Математика ЕГЭ Профиль
Русский язык ЕГЭ

5. Решение уравнений

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Логарифмические уравнения (страница 5)

Логарифмическое уравнение – уравнение, содержащее переменную \(x\) в основании и/или аргументе логарифма.

 

Стандартное логарифмическое уравнение:

\[{\large{\log_a{f(x)}=\log_a{g(x)} \quad \Leftrightarrow \quad \begin{cases} f(x)=g(x)\\ f(x)>0 \ (\text{или }g(x)>0) \end{cases}}}\]

где \(a>0, a\ne 1\).

 

Некоторые важные формулы:

 

(0) при \(a>0, \ a\ne 1, \ b>0\) выполняется основное логарифмическое тождество \[{\large{a^{\log_ab}=b}}\]

(1) при \(a>0,\ a\ne 1\) \[{\large{\log_a1=0, \qquad \log_aa=1}}\]

(2) при \(a>0,\ a\ne 1,\ b>0\) \[{\large{\log_{a^n}{b^m}=\frac mn\log_ab}}\]

при четных \(m\) и \(n\) и \(a\ne 0,\ a\ne 1,\ b\ne 0\) \[{\large{\log_{a^n}{b^m}=\dfrac mn\log_{|a|}{|b|}}}\]

(3) при \(a>0,\ a\ne 1,\ b>0,\ c>0\) \[{\large{b^{\log_ac}=c^{\log_ab}}}\]

(4) при \(a>0,\ a\ne 1,\ bc>0\) \[{\large{\log_a{bc}=\log_a{|b|}+\log_a{|c|} \qquad \log_a{\dfrac bc}=\log_a{|b|}-\log_a{|c|}}}\]

(5) при \(a>0,\ a\ne 1,\ b>0,\ b\ne 1,\ c>0\) \[{\large{\log_ab\cdot \log_bc=\log_ac \Longleftrightarrow \log_bc=\dfrac{\log_ac}{\log_ab}}}\]

Задание 29 #3094
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Найдите наименьший корень уравнения \[\dfrac{x^2-1}{\log_2x}=\dfrac{7x-7}{\log_2x}\]

Добавить задание в избранное

Перенесем все слагаемые в одну часть: \[\dfrac{x^2-1-7x+7}{\log_2x}=0 \quad\Leftrightarrow\quad \begin{cases} x^2-7x+6=0\\ \log_2x\ne 0\\ x>0 \end{cases} \quad\Leftrightarrow\quad \begin{cases} x=6 \quad {\small{\text{или}}} \quad x=1\\ x\ne 1\\ x>0 \end{cases} \quad\Leftrightarrow\quad x=6.\]

Ответ: 6

Задание 30 #433
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Найдите корень уравнения \(\log_{2016}(3,14 x^{2016} + 7 - 2x) = \log_{2016}(3,14 x^{2016} + 6 - 3x)\).

Добавить задание в избранное

ОДЗ: \(3,14 x^{2016} + 7 - 2x > 0\) и \(3,14 x^{2016} + 6 - 3x > 0\). Решим на ОДЗ:

Исходное уравнение имеет стандартный вид, оно равносильно \(3,14 x^{2016} + 7 - 2x = 3,14 x^{2016} + 6 - 3x\), что равносильно \(7 - 2x = 6 - 3x\), откуда \(x = -1\) – подходит по ОДЗ.

Ответ: -1

Задание 31 #432
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Найдите корень уравнения \(\log_{3}(\pi x^2 + x + 4) = \log_{3}(\pi x^2 + 3x + 7)\).

Добавить задание в избранное

ОДЗ: \(\pi x^2 + x + 4 > 0\) и \(\pi x^2 + 3x + 7 > 0\). Решим на ОДЗ:

Исходное уравнение имеет стандартный вид, оно равносильно \(\pi x^2 + x + 4 = \pi x^2 + 3x + 7\), что равносильно \(x = -1,5\) – подходит по ОДЗ.

