5. Решение уравнений
Логарифмическое уравнение – уравнение, содержащее переменную \(x\) в основании и/или аргументе логарифма.
Стандартное логарифмическое уравнение:
\[{\large{\log_a{f(x)}=\log_a{g(x)} \quad \Leftrightarrow \quad \begin{cases} f(x)=g(x)\\ f(x)>0 \ (\text{или }g(x)>0) \end{cases}}}\]
где \(a>0, a\ne 1\).
Некоторые важные формулы:
(0) при \(a>0, \ a\ne 1, \ b>0\) выполняется основное логарифмическое тождество \[{\large{a^{\log_ab}=b}}\]
(1) при \(a>0,\ a\ne 1\) \[{\large{\log_a1=0, \qquad \log_aa=1}}\]
(2) при \(a>0,\ a\ne 1,\ b>0\) \[{\large{\log_{a^n}{b^m}=\frac mn\log_ab}}\]
при четных \(m\) и \(n\) и \(a\ne 0,\ a\ne 1,\ b\ne 0\) \[{\large{\log_{a^n}{b^m}=\dfrac mn\log_{|a|}{|b|}}}\]
(3) при \(a>0,\ a\ne 1,\ b>0,\ c>0\) \[{\large{b^{\log_ac}=c^{\log_ab}}}\]
(4) при \(a>0,\ a\ne 1,\ bc>0\) \[{\large{\log_a{bc}=\log_a{|b|}+\log_a{|c|} \qquad \log_a{\dfrac bc}=\log_a{|b|}-\log_a{|c|}}}\]
(5) при \(a>0,\ a\ne 1,\ b>0,\ b\ne 1,\ c>0\) \[{\large{\log_ab\cdot \log_bc=\log_ac \Longleftrightarrow \log_bc=\dfrac{\log_ac}{\log_ab}}}\]
Найдите наименьший корень уравнения \[\dfrac{x^2-1}{\log_2x}=\dfrac{7x-7}{\log_2x}\]
Перенесем все слагаемые в одну часть: \[\dfrac{x^2-1-7x+7}{\log_2x}=0 \quad\Leftrightarrow\quad \begin{cases} x^2-7x+6=0\\ \log_2x\ne 0\\ x>0 \end{cases} \quad\Leftrightarrow\quad \begin{cases} x=6 \quad {\small{\text{или}}} \quad x=1\\ x\ne 1\\ x>0 \end{cases} \quad\Leftrightarrow\quad x=6.\]
Ответ: 6
Найдите корень уравнения \(\log_{2016}(3,14 x^{2016} + 7 - 2x) = \log_{2016}(3,14 x^{2016} + 6 - 3x)\).
ОДЗ: \(3,14 x^{2016} + 7 - 2x > 0\) и \(3,14 x^{2016} + 6 - 3x > 0\). Решим на ОДЗ:
Исходное уравнение имеет стандартный вид, оно равносильно \(3,14 x^{2016} + 7 - 2x = 3,14 x^{2016} + 6 - 3x\), что равносильно \(7 - 2x = 6 - 3x\), откуда \(x = -1\) – подходит по ОДЗ.
Ответ: -1
Найдите корень уравнения \(\log_{3}(\pi x^2 + x + 4) = \log_{3}(\pi x^2 + 3x + 7)\).
ОДЗ: \(\pi x^2 + x + 4 > 0\) и \(\pi x^2 + 3x + 7 > 0\). Решим на ОДЗ:
Исходное уравнение имеет стандартный вид, оно равносильно \(\pi x^2 + x + 4 = \pi x^2 + 3x + 7\), что равносильно \(x = -1,5\) – подходит по ОДЗ.
Ответ: -1,5
Найдите корень уравнения \(\log_{\sqrt{\pi}}(20x + \pi) = 5\log_{\sqrt{\pi}}(\sqrt[5]{\pi})\).
ОДЗ: \(20x + \pi > 0\). Решим на ОДЗ:
По свойству логарифма исходное уравнение равносильно \(\log_{\sqrt{\pi}}(20x + \pi) = \log_{\sqrt{\pi}}((\sqrt[5]{\pi})^5)\), что равносильно \(\log_{\sqrt{\pi}}(20x + \pi) = \log_{\sqrt{\pi}}\pi\). Последнее уравнение имеет стандартный вид, оно равносильно \(20x + \pi = \pi\), что равносильно \(x = 0\) – подходит по ОДЗ.
Ответ: 0
Найдите корень уравнения \(\log_{\sin{\frac{\pi}{3}}}\left(x + \dfrac{1}{3}\right) = -2\).
ОДЗ: \(x + \dfrac{1}{3} > 0\) , что равносильно \(x > -\dfrac{1}{3}\). Решим на ОДЗ:
По определению логарифма \(\log_{\sin{\frac{\pi}{3}}}\left(x + \dfrac{1}{3}\right)\) – показатель степени, в которую нужно возвести \(\sin{\dfrac{\pi}{3}}\), чтобы получить \(x + \dfrac{1}{3}\). Так как \(\sin{\dfrac{\pi}{3}} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\), то: \[\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^{-2} = x + \dfrac{1}{3}\qquad\Leftrightarrow\qquad \left(\dfrac{2}{\sqrt{3}}\right)^{2} = x + \dfrac{1}{3} \qquad\Leftrightarrow\qquad \dfrac{4}{3} = x + \dfrac{1}{3} \qquad\Leftrightarrow\qquad x = 1\] – подходит по ОДЗ.
Ответ: 1
Найдите корень уравнения \(\log_{\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{\pi}}}\left(30x + 6 + \dfrac{\pi}{3}\right) = -2\).
ОДЗ: \(30x + 6 + \dfrac{\pi}{3} > 0\). Решим на ОДЗ:
По определению логарифма \(\log_{\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{\pi}}}\left(30x + 6 + \dfrac{\pi}{3}\right)\) – показатель степени, в которую нужно возвести \(\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{\pi}}\), чтобы получить \(30x + 6 + \dfrac{\pi}{3}\), откуда заключаем:
\(\left(\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{\pi}}\right)^{-2} = 30x + 6 + \dfrac{\pi}{3}\qquad\Leftrightarrow\qquad \left(\frac{\sqrt{\pi}}{\sqrt{3}}\right)^{2} = 30x + 6 + \dfrac{\pi}{3}\qquad\Leftrightarrow\)
\(\Leftrightarrow\qquad \dfrac{\pi}{3} = 30x + 6 + \dfrac{\pi}{3}\qquad\Leftrightarrow\qquad x = -0,2\) – подходит по ОДЗ.
Ответ: -0,2
Найдите корень уравнения \(\log_{\pi}(\pi x + 4) = \log_{\pi}(\sqrt{2}x + \log_{2}16)\).
ОДЗ: \(\pi x + 4 > 0\) и \(\sqrt{2}x + \log_{2}16 > 0\). Решим на ОДЗ:
Данное уравнение имеет стандартный вид, оно равносильно \(\pi x+4=\sqrt{2}x+\log_{2}16\), что равносильно \(\pi x+4=\sqrt{2}x+4\), что равносильно \(\pi x = \sqrt{2}x\), что равносильно \(\pi x - \sqrt{2} x = 0\), что равносильно \(x(\pi - \sqrt{2}) = 0\), откуда \(x = 0\) – подходит по ОДЗ.
Ответ: 0
