Математика
Русский язык

5. Решение уравнений

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Логарифмические уравнения (страница 3)

Логарифмическое уравнение – уравнение, содержащее переменную \(x\) в основании и/или аргументе логарифма.

 

Стандартное логарифмическое уравнение:

\[{\large{\log_a{f(x)}=\log_a{g(x)} \quad \Leftrightarrow \quad \begin{cases} f(x)=g(x)\\ f(x)>0 \ (\text{или }g(x)>0) \end{cases}}}\]

где \(a>0, a\ne 1\).

 

Некоторые важные формулы:

 

(0) при \(a>0, \ a\ne 1, \ b>0\) выполняется основное логарифмическое тождество \[{\large{a^{\log_ab}=b}}\]

(1) при \(a>0,\ a\ne 1\) \[{\large{\log_a1=0, \qquad \log_aa=1}}\]

(2) при \(a>0,\ a\ne 1,\ b>0\) \[{\large{\log_{a^n}{b^m}=\frac mn\log_ab}}\]

при четных \(m\) и \(n\) и \(a\ne 0,\ a\ne 1,\ b\ne 0\) \[{\large{\log_{a^n}{b^m}=\dfrac mn\log_{|a|}{|b|}}}\]

(3) при \(a>0,\ a\ne 1,\ b>0,\ c>0\) \[{\large{b^{\log_ac}=c^{\log_ab}}}\]

(4) при \(a>0,\ a\ne 1,\ bc>0\) \[{\large{\log_a{bc}=\log_a{|b|}+\log_a{|c|} \qquad \log_a{\dfrac bc}=\log_a{|b|}-\log_a{|c|}}}\]

(5) при \(a>0,\ a\ne 1,\ b>0,\ b\ne 1,\ c>0\) \[{\large{\log_ab\cdot \log_bc=\log_ac \Longleftrightarrow \log_bc=\dfrac{\log_ac}{\log_ab}}}\]

Задание 15
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите корень уравнения \(\log_{\frac{5}{9}}(3 - x) = -1\).

Добавить задание в избранное

ОДЗ: \(3 - x > 0\) , что равносильно \(x < 3\). Решим на ОДЗ:

По определению логарифма \(\log_{\frac{5}{9}}(3 - x)\) – показатель степени, в которую нужно возвести \(\dfrac{5}{9}\), чтобы получить \(3 - x\), откуда заключаем: \[\left(\dfrac{5}{9}\right)^{-1} = 3 - x\qquad\Leftrightarrow\qquad 1,8 = 3 - x\qquad\Leftrightarrow\qquad x = 1,2\] – подходит по ОДЗ.

Ответ: 1,2

Задание 16
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите корень уравнения \(\log_{\frac{1}{\sqrt{2}}}(2 + 2x) = -4\).

Добавить задание в избранное

ОДЗ: \(2 + 2x > 0\) , что равносильно \(x > -1\). Решим на ОДЗ:

По определению логарифма \(\log_{\frac{1}{\sqrt{2}}}(2 + 2x)\) – показатель степени, в которую нужно возвести \(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\), чтобы получить \(2 + 2x\), откуда заключаем: \[\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)^{-4} = 2 + 2x\qquad\Leftrightarrow\qquad (\sqrt{2})^4 = 2 + 2x\qquad\Leftrightarrow\qquad 4 = 2 + 2x\qquad\Leftrightarrow\qquad x = 1\] – подходит по ОДЗ.

Ответ: 1

Задание 17
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите корень уравнения \(\log_{7}(5 - 3x) = 3\log_{7}2\).

Добавить задание в избранное

ОДЗ: \(5 - 3x > 0\) , что равносильно \(x < \dfrac{5}{3}\). Решим на ОДЗ:

По свойству логарифма исходное уравнение равносильно \(\log_{7}(5 - 3x) = \log_{7}(2^3)\). Последнее уравнение имеет стандартный вид, оно равносильно \(5 - 3x = 8\), что равносильно \(x = -1\) – подходит по ОДЗ.

Ответ: -1

Задание 18
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите корень уравнения \(\log_{\sqrt{5}}(2x + 15) = 4\log_{\sqrt{5}}2\).

Добавить задание в избранное

ОДЗ: \(2x + 15 > 0\) , что равносильно \(x > -7,5\). Решим на ОДЗ:

По свойству логарифма исходное уравнение равносильно \(\log_{\sqrt{5}}(2x + 15) = \log_{\sqrt{5}}(2^4)\), что равносильно \(\log_{\sqrt{5}}(2x + 15) = \log_{\sqrt{5}}16\). Последнее уравнение имеет стандартный вид, оно равносильно \(2x + 15 = 16\), что равносильно \(x = 0,5\) – подходит по ОДЗ.

Ответ: 0,5

Задание 19
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите корень уравнения \(\log_{3}(2x + 1) = \log_{3}(3 - x) + 1\).

Добавить задание в избранное

ОДЗ: \(2x + 1 > 0\) и \(3 - x > 0\), что равносильно \(-0,5 < x < 3\). Решим на ОДЗ:

Исходное уравнение равносильно \(\log_{3}(2x + 1) = \log_{3}(3 - x) + \log_3 3\), что равносильно \(\log_{3}(2x + 1) = \log_{3}((3 - x)\cdot 3)\). Данное уравнение имеет стандартный вид, оно равносильно \(2x + 1 = 9 - 3x\), что равносильно \(x = 1,6\) – подходит по ОДЗ.

Ответ: 1,6

Задание 20
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите корень уравнения \(\log_{5}(15x + 25) = \log_{5}(x - 25) + 2\).

Добавить задание в избранное

ОДЗ: \(15x + 25 > 0\) и \(x - 25 > 0\), что равносильно \(x > 25\). Решим на ОДЗ:

Исходное уравнение равносильно \(\log_{5}(15x + 25) = \log_{5}(x - 25) + \log_{5}25\), что равносильно \(\log_{5}(15x + 25) = \log_{5}((x - 25)\cdot 25)\). Данное уравнение имеет стандартный вид, оно равносильно \(15x + 25 = 25x - 625\), откуда \(x = 65\) – подходит по ОДЗ.

Ответ: 65

Задание 21
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите корень уравнения \(\log_{\sqrt{2}}(3x + 1) = \log_{\sqrt{2}}(2x - 12) + 2\).

Добавить задание в избранное

ОДЗ: \(3x + 1 > 0\) и \(2x - 12 > 0\), что равносильно \(x > 6\). Решим на ОДЗ:

Исходное уравнение равносильно \(\log_{\sqrt{2}}(3x + 1) = \log_{\sqrt{2}}(2x - 12) + \log_{\sqrt{2}}2\), что равносильно \(\log_{\sqrt{2}}(3x + 1) = \log_{\sqrt{2}}((2x - 12)\cdot 2)\). Данное уравнение имеет стандартный вид, оно равносильно \(3x + 1 = 4x - 24\), откуда \(x = 25\) – подходит по ОДЗ.

Ответ: 25

1 2 3 4 5