5. Решение уравнений
Логарифмическое уравнение – уравнение, содержащее переменную \(x\) в основании и/или аргументе логарифма.
Стандартное логарифмическое уравнение:
\[{\large{\log_a{f(x)}=\log_a{g(x)} \quad \Leftrightarrow \quad \begin{cases} f(x)=g(x)\\ f(x)>0 \ (\text{или }g(x)>0) \end{cases}}}\]
где \(a>0, a\ne 1\).
Некоторые важные формулы:
(0) при \(a>0, \ a\ne 1, \ b>0\) выполняется основное логарифмическое тождество \[{\large{a^{\log_ab}=b}}\]
(1) при \(a>0,\ a\ne 1\) \[{\large{\log_a1=0, \qquad \log_aa=1}}\]
(2) при \(a>0,\ a\ne 1,\ b>0\) \[{\large{\log_{a^n}{b^m}=\frac mn\log_ab}}\]
при четных \(m\) и \(n\) и \(a\ne 0,\ a\ne 1,\ b\ne 0\) \[{\large{\log_{a^n}{b^m}=\dfrac mn\log_{|a|}{|b|}}}\]
(3) при \(a>0,\ a\ne 1,\ b>0,\ c>0\) \[{\large{b^{\log_ac}=c^{\log_ab}}}\]
(4) при \(a>0,\ a\ne 1,\ bc>0\) \[{\large{\log_a{bc}=\log_a{|b|}+\log_a{|c|} \qquad \log_a{\dfrac bc}=\log_a{|b|}-\log_a{|c|}}}\]
(5) при \(a>0,\ a\ne 1,\ b>0,\ b\ne 1,\ c>0\) \[{\large{\log_ab\cdot \log_bc=\log_ac \Longleftrightarrow \log_bc=\dfrac{\log_ac}{\log_ab}}}\]
Найдите корень уравнения \(\log_{\sqrt{2}}(3x + 1) = \log_{\sqrt{2}}(2x - 12) + 2\).
ОДЗ: \(3x + 1 > 0\) и \(2x - 12 > 0\), что равносильно \(x > 6\). Решим на ОДЗ:
Исходное уравнение равносильно \(\log_{\sqrt{2}}(3x + 1) = \log_{\sqrt{2}}(2x - 12) + \log_{\sqrt{2}}2\), что равносильно \(\log_{\sqrt{2}}(3x + 1) = \log_{\sqrt{2}}((2x - 12)\cdot 2)\). Данное уравнение имеет стандартный вид, оно равносильно \(3x + 1 = 4x - 24\), откуда \(x = 25\) – подходит по ОДЗ.
Ответ: 25
Найдите корень уравнения \(\log_{\sqrt[3]{3}}(22x - 15) = \log_{\sqrt[3]{3}}(2x + 11) + 6\).
ОДЗ: \(22x - 15 > 0\) и \(2x + 11 > 0\), что равносильно \(x > \dfrac{15}{22}\). Решим на ОДЗ:
Исходное уравнение равносильно \(\log_{\sqrt[3]{3}}(22x - 15) = \log_{\sqrt[3]{3}}(2x + 11) + \log_{\sqrt[3]{3}}(\sqrt[3]{3})^6\), что равносильно \(\log_{\sqrt[3]{3}}(22x - 15) = \log_{\sqrt[3]{3}}(2x + 11) + \log_{\sqrt[3]{3}}9\), что равносильно \(\log_{\sqrt[3]{3}}(22x - 15) = \log_{\sqrt[3]{3}}((2x + 11)\cdot 9)\).
Данное уравнение имеет стандартный вид, оно равносильно \(22x - 15 = 18x + 99\), откуда \(x = 28,5\) – подходит по ОДЗ.
Ответ: 28,5
Найдите корень уравнения \(\log_{x - 3} 4 = 2\). Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите наименьший из них.
ОДЗ: \(x - 3 > 0\) и \(x - 3 \neq 1\). Решим на ОДЗ:
По определению логарифма \(\log_{x - 3} 4\) – показатель степени, в которую нужно возвести \(x - 3\), чтобы получить \(4\), откуда заключаем: \((x - 3)^2 = 4\), что равносильно \(x^2 - 6x + 5 = 0\). Корни этого уравнения \(x_1 = 5, x_2 = 1\). Из них по ОДЗ подходит только \(x = 5\). Итого: \(x = 5\).
Ответ: 5
Найдите корень уравнения \(\log_{5 - 2x} 9 = 2\). Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите наибольший из них.
ОДЗ: \(5 - 2x > 0\) и \(5 - 2x \neq 1\). Решим на ОДЗ:
По определению логарифма \(\log_{5 - 2x} 9\) – показатель степени, в которую нужно возвести \(5 - 2x\), чтобы получить \(9\), откуда заключаем: \((5 - 2x)^2 = 9\), что равносильно \(4x^2 - 20x + 16 = 0\). Корни этого уравнения \(x_1 = 1, x_2 = 4\). Из них по ОДЗ подходит только \(x = 1\). Итого: \(x = 1\).
Ответ: 1
Найдите корень уравнения \(\log_{3x + 3} 27 = 3\). Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите наибольший из них.
ОДЗ: \(3x + 3 > 0\) и \(3x + 3 \neq 1\). Решим на ОДЗ:
По определению логарифма \(\log_{3x + 3} 27\) – показатель степени, в которую нужно возвести \(3x + 3\), чтобы получить \(27\), откуда заключаем: \((3x + 3)^3 = 27\), что равносильно \((3x + 3)^3 = 3^3\). Последнее уравнение имеет стандартный вид, оно равносильно \(3x + 3 = 3\), откуда \(x = 0\) – подходит по ОДЗ.
Ответ: 0
Найдите корень уравнения \(\log_{9} (3^{5x - 1}) = 2\).
ОДЗ: \(3^{5x - 1} > 0\) и \(3^{5x - 1} \neq 1\). Решим на ОДЗ:
По определению логарифма \(\log_{9} (3^{5x - 1})\) – показатель степени, в которую нужно возвести \(9\), чтобы получить \(3^{5x - 1}\), откуда заключаем: \(9^2 = 3^{5x - 1}\), что равносильно \(3^{5x - 1} = 3^4\). Последнее уравнение имеет стандартный вид, оно равносильно \(5x - 1 = 4\), откуда находим \(x = 1\) – подходит по ОДЗ.
Ответ: 1
Найдите корень уравнения \(\log_{\sqrt{2017}}(\sqrt{2} e^x - 17x + 9) = \log_{\sqrt{2017}}(\sqrt{2} e^x + 8x + 7)\).
ОДЗ: \(\sqrt{2} e^x - 17x + 9 > 0\) и \(\sqrt{2} e^x + 8x + 7 > 0\). Решим на ОДЗ:
Исходное уравнение имеет стандартный вид, оно равносильно \(\sqrt{2} e^x - 17x + 9 = \sqrt{2} e^x + 8x + 7\), что равносильно \(-17x + 9 = 8x + 7\), что равносильно \(x = 0,08\) – подходит по ОДЗ.
Ответ: 0,08
