Математика
Русский язык

5. Решение уравнений

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения
Задание 22
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Решите уравнение \(x^2+33x-34=0\). Если уравнение имеет несколько корней, в ответ укажите наибольший по модулю.

Добавить задание в избранное

Данное уравнение является квадратным.

1 способ.
Дискриминант \(D=1089+4\cdot 34=1225\). Найдем, чей это квадрат. Это число делится на \(25\), следовательно, корень из него делится на \(5\). Т.к. \(30^2=900\), а \(40^2=1600\), то проверкой убеждаемся, что \(35^2=1225\). Следовательно, корни \[x_1=\dfrac{-33+35}{2}=1 \qquad\text{и}\qquad x_2=\dfrac{-33-35}{2}=-34.\] Следовательно, наибольший по модулю корень – это \(x=-34\).

 

2 способ.
Заметим, что сумма коэффициентов уравнения равна нулю: \(1+33-34=0\), следовательно, один из корней \(x_1=1\). Тогда второй по теореме Виета (т.к. их произведение равно \(-34\)) равен \(x_2=-34\).

Ответ: -34

Задание 23
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Найдите корень уравнения

\[\begin{aligned} (h(x)\cdot x^2 + 3h(x)\cdot x - 10h(x))\cdot h(5x) = 0, \end{aligned}\]

если \(h(z)\) – некоторая функция, определённая всюду, кроме \(z = -25\), причём \(h(z) < 0\) при всех допустимых \(z\). Если уравнение имеет несколько корней, в ответ запишите меньший из них.

Добавить задание в избранное

ОДЗ: \(x \neq -25\) и \(5x \neq -25\), что равносильно \(-25\neq x \neq -5\). Решим на ОДЗ:
Произведение нескольких множителей равно нулю в том и только том случае, если хотя бы один из них равен нулю и все они не теряют смысл.

Тогда в силу того, что \(h(z) < 0\) при всех допустимых \(z\), на ОДЗ исходное уравнение равносильно \[h(x)\cdot x^2 + 3h(x)\cdot x - 10h(x) = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad h(x)\cdot(x^2 + 3x - 10) = 0,\] что аналогично на ОДЗ равносильно \[x^2 + 3x - 10 = 0,\] Дискриминант \(D = 9 + 40 = 49\), откуда \[x_1 = \dfrac{-3 + 7}{2} = 2, \ x_2 = \dfrac{-3 - 7}{2} = -5,\] но по ОДЗ подходит только \(x = 2\).

Ответ: 2

Задание 24
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Найдите корень уравнения

\[\begin{aligned} f^2(x) - 4f(x) - 5 = 0, \end{aligned}\]

если \(f(x)\) – некоторая функция, определённая всюду, область значений которой – множество положительных чисел, причём \(f(x) = 5\) при \(x = -1\) и при \(x = 3\). Если уравнение имеет несколько корней, в ответ запишите меньший из них.

Добавить задание в избранное

ОДЗ: \(x\) – произвольное. Решим на ОДЗ:
Сделаем замену \(f(x) = t\), тогда исходное уравнение примет вид \[t^2 - 4t - 5 = 0.\] Дискриминант \(D = 16 + 20 = 36\), тогда корни \[t_1 = \dfrac{4 + 6}{2} = 5, \ t_2 = \dfrac{4 - 6}{2} = -1.\] Тогда \(f(x) = 5\) или \(f(x) = -1\), но по условию \(f(x)\) может принимать только положительные значения, следовательно, \(f(x) = -1\) быть не может.

Так как \(f(x) = 5\) по условию выполняется при \(x = -1\) и при \(x = 3\), то у исходного уравнения два корня \(x_1 = -1\), \(x_2 = 3\). Меньший из корней: \(x = -1\).

Ответ: -1

Задание 25
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Найдите корень уравнения

\[\begin{aligned} \ln(\sin (3\pi e^2))x + \ln 6 - \ln 2 = \ln 3 + \ln(\mathrm{tg}\, (3\pi e^2)) + \ln(\cos (3\pi e^2)). \end{aligned}\]

Добавить задание в избранное

ОДЗ: \(x\) – произвольное. Решим на ОДЗ:
\(\ln(\sin (3\pi e^2))x + \ln 3 = \ln 3 + \ln(\mathrm{tg}\, (3\pi e^2)) + \ln(\cos (3\pi e^2))\).
\(\ln(\sin (3\pi e^2))x = \ln(\mathrm{tg}\, (3\pi e^2)\cdot\cos (3\pi e^2))\).
\(\ln(\sin (3\pi e^2))x = \ln(\sin (3\pi e^2))\).
Разделим левую и правую часть уравнения на \(\ln(\sin (3\pi e^2))\). После деления: \(x = 1\) – подходит по ОДЗ.

