может быть равен нулю. Более того, он при всех \(x\) строго одного знака: либо положителен, либо отрицателен.
\(\blacktriangleright\) Полезные формулы сокращенного умножения:
\[\begin{aligned}
&x^2-y^2=(x-y)(x+y)\\
&(x+y)^2=x^2+2xy+y^2\\
&(x-y)^2=x^2-2xy+y^2
\end{aligned}\]