Математика
Русский язык

5. Решение уравнений

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Логарифмические уравнения (страница 5)

Логарифмическое уравнение – уравнение, содержащее переменную \(x\) в основании и/или аргументе логарифма.

 

Стандартное логарифмическое уравнение:

\[{\large{\log_a{f(x)}=\log_a{g(x)} \quad \Leftrightarrow \quad \begin{cases} f(x)=g(x)\\ f(x)>0 \ (\text{или }g(x)>0) \end{cases}}}\]

где \(a>0, a\ne 1\).

 

Некоторые важные формулы:

 

(0) при \(a>0, \ a\ne 1, \ b>0\) выполняется основное логарифмическое тождество \[{\large{a^{\log_ab}=b}}\]

(1) при \(a>0,\ a\ne 1\) \[{\large{\log_a1=0, \qquad \log_aa=1}}\]

(2) при \(a>0,\ a\ne 1,\ b>0\) \[{\large{\log_{a^n}{b^m}=\frac mn\log_ab}}\]

при четных \(m\) и \(n\) и \(a\ne 0,\ a\ne 1,\ b\ne 0\) \[{\large{\log_{a^n}{b^m}=\dfrac mn\log_{|a|}{|b|}}}\]

(3) при \(a>0,\ a\ne 1,\ b>0,\ c>0\) \[{\large{b^{\log_ac}=c^{\log_ab}}}\]

(4) при \(a>0,\ a\ne 1,\ bc>0\) \[{\large{\log_a{bc}=\log_a{|b|}+\log_a{|c|} \qquad \log_a{\dfrac bc}=\log_a{|b|}-\log_a{|c|}}}\]

(5) при \(a>0,\ a\ne 1,\ b>0,\ b\ne 1,\ c>0\) \[{\large{\log_ab\cdot \log_bc=\log_ac \Longleftrightarrow \log_bc=\dfrac{\log_ac}{\log_ab}}}\]

Задание 29
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Найдите корень уравнения \(\log_{2016}(3,14 x^{2016} + 7 - 2x) = \log_{2016}(3,14 x^{2016} + 6 - 3x)\).

Добавить задание в избранное

ОДЗ: \(3,14 x^{2016} + 7 - 2x > 0\) и \(3,14 x^{2016} + 6 - 3x > 0\). Решим на ОДЗ:

Исходное уравнение имеет стандартный вид, оно равносильно \(3,14 x^{2016} + 7 - 2x = 3,14 x^{2016} + 6 - 3x\), что равносильно \(7 - 2x = 6 - 3x\), откуда \(x = -1\) – подходит по ОДЗ.

Ответ: -1

Задание 30
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Найдите корень уравнения \(\log_{3}(\pi x^2 + x + 4) = \log_{3}(\pi x^2 + 3x + 7)\).

Добавить задание в избранное

ОДЗ: \(\pi x^2 + x + 4 > 0\) и \(\pi x^2 + 3x + 7 > 0\). Решим на ОДЗ:

Исходное уравнение имеет стандартный вид, оно равносильно \(\pi x^2 + x + 4 = \pi x^2 + 3x + 7\), что равносильно \(x = -1,5\) – подходит по ОДЗ.

Ответ: -1,5

Задание 31
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Найдите корень уравнения \(\log_{\sqrt{\pi}}(20x + \pi) = 5\log_{\sqrt{\pi}}(\sqrt[5]{\pi})\).

Добавить задание в избранное

ОДЗ: \(20x + \pi > 0\). Решим на ОДЗ:

По свойству логарифма исходное уравнение равносильно \(\log_{\sqrt{\pi}}(20x + \pi) = \log_{\sqrt{\pi}}((\sqrt[5]{\pi})^5)\), что равносильно \(\log_{\sqrt{\pi}}(20x + \pi) = \log_{\sqrt{\pi}}\pi\). Последнее уравнение имеет стандартный вид, оно равносильно \(20x + \pi = \pi\), что равносильно \(x = 0\) – подходит по ОДЗ.