Ответ: 1

Задание 26
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Найдите корень уравнения

\[\begin{aligned} 7x + \dfrac{f(x)}{x + 3} = 21 + \dfrac{f(x)}{x + 3}, \end{aligned}\]

если \(f(x)\) – некоторая функция, определённая всюду на \(\mathbb{R}\).

Добавить задание в избранное

ОДЗ: \(x \neq -3\). Решим на ОДЗ:
\(7x = 21\).
\(x = 3\) – подходит по ОДЗ.

Ответ: 3

Задание 27
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Найдите корень уравнения

\[\begin{aligned} 3\psi^2(\sqrt{e}x) - 5\psi(\sqrt{e}x) - 2 = 0, \end{aligned}\]

если \(\psi(z)\) – некоторая функция, определённая всюду, кроме \(z = 1\), область значений которой – множество не положительных чисел, причём \(\psi(z) = -\dfrac{1}{3}\) при \(z = -\sqrt{e}\) и при \(z = 2\sqrt{e}\). Если уравнение имеет несколько корней, в ответ запишите больший из них.

Добавить задание в избранное

ОДЗ: \(\sqrt{e}x \neq 1\), что равносильно \(x\neq \dfrac{1}{\sqrt{e}}\). Решим на ОДЗ:   Сделаем замену \(\psi(\sqrt{e}x) = t\), тогда исходное уравнение примет вид \[3t^2 - 5t - 2 = 0.\] Дискриминант \(D = 25 + 24 = 49\), тогда корни \[t_1 = \dfrac{5 + 7}{6} = 2, \ t_2 = \dfrac{5 - 7}{6} = -\dfrac{1}{3}.\] Тогда \(\psi(\sqrt{e}x) = 2\) или \(\psi(\sqrt{e}x) = -\dfrac{1}{3}\), но по условию \(\psi(z)\) может принимать только не положительные значения, следовательно, \(\psi(\sqrt{e}x) = 2 > 0\) быть не может.

 

Так как \(\psi(z) = -\dfrac{1}{3}\) по условию выполняется при \(z = -\sqrt{e}\) и при \(z = 2\sqrt{e}\), то   у исходного уравнения два корня \(\sqrt{e}x_1 = -\sqrt{e}\), \(\sqrt{e}x_2 = 2\sqrt{e}\), то есть \(x_1 = -1\), \(x_2 = 2\). Больший из корней: \(x = 2\).

Ответ: 2

Задание 28
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Укажите в ответе сумму квадратов корней уравнения \(2x^2+\sqrt{57}x+7=0\), если они есть, и \(0\), если уравнение не имеет корней.

Добавить задание в избранное

Т.к. \(D=57-4\cdot 2\cdot 7=1>0\), то уравнение имеет корни.

 

1 способ.
Пусть \(a\) и \(b\) – корни уравнения. Тогда \(a+b=-\dfrac{\sqrt{57}}2\), \(ab=\dfrac72\). \[a^2+b^2=a^2+2ab+b^2-2ab=(a+b)^2-2ab \quad\Rightarrow\quad a^2+b^2= \left(-\dfrac{\sqrt{57}}2\right)^2-2\cdot \dfrac72=\dfrac{57}4-7=7,25.\]

2 способ.
Корни уравнения \[x_1=\dfrac{-\sqrt{57}-1}4\qquad\text{и}\qquad x_2=\dfrac{-\sqrt{57}+1}4\] Тогда \[\begin{aligned} &x_1^2= \left(\dfrac{-\sqrt{57}-1}4\right)^2=\dfrac{57+2\sqrt{57}+1}{16}\\[2ex] &x_2^2=\left(\dfrac{-\sqrt{57}+1}4\right)^2=\dfrac{57-2\sqrt{57}+1}{16}\\[2ex] &\Rightarrow \quad x_1^2+x_2^2=\dfrac{57+2\sqrt{57}+1}{16}+\dfrac{57-2\sqrt{57}+1}{16}=7,25. \end{aligned}\]
Заметим, что первый способ вычислительно проще.

Ответ: 7,25

1 .... 3 4 5