Математика ЕГЭ
Русский язык ЕГЭ
Математика 5-7
Математика ОГЭ
Физика
Кликните, чтобы открыть меню

5. Решение уравнений

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Логарифмические уравнения (страница 4)

Логарифмическое уравнение – уравнение, содержащее переменную \(x\) в основании и/или аргументе логарифма.

 

Стандартное логарифмическое уравнение:

\[{\large{\log_a{f(x)}=\log_a{g(x)} \quad \Leftrightarrow \quad \begin{cases} f(x)=g(x)\\ f(x)>0 \ (\text{или }g(x)>0) \end{cases}}}\]

где \(a>0, a\ne 1\).

 

Некоторые важные формулы:

 

(0) при \(a>0, \ a\ne 1, \ b>0\) выполняется основное логарифмическое тождество \[{\large{a^{\log_ab}=b}}\]

(1) при \(a>0,\ a\ne 1\) \[{\large{\log_a1=0, \qquad \log_aa=1}}\]

(2) при \(a>0,\ a\ne 1,\ b>0\) \[{\large{\log_{a^n}{b^m}=\frac mn\log_ab}}\]

при четных \(m\) и \(n\) и \(a\ne 0,\ a\ne 1,\ b\ne 0\) \[{\large{\log_{a^n}{b^m}=\dfrac mn\log_{|a|}{|b|}}}\]

(3) при \(a>0,\ a\ne 1,\ b>0,\ c>0\) \[{\large{b^{\log_ac}=c^{\log_ab}}}\]

(4) при \(a>0,\ a\ne 1,\ bc>0\) \[{\large{\log_a{bc}=\log_a{|b|}+\log_a{|c|} \qquad \log_a{\dfrac bc}=\log_a{|b|}-\log_a{|c|}}}\]

(5) при \(a>0,\ a\ne 1,\ b>0,\ b\ne 1,\ c>0\) \[{\large{\log_ab\cdot \log_bc=\log_ac \Longleftrightarrow \log_bc=\dfrac{\log_ac}{\log_ab}}}\]

Задание 22 #437
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите корень уравнения \(\log_{\sqrt{2}}(3x + 1) = \log_{\sqrt{2}}(2x - 12) + 2\).

Добавить задание в избранное

ОДЗ: \(3x + 1 > 0\) и \(2x - 12 > 0\), что равносильно \(x > 6\). Решим на ОДЗ:

Исходное уравнение равносильно \(\log_{\sqrt{2}}(3x + 1) = \log_{\sqrt{2}}(2x - 12) + \log_{\sqrt{2}}2\), что равносильно \(\log_{\sqrt{2}}(3x + 1) = \log_{\sqrt{2}}((2x - 12)\cdot 2)\). Данное уравнение имеет стандартный вид, оно равносильно \(3x + 1 = 4x - 24\), откуда \(x = 25\) – подходит по ОДЗ.

Ответ: 25

Задание 23 #438
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите корень уравнения \(\log_{\sqrt[3]{3}}(22x - 15) = \log_{\sqrt[3]{3}}(2x + 11) + 6\).

Добавить задание в избранное

ОДЗ: \(22x - 15 > 0\) и \(2x + 11 > 0\), что равносильно \(x > \dfrac{15}{22}\). Решим на ОДЗ:

Исходное уравнение равносильно \(\log_{\sqrt[3]{3}}(22x - 15) = \log_{\sqrt[3]{3}}(2x + 11) + \log_{\sqrt[3]{3}}(\sqrt[3]{3})^6\), что равносильно \(\log_{\sqrt[3]{3}}(22x - 15) = \log_{\sqrt[3]{3}}(2x + 11) + \log_{\sqrt[3]{3}}9\), что равносильно \(\log_{\sqrt[3]{3}}(22x - 15) = \log_{\sqrt[3]{3}}((2x + 11)\cdot 9)\).

