Математика
Русский язык

5. Решение уравнений

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения
Задание 8
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите корень уравнения \((x + 8)^2 = x^2 + 8\).

Добавить задание в избранное

ОДЗ: \(x\) – произвольное. Решим на ОДЗ:

После упрощения имеем \(x^2 + 16x + 64 = x^2 + 8\), что равносильно \(16x = -56\), что равносильно \(x = -3,5\) – подходит по ОДЗ.

Ответ: -3,5

Задание 9
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите корень уравнения \((2x + 3)^2 = 4x^2 + 9\).

Добавить задание в избранное

ОДЗ: \(x\) – произвольное. Решим на ОДЗ:

После упрощения имеем \(4x^2 + 12x + 9 = 4x^2 + 9\), что равносильно \(12x = 0\), что равносильно \(x = 0\) – подходит по ОДЗ.

Ответ: 0

Задание 10
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Решите уравнение \(3,75x+\dfrac{37}4=\dfrac{2x}3\).

Добавить задание в избранное

Данное уравнение является линейным. Преобразуем его, заметив, что \(3,75=3\frac34=\frac{15}{4}\):

\[\dfrac{15}4x-\dfrac23x=-\dfrac{37}4 \ \bigg|\cdot 12 \quad\Leftrightarrow\quad 45x-8x=-37\cdot 3\quad\Leftrightarrow\quad 37x=-37\cdot 3 \quad\Leftrightarrow\quad x=-3.\]

Ответ: -3

Задание 11
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите отрицательный корень уравнения \((3-x)(3x+4)=4\).

Добавить задание в избранное

Данное уравнение является квадратным. Раскроем скобки: \[9x+12-3x^2-4x=4\quad\Leftrightarrow\quad 3x^2-5x-8=0\]

1 способ.
Дискриминант \(D=25+4\cdot 3\cdot 8=121=11^2\), следовательно, корни: \[x_1=\dfrac{5+11}{2\cdot 3}=\dfrac83 \qquad\text{и}\qquad x_2=\dfrac{5-11}{2\cdot 3}=-1.\] Следовательно, отрицательный корень – это \(x=-1\).

 

2 способ.
Заметим, что сумма коэффициентов, стоящих при четных степенях: \(3+(-8)=-5\), равна сумме коэффициентов, стоящих при нечетных степенях: \(-5\), следовательно, один из корней \(x_1=-1\). Тогда второй по теореме Виета (т.к. их произведение равно \(-\frac83\)) равен \(x_2=\frac83\).

Ответ: -1

Задание 12
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Решите уравнение \((1-x)^2+1=2(1-x)\).

Добавить задание в избранное

1 способ.
Раскроем скобки: \[1-2x+x^2+1=2-2x\quad\Leftrightarrow\quad x^2=0\quad\Leftrightarrow\quad x=0.\]

2 способ.
Преобразуем: \[(1-x)^2-2(1-x)+1^2=0\quad\Leftrightarrow\quad(1-x-1)^2=0\quad\Leftrightarrow \quad (-x)^2=0\quad\Leftrightarrow\quad x=0.\]

Ответ: 0

Задание 13
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите корень уравнения \(\dfrac{4}{7}x^2 = 46\dfrac{2}{7}\). Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите больший из них.

Добавить задание в избранное

ОДЗ: \(x\) – произвольное. Решим на ОДЗ:

После умножения на 7 левой и правой частей имеем \(4x^2 = 324\), что равносильно \(x^2 = 81\), что равносильно \(x = \pm 9\) – подходят по ОДЗ. Таким образом, больший из корней \(9\).

Ответ: 9

Задание 14
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите корень уравнения \((6,25x + 11)^2 = (6,25x + 9)^2\).

Добавить задание в избранное

ОДЗ: \(x\) – произвольное. Решим на ОДЗ:

После упрощения имеем \((6,25x)^2 + 137,5x + 121 = (6,25x)^2 + 112,5x + 81\), что равносильно \(25x = -40\), откуда \(x = -1,6\) – подходит по ОДЗ.

Ответ: -1,6

1 2 3 .... 5