Ответ: -1,5

Задание 32 #431
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Найдите корень уравнения \(\log_{\sqrt{\pi}}(20x + \pi) = 5\log_{\sqrt{\pi}}(\sqrt[5]{\pi})\).

Добавить задание в избранное

ОДЗ: \(20x + \pi > 0\). Решим на ОДЗ:

По свойству логарифма исходное уравнение равносильно \(\log_{\sqrt{\pi}}(20x + \pi) = \log_{\sqrt{\pi}}((\sqrt[5]{\pi})^5)\), что равносильно \(\log_{\sqrt{\pi}}(20x + \pi) = \log_{\sqrt{\pi}}\pi\). Последнее уравнение имеет стандартный вид, оно равносильно \(20x + \pi = \pi\), что равносильно \(x = 0\) – подходит по ОДЗ.

Ответ: 0

Задание 33 #426
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Найдите корень уравнения \(\log_{\sin{\frac{\pi}{3}}}\left(x + \dfrac{1}{3}\right) = -2\).

Добавить задание в избранное

ОДЗ: \(x + \dfrac{1}{3} > 0\) , что равносильно \(x > -\dfrac{1}{3}\). Решим на ОДЗ:

По определению логарифма \(\log_{\sin{\frac{\pi}{3}}}\left(x + \dfrac{1}{3}\right)\) – показатель степени, в которую нужно возвести \(\sin{\dfrac{\pi}{3}}\), чтобы получить \(x + \dfrac{1}{3}\). Так как \(\sin{\dfrac{\pi}{3}} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\), то: \[\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^{-2} = x + \dfrac{1}{3}\qquad\Leftrightarrow\qquad \left(\dfrac{2}{\sqrt{3}}\right)^{2} = x + \dfrac{1}{3} \qquad\Leftrightarrow\qquad \dfrac{4}{3} = x + \dfrac{1}{3} \qquad\Leftrightarrow\qquad x = 1\] – подходит по ОДЗ.

Ответ: 1

Задание 34 #2013
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Найдите корень уравнения \(\log_{\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{\pi}}}\left(30x + 6 + \dfrac{\pi}{3}\right) = -2\).

Добавить задание в избранное

ОДЗ: \(30x + 6 + \dfrac{\pi}{3} > 0\). Решим на ОДЗ:

По определению логарифма \(\log_{\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{\pi}}}\left(30x + 6 + \dfrac{\pi}{3}\right)\) – показатель степени, в которую нужно возвести \(\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{\pi}}\), чтобы получить \(30x + 6 + \dfrac{\pi}{3}\), откуда заключаем:

\(\left(\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{\pi}}\right)^{-2} = 30x + 6 + \dfrac{\pi}{3}\qquad\Leftrightarrow\qquad \left(\frac{\sqrt{\pi}}{\sqrt{3}}\right)^{2} = 30x + 6 + \dfrac{\pi}{3}\qquad\Leftrightarrow\)

 

\(\Leftrightarrow\qquad \dfrac{\pi}{3} = 30x + 6 + \dfrac{\pi}{3}\qquad\Leftrightarrow\qquad x = -0,2\) – подходит по ОДЗ.

Ответ: -0,2

Задание 35 #420
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Найдите корень уравнения \(\log_{\pi}(\pi x + 4) = \log_{\pi}(\sqrt{2}x + \log_{2}16)\).

Добавить задание в избранное

ОДЗ: \(\pi x + 4 > 0\) и \(\sqrt{2}x + \log_{2}16 > 0\). Решим на ОДЗ:

Данное уравнение имеет стандартный вид, оно равносильно \(\pi x+4=\sqrt{2}x+\log_{2}16\), что равносильно \(\pi x+4=\sqrt{2}x+4\), что равносильно \(\pi x = \sqrt{2}x\), что равносильно \(\pi x - \sqrt{2} x = 0\), что равносильно \(x(\pi - \sqrt{2}) = 0\), откуда \(x = 0\) – подходит по ОДЗ.

Ответ: 0

1 .... 4 5 6