Ответ: 0

Задание 32
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Найдите корень уравнения \(\log_{\sin{\frac{\pi}{3}}}\left(x + \dfrac{1}{3}\right) = -2\).

Добавить задание в избранное

ОДЗ: \(x + \dfrac{1}{3} > 0\) , что равносильно \(x > -\dfrac{1}{3}\). Решим на ОДЗ:

По определению логарифма \(\log_{\sin{\frac{\pi}{3}}}\left(x + \dfrac{1}{3}\right)\) – показатель степени, в которую нужно возвести \(\sin{\dfrac{\pi}{3}}\), чтобы получить \(x + \dfrac{1}{3}\). Так как \(\sin{\dfrac{\pi}{3}} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\), то: \[\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^{-2} = x + \dfrac{1}{3}\qquad\Leftrightarrow\qquad \left(\dfrac{2}{\sqrt{3}}\right)^{2} = x + \dfrac{1}{3} \qquad\Leftrightarrow\qquad \dfrac{4}{3} = x + \dfrac{1}{3} \qquad\Leftrightarrow\qquad x = 1\] – подходит по ОДЗ.

Ответ: 1

Задание 33
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Найдите корень уравнения \(\log_{\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{\pi}}}\left(30x + 6 + \dfrac{\pi}{3}\right) = -2\).

Добавить задание в избранное

ОДЗ: \(30x + 6 + \dfrac{\pi}{3} > 0\). Решим на ОДЗ:

По определению логарифма \(\log_{\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{\pi}}}\left(30x + 6 + \dfrac{\pi}{3}\right)\) – показатель степени, в которую нужно возвести \(\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{\pi}}\), чтобы получить \(30x + 6 + \dfrac{\pi}{3}\), откуда заключаем:

\(\left(\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{\pi}}\right)^{-2} = 30x + 6 + \dfrac{\pi}{3}\qquad\Leftrightarrow\qquad \left(\frac{\sqrt{\pi}}{\sqrt{3}}\right)^{2} = 30x + 6 + \dfrac{\pi}{3}\qquad\Leftrightarrow\)

 

\(\Leftrightarrow\qquad \dfrac{\pi}{3} = 30x + 6 + \dfrac{\pi}{3}\qquad\Leftrightarrow\qquad x = -0,2\) – подходит по ОДЗ.

Ответ: -0,2

Задание 34
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Найдите корень уравнения \(\log_{\pi}(\pi x + 4) = \log_{\pi}(\sqrt{2}x + \log_{2}16)\).

Добавить задание в избранное

ОДЗ: \(\pi x + 4 > 0\) и \(\sqrt{2}x + \log_{2}16 > 0\). Решим на ОДЗ:

Данное уравнение имеет стандартный вид, оно равносильно \(\pi x+4=\sqrt{2}x+\log_{2}16\), что равносильно \(\pi x+4=\sqrt{2}x+4\), что равносильно \(\pi x = \sqrt{2}x\), что равносильно \(\pi x - \sqrt{2} x = 0\), что равносильно \(x(\pi - \sqrt{2}) = 0\), откуда \(x = 0\) – подходит по ОДЗ.

Ответ: 0

Задание 35
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Найдите корень уравнения \(\log_{\cos{\frac{\pi}{4}}}(3x - 1) = -6\).

Добавить задание в избранное

ОДЗ: \(3x - 1 > 0\) , что равносильно \(x > \dfrac{1}{3}\). Решим на ОДЗ:

По определению логарифма \(\log_{\cos{\frac{\pi}{4}}}(3x - 1)\) – показатель степени, в которую нужно возвести \(\cos{\dfrac{\pi}{4}}\), чтобы получить \(3x - 1\). Так как \(\cos{\dfrac{\pi}{4}} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}\), то: \[\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)^{-6} = 3x - 1\qquad\Leftrightarrow\qquad (\sqrt{2})^{6} = 3x - 1\qquad\Leftrightarrow\qquad 8 = 3x - 1\qquad\Leftrightarrow\qquad x = 3\] – подходит по ОДЗ.

Ответ: 3