Математика ЕГЭ
Русский язык ЕГЭ
Математика 5-7
Математика ОГЭ
Физика
Кликните, чтобы открыть меню

5. Решение уравнений

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Логарифмические уравнения (страница 3)

Логарифмическое уравнение – уравнение, содержащее переменную \(x\) в основании и/или аргументе логарифма.

 

Стандартное логарифмическое уравнение:

\[{\large{\log_a{f(x)}=\log_a{g(x)} \quad \Leftrightarrow \quad \begin{cases} f(x)=g(x)\\ f(x)>0 \ (\text{или }g(x)>0) \end{cases}}}\]

где \(a>0, a\ne 1\).

 

Некоторые важные формулы:

 

(0) при \(a>0, \ a\ne 1, \ b>0\) выполняется основное логарифмическое тождество \[{\large{a^{\log_ab}=b}}\]

(1) при \(a>0,\ a\ne 1\) \[{\large{\log_a1=0, \qquad \log_aa=1}}\]

(2) при \(a>0,\ a\ne 1,\ b>0\) \[{\large{\log_{a^n}{b^m}=\frac mn\log_ab}}\]

при четных \(m\) и \(n\) и \(a\ne 0,\ a\ne 1,\ b\ne 0\) \[{\large{\log_{a^n}{b^m}=\dfrac mn\log_{|a|}{|b|}}}\]

(3) при \(a>0,\ a\ne 1,\ b>0,\ c>0\) \[{\large{b^{\log_ac}=c^{\log_ab}}}\]

(4) при \(a>0,\ a\ne 1,\ bc>0\) \[{\large{\log_a{bc}=\log_a{|b|}+\log_a{|c|} \qquad \log_a{\dfrac bc}=\log_a{|b|}-\log_a{|c|}}}\]

(5) при \(a>0,\ a\ne 1,\ b>0,\ b\ne 1,\ c>0\) \[{\large{\log_ab\cdot \log_bc=\log_ac \Longleftrightarrow \log_bc=\dfrac{\log_ac}{\log_ab}}}\]

Задание 15 #422
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите корень уравнения \(\log_{\frac{2}{7}}(x + 12) = -2\).

Добавить задание в избранное

ОДЗ: \(x + 12 > 0\) , что равносильно \(x > -12\). Решим на ОДЗ:

По определению логарифма \(\log_{\frac{2}{7}}(x + 12)\) – показатель степени, в которую нужно возвести \(\dfrac{2}{7}\), чтобы получить \(x + 12\), откуда заключаем: \[\left(\dfrac{2}{7}\right)^{-2} = x + 12\qquad\Leftrightarrow\qquad 3,5^2 = x + 12\qquad\Leftrightarrow\qquad x = 0,25\] – подходит по ОДЗ.

Ответ: 0,25

Задание 16 #423
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите корень уравнения \(\log_{\frac{5}{9}}(3 - x) = -1\).

Добавить задание в избранное

ОДЗ: \(3 - x > 0\) , что равносильно \(x < 3\). Решим на ОДЗ:

По определению логарифма \(\log_{\frac{5}{9}}(3 - x)\) – показатель степени, в которую нужно возвести \(\dfrac{5}{9}\), чтобы получить \(3 - x\), откуда заключаем: \[\left(\dfrac{5}{9}\right)^{-1} = 3 - x\qquad\Leftrightarrow\qquad 1,8 = 3 - x\qquad\Leftrightarrow\qquad x = 1,2\] – подходит по ОДЗ.

Ответ: 1,2

Задание 17 #424
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите корень уравнения \(\log_{\frac{1}{\sqrt{2}}}(2 + 2x) = -4\).

Добавить задание в избранное

ОДЗ: \(2 + 2x > 0\) , что равносильно \(x > -1\). Решим на ОДЗ:

По определению логарифма \(\log_{\frac{1}{\sqrt{2}}}(2 + 2x)\) – показатель степени, в которую нужно возвести \(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\), чтобы получить \(2 + 2x\), откуда заключаем: \[\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)^{-4} = 2 + 2x\qquad\Leftrightarrow\qquad (\sqrt{2})^4 = 2 + 2x\qquad\Leftrightarrow\qquad 4 = 2 + 2x\qquad\Leftrightarrow\qquad x = 1\] – подходит по ОДЗ.

Ответ: 1

Задание 18 #428
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите корень уравнения \(\log_{7}(5 - 3x) = 3\log_{7}2\).

Добавить задание в избранное

ОДЗ: \(5 - 3x > 0\) , что равносильно \(x < \dfrac{5}{3}\). Решим на ОДЗ:

По свойству логарифма исходное уравнение равносильно \(\log_{7}(5 - 3x) = \log_{7}(2^3)\). Последнее уравнение имеет стандартный вид, оно равносильно \(5 - 3x = 8\), что равносильно \(x = -1\) – подходит по ОДЗ.

Ответ: -1

Задание 19 #429
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите корень уравнения \(\log_{\sqrt{5}}(2x + 15) = 4\log_{\sqrt{5}}2\).

Добавить задание в избранное

ОДЗ: \(2x + 15 > 0\) , что равносильно \(x > -7,5\). Решим на ОДЗ:

По свойству логарифма исходное уравнение равносильно \(\log_{\sqrt{5}}(2x + 15) = \log_{\sqrt{5}}(2^4)\), что равносильно \(\log_{\sqrt{5}}(2x + 15) = \log_{\sqrt{5}}16\). Последнее уравнение имеет стандартный вид, оно равносильно \(2x + 15 = 16\), что равносильно \(x = 0,5\) – подходит по ОДЗ.

Ответ: 0,5

Задание 20 #435
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите корень уравнения \(\log_{3}(2x + 1) = \log_{3}(3 - x) + 1\).

Добавить задание в избранное

ОДЗ: \(2x + 1 > 0\) и \(3 - x > 0\), что равносильно \(-0,5 < x < 3\). Решим на ОДЗ:

Исходное уравнение равносильно \(\log_{3}(2x + 1) = \log_{3}(3 - x) + \log_3 3\), что равносильно \(\log_{3}(2x + 1) = \log_{3}((3 - x)\cdot 3)\). Данное уравнение имеет стандартный вид, оно равносильно \(2x + 1 = 9 - 3x\), что равносильно \(x = 1,6\) – подходит по ОДЗ.

Ответ: 1,6

Задание 21 #436
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите корень уравнения \(\log_{5}(15x + 25) = \log_{5}(x - 25) + 2\).

Добавить задание в избранное

ОДЗ: \(15x + 25 > 0\) и \(x - 25 > 0\), что равносильно \(x > 25\). Решим на ОДЗ:

Исходное уравнение равносильно \(\log_{5}(15x + 25) = \log_{5}(x - 25) + \log_{5}25\), что равносильно \(\log_{5}(15x + 25) = \log_{5}((x - 25)\cdot 25)\). Данное уравнение имеет стандартный вид, оно равносильно \(15x + 25 = 25x - 625\), откуда \(x = 65\) – подходит по ОДЗ.

Ответ: 65

1 2 3 4 .... 6