5. Решение уравнений
Логарифмическое уравнение – уравнение, содержащее переменную \(x\) в основании и/или аргументе логарифма.
Стандартное логарифмическое уравнение:
\[{\large{\log_a{f(x)}=\log_a{g(x)} \quad \Leftrightarrow \quad \begin{cases} f(x)=g(x)\\ f(x)>0 \ (\text{или }g(x)>0) \end{cases}}}\]
где \(a>0, a\ne 1\).
Некоторые важные формулы:
(0) при \(a>0, \ a\ne 1, \ b>0\) выполняется основное логарифмическое тождество \[{\large{a^{\log_ab}=b}}\]
(1) при \(a>0,\ a\ne 1\) \[{\large{\log_a1=0, \qquad \log_aa=1}}\]
(2) при \(a>0,\ a\ne 1,\ b>0\) \[{\large{\log_{a^n}{b^m}=\frac mn\log_ab}}\]
при четных \(m\) и \(n\) и \(a\ne 0,\ a\ne 1,\ b\ne 0\) \[{\large{\log_{a^n}{b^m}=\dfrac mn\log_{|a|}{|b|}}}\]
(3) при \(a>0,\ a\ne 1,\ b>0,\ c>0\) \[{\large{b^{\log_ac}=c^{\log_ab}}}\]
(4) при \(a>0,\ a\ne 1,\ bc>0\) \[{\large{\log_a{bc}=\log_a{|b|}+\log_a{|c|} \qquad \log_a{\dfrac bc}=\log_a{|b|}-\log_a{|c|}}}\]
(5) при \(a>0,\ a\ne 1,\ b>0,\ b\ne 1,\ c>0\) \[{\large{\log_ab\cdot \log_bc=\log_ac \Longleftrightarrow \log_bc=\dfrac{\log_ac}{\log_ab}}}\]
Найдите корень уравнения \(\log_{\frac{2}{7}}(x + 12) = -2\).
ОДЗ: \(x + 12 > 0\) , что равносильно \(x > -12\). Решим на ОДЗ:
По определению логарифма \(\log_{\frac{2}{7}}(x + 12)\) – показатель степени, в которую нужно возвести \(\dfrac{2}{7}\), чтобы получить \(x + 12\), откуда заключаем: \[\left(\dfrac{2}{7}\right)^{-2} = x + 12\qquad\Leftrightarrow\qquad 3,5^2 = x + 12\qquad\Leftrightarrow\qquad x = 0,25\] – подходит по ОДЗ.
Ответ: 0,25
Найдите корень уравнения \(\log_{\frac{5}{9}}(3 - x) = -1\).
ОДЗ: \(3 - x > 0\) , что равносильно \(x < 3\). Решим на ОДЗ:
По определению логарифма \(\log_{\frac{5}{9}}(3 - x)\) – показатель степени, в которую нужно возвести \(\dfrac{5}{9}\), чтобы получить \(3 - x\), откуда заключаем: \[\left(\dfrac{5}{9}\right)^{-1} = 3 - x\qquad\Leftrightarrow\qquad 1,8 = 3 - x\qquad\Leftrightarrow\qquad x = 1,2\] – подходит по ОДЗ.
Ответ: 1,2
Найдите корень уравнения \(\log_{\frac{1}{\sqrt{2}}}(2 + 2x) = -4\).
ОДЗ: \(2 + 2x > 0\) , что равносильно \(x > -1\). Решим на ОДЗ:
По определению логарифма \(\log_{\frac{1}{\sqrt{2}}}(2 + 2x)\) – показатель степени, в которую нужно возвести \(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\), чтобы получить \(2 + 2x\), откуда заключаем: \[\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)^{-4} = 2 + 2x\qquad\Leftrightarrow\qquad (\sqrt{2})^4 = 2 + 2x\qquad\Leftrightarrow\qquad 4 = 2 + 2x\qquad\Leftrightarrow\qquad x = 1\] – подходит по ОДЗ.
Ответ: 1
Найдите корень уравнения \(\log_{7}(5 - 3x) = 3\log_{7}2\).
ОДЗ: \(5 - 3x > 0\) , что равносильно \(x < \dfrac{5}{3}\). Решим на ОДЗ:
По свойству логарифма исходное уравнение равносильно \(\log_{7}(5 - 3x) = \log_{7}(2^3)\). Последнее уравнение имеет стандартный вид, оно равносильно \(5 - 3x = 8\), что равносильно \(x = -1\) – подходит по ОДЗ.
Ответ: -1
Найдите корень уравнения \(\log_{\sqrt{5}}(2x + 15) = 4\log_{\sqrt{5}}2\).
ОДЗ: \(2x + 15 > 0\) , что равносильно \(x > -7,5\). Решим на ОДЗ:
По свойству логарифма исходное уравнение равносильно \(\log_{\sqrt{5}}(2x + 15) = \log_{\sqrt{5}}(2^4)\), что равносильно \(\log_{\sqrt{5}}(2x + 15) = \log_{\sqrt{5}}16\). Последнее уравнение имеет стандартный вид, оно равносильно \(2x + 15 = 16\), что равносильно \(x = 0,5\) – подходит по ОДЗ.
Ответ: 0,5
Найдите корень уравнения \(\log_{3}(2x + 1) = \log_{3}(3 - x) + 1\).
ОДЗ: \(2x + 1 > 0\) и \(3 - x > 0\), что равносильно \(-0,5 < x < 3\). Решим на ОДЗ:
Исходное уравнение равносильно \(\log_{3}(2x + 1) = \log_{3}(3 - x) + \log_3 3\), что равносильно \(\log_{3}(2x + 1) = \log_{3}((3 - x)\cdot 3)\). Данное уравнение имеет стандартный вид, оно равносильно \(2x + 1 = 9 - 3x\), что равносильно \(x = 1,6\) – подходит по ОДЗ.
Ответ: 1,6
Найдите корень уравнения \(\log_{5}(15x + 25) = \log_{5}(x - 25) + 2\).
ОДЗ: \(15x + 25 > 0\) и \(x - 25 > 0\), что равносильно \(x > 25\). Решим на ОДЗ:
Исходное уравнение равносильно \(\log_{5}(15x + 25) = \log_{5}(x - 25) + \log_{5}25\), что равносильно \(\log_{5}(15x + 25) = \log_{5}((x - 25)\cdot 25)\). Данное уравнение имеет стандартный вид, оно равносильно \(15x + 25 = 25x - 625\), откуда \(x = 65\) – подходит по ОДЗ.
Ответ: 65
