Математика ЕГЭ
Русский язык ЕГЭ
Математика 5-7
Математика ОГЭ
Информатика
Физика
Обществознание
Кликните, чтобы открыть меню

5. Решение уравнений

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Показательные уравнения (с неизвестной в показателе степени) (страница 3)

Показательное уравнение – уравнение, содержащее переменную \(x\) в показателе степени.

 

\(\blacktriangleright\) Выражение \(a^n\) называется степенью, \(a\) – основанием степени, \(n\) – показателем степени.

 

\(\blacktriangleright\) Стандартное показательное уравнение:

\[\large{{a^{f(x)}=a^{g(x)}} \quad \Leftrightarrow \quad f(x)=g(x)}\] где \(a>0, a\ne 1\).

 

\(\blacktriangleright\) Основные формулы:

\[\large{\begin{array}{|ll|} \hline a^0=1 &a^1=a\\ a^{nm}=(a^n)^m &a^n\cdot a^m=a^{n+m}\\ \dfrac{a^n}{a^m}=a^{n-m}&a^{-n}=\dfrac{1}{a^n}\\ a^n\cdot b^n=(a\cdot b)^n &\\ a^{\frac{k}{r}}=\sqrt[r]{a^k} \qquad \qquad \qquad \qquad& \dfrac{a^n}{b^n}=\left(\dfrac{a}{b}\right)^n\\&\\ a,b>0, \ \ k\in \mathbb{Z},& r\in\mathbb{N}, \ m,n\in\mathbb{R}\\ \hline \end{array}}\]

Задание 15 #402
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите корень уравнения \(\left(\dfrac{1}{9}\right)^{6x - 3} = 729\).

ОДЗ: \(x\) – произвольное. Решим на ОДЗ:

Исходное уравнение есть \[\left(\dfrac{1}{9}\right)^{6x - 3} = \left(\dfrac{1}{9}\right)^{-3},\] оно имеет стандартный вид и равносильно \(6x - 3 = -3\), что равносильно \(x = 0\) – подходит по ОДЗ.

Ответ: 0

Задание 16 #403
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите корень уравнения \(\left(\dfrac{1}{5}\right)^{x - 3} = 25^{x}\).

ОДЗ: \(x\) – произвольное. Решим на ОДЗ:

Исходное уравнение есть \[\left(\dfrac{1}{5}\right)^{x - 3} = \left(\dfrac{1}{5}\right)^{-2x},\] оно имеет стандартный вид и равносильно \(x - 3 = -2x\), что равносильно \(x = 1\) – подходит по ОДЗ.

Ответ: 1

Задание 17 #2817
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Решите уравнение \[4^{x + 1} = 0,25\cdot 4^{-x}\]

Исходное уравнение равносильно уравнению \[4^{x + 1} = 4^{-1}\cdot 4^{-x}\quad\Leftrightarrow\quad 4^{x + 1} = 4^{-1 - x}\quad\Leftrightarrow\quad x + 1 = -1 - x\quad\Leftrightarrow\quad x = -1\,.\]

Ответ: -1

Задание 18 #389
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите корень уравнения \((\sqrt{2})^{4x - 3} = 2\).

ОДЗ: \(x\) – произвольное. Решим на ОДЗ:

Исходное уравнение есть \((\sqrt{2})^{4x - 3} = (\sqrt{2})^2\), оно имеет стандартный вид и равносильно \(4x - 3 = 2\), что равносильно \(x = 1,25\) – подходит по ОДЗ.

Ответ: 1,25

Задание 19 #404
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите корень уравнения \(0,25 \cdot 6^{x + 1} = 3^{x + 1}\).

ОДЗ: \(x\) – произвольное. Решим на ОДЗ:

Разделим левую и правую часть уравнения на \(3^{x + 1}\): \[0,25 \cdot 2^{x + 1} = 1\qquad\Leftrightarrow\qquad 2^{x + 1} = 2^2.\] Последнее уравнение имеет стандартный вид и равносильно \(x + 1 = 2\), что равносильно \(x = 1\) – подходит по ОДЗ.

Ответ: 1

Задание 20 #406
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите корень уравнения \(0,3 \cdot 10^{4 - 5x} = 3^{4 - 5x}\).

ОДЗ: \(x\) – произвольное. Решим на ОДЗ:

Разделим левую и правую часть уравнения на \(3^{4 - 5x}\): \[0,3 \cdot \left(\dfrac{10}{3}\right)^{4 - 5x} = 1\qquad\Leftrightarrow\qquad \left(\dfrac{10}{3}\right)^{4 - 5x} = \left(\dfrac{10}{3}\right)^1.\] Последнее уравнение имеет стандартный вид и равносильно \(4 - 5x = 1\), что равносильно \(x = 0,6\) – подходит по ОДЗ.

Ответ: 0,6

Задание 21 #2011
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите корень уравнения \(0,2 \cdot 15^{3 - 2x} = 3^{3 - 2x}\).

ОДЗ: \(x\) – произвольное. Решим на ОДЗ:

Разделим левую и правую часть уравнения на \(3^{3 - 2x}\): \[0,2 \cdot 5^{3 - 2x} = 1\qquad\Leftrightarrow\qquad 5^{3 - 2x} = 5^1\] Последнее уравнение имеет стандартный вид и равносильно \(3 - 2x = 1\), что равносильно \(x = 1\) – подходит по ОДЗ.

Ответ: 1