Данное уравнение имеет стандартный вид, оно равносильно \(22x - 15 = 18x + 99\), откуда \(x = 28,5\) – подходит по ОДЗ.

Ответ: 28,5

Задание 24 #439
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Найдите корень уравнения \(\log_{x - 3} 4 = 2\). Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите наименьший из них.

Добавить задание в избранное

ОДЗ: \(x - 3 > 0\) и \(x - 3 \neq 1\). Решим на ОДЗ:

По определению логарифма \(\log_{x - 3} 4\) – показатель степени, в которую нужно возвести \(x - 3\), чтобы получить \(4\), откуда заключаем: \((x - 3)^2 = 4\), что равносильно \(x^2 - 6x + 5 = 0\). Корни этого уравнения \(x_1 = 5, x_2 = 1\). Из них по ОДЗ подходит только \(x = 5\). Итого: \(x = 5\).

Ответ: 5

Задание 25 #440
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Найдите корень уравнения \(\log_{5 - 2x} 9 = 2\). Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите наибольший из них.

Добавить задание в избранное

ОДЗ: \(5 - 2x > 0\) и \(5 - 2x \neq 1\). Решим на ОДЗ:

По определению логарифма \(\log_{5 - 2x} 9\) – показатель степени, в которую нужно возвести \(5 - 2x\), чтобы получить \(9\), откуда заключаем: \((5 - 2x)^2 = 9\), что равносильно \(4x^2 - 20x + 16 = 0\). Корни этого уравнения \(x_1 = 1, x_2 = 4\). Из них по ОДЗ подходит только \(x = 1\). Итого: \(x = 1\).

Ответ: 1

Задание 26 #441
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Найдите корень уравнения \(\log_{3x + 3} 27 = 3\). Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите наибольший из них.

Добавить задание в избранное

ОДЗ: \(3x + 3 > 0\) и \(3x + 3 \neq 1\). Решим на ОДЗ:

По определению логарифма \(\log_{3x + 3} 27\) – показатель степени, в которую нужно возвести \(3x + 3\), чтобы получить \(27\), откуда заключаем: \((3x + 3)^3 = 27\), что равносильно \((3x + 3)^3 = 3^3\). Последнее уравнение имеет стандартный вид, оно равносильно \(3x + 3 = 3\), откуда \(x = 0\) – подходит по ОДЗ.

Ответ: 0

Задание 27 #442
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Найдите корень уравнения \(\log_{9} (3^{5x - 1}) = 2\).

Добавить задание в избранное

ОДЗ: \(3^{5x - 1} > 0\) и \(3^{5x - 1} \neq 1\). Решим на ОДЗ:

По определению логарифма \(\log_{9} (3^{5x - 1})\) – показатель степени, в которую нужно возвести \(9\), чтобы получить \(3^{5x - 1}\), откуда заключаем: \(9^2 = 3^{5x - 1}\), что равносильно \(3^{5x - 1} = 3^4\). Последнее уравнение имеет стандартный вид, оно равносильно \(5x - 1 = 4\), откуда находим \(x = 1\) – подходит по ОДЗ.

Ответ: 1

Задание 28 #434
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Найдите корень уравнения \(\log_{\sqrt{2017}}(\sqrt{2} e^x - 17x + 9) = \log_{\sqrt{2017}}(\sqrt{2} e^x + 8x + 7)\).

Добавить задание в избранное

ОДЗ: \(\sqrt{2} e^x - 17x + 9 > 0\) и \(\sqrt{2} e^x + 8x + 7 > 0\). Решим на ОДЗ:

Исходное уравнение имеет стандартный вид, оно равносильно \(\sqrt{2} e^x - 17x + 9 = \sqrt{2} e^x + 8x + 7\), что равносильно \(-17x + 9 = 8x + 7\), что равносильно \(x = 0,08\) – подходит по ОДЗ.

Ответ: 0,08

1 .... 3 4 5 6