Найдите корень уравнения \(\dfrac{1}{x^2 - 65} = -1\). Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите меньший из них.
ОДЗ: \(x \neq \pm \sqrt{65}\). Решим на ОДЗ:
Перенесём всё влево и приведём к общему знаменателю: \[\dfrac{1 + 1\cdot(x^2 - 65)}{x^2 - 65} = 0.\] Дробь равна нулю в том и только том случае, когда её числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля, тогда \(1 + 1\cdot(x^2 - 65) = 0\), что равносильно \(x^2 = 64\), откуда \(x = \pm 8\) – подходят по ОДЗ. Ответ: \(x = -8\) – меньший корень.
Ответ: -8