Математика ЕГЭ
Русский язык ЕГЭ
Математика 5-7
Математика ОГЭ
Физика
Кликните, чтобы открыть меню

5. Решение уравнений

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Рациональные уравнения (страница 2)

Рациональное (дробное) уравнение – уравнение вида \(\dfrac{P(x)}{Q(x)}=0\), где \(P(x)\) и \(Q(x)\) – многочлены.

 

I. Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель при этом не теряет смысла.
Таким образом, рациональное уравнение

\[\large{ \dfrac{P(x)}{Q(x)}=0 \quad \Leftrightarrow\quad \begin{cases} P(x)=0\\ Q(x)\ne 0 \end{cases} }\]

II. Произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из них равен нулю, а второй при этом не теряет смысла.
Таким образом, \({\color{blue}{\text{на общей ОДЗ функций }P(x) \text{ и } Q(x)}}\) уравнение

\[\large{P(x)\cdot Q(x)=0 \quad \Leftrightarrow \quad \left[ \begin{gathered} \begin{aligned} &P(x)=0\\ &Q(x)=0 \end{aligned} \end{gathered} \right.}\]

Задание 8 #355
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите корень уравнения \(\dfrac{1}{x^2 - 65} = -1\). Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите меньший из них.

Добавить задание в избранное

ОДЗ: \(x \neq \pm \sqrt{65}\). Решим на ОДЗ:

Перенесём всё влево и приведём к общему знаменателю: \[\dfrac{1 + 1\cdot(x^2 - 65)}{x^2 - 65} = 0.\] Дробь равна нулю в том и только том случае, когда её числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля, тогда \(1 + 1\cdot(x^2 - 65) = 0\), что равносильно \(x^2 = 64\), откуда \(x = \pm 8\) – подходят по ОДЗ. Ответ: \(x = -8\) – меньший корень.

Ответ: -8

Задание 9 #349
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите корень уравнения \(\dfrac{12 + 0,3x}{1 + 0,1x} = 7\).

Добавить задание в избранное

ОДЗ: \(x \neq -10\). Решим на ОДЗ:

Перенесём всё влево и приведём к общему знаменателю: \[\dfrac{12 + 0,3x - 7 - 0,7x}{1 + 0,1x} = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad\dfrac{-0,4x + 5}{1 + 0,1x} = 0.\] Дробь равна нулю в том и только том случае, когда её числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля, тогда \(x = 12,5\) – подходит по ОДЗ.

Ответ: 12,5

Задание 10 #2010
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите корень уравнения \(\dfrac{1}{x^2 - 2x + 2} = 1\). Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите меньший из них.

Добавить задание в избранное

ОДЗ: \(x^2 - 2x + 2 \neq 0\). Решим на ОДЗ:

Перенесём всё влево и приведём к общему знаменателю: \[\dfrac{1 - 1\cdot(x^2 - 2x + 2)}{x^2 - 2x + 2} = 0.\] Дробь равна нулю в том и только том случае, когда её числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля, тогда \(1 - 1\cdot(x^2 - 2x + 2) = 0\), что равносильно \(x^2 - 2x + 1 = 0\), откуда \(x = 1\) – подходит по ОДЗ. Ответ: \(x = 1\).

Ответ: 1

Задание 11 #359
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите корень уравнения \(\dfrac{17x}{4x^2 + 4} = 1\). Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите больший из них.

Добавить задание в избранное

ОДЗ: \(4x^2 + 4 \neq 0\). Решим на ОДЗ:

Перенесём всё влево и приведём к общему знаменателю: \[\dfrac{17x - 1\cdot(4x^2 + 4)}{4x^2 + 4} = 0.\] Дробь равна нулю в том и только том случае, когда её числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля, тогда \(17x - 1\cdot(4x^2 + 4) = 0\), что равносильно \(4x^2 - 17x + 4 = 0\).

Дискриминант \[D = 289 - 64 = 225 = 15^2.\] Корни \[x_1 = \dfrac{17 + 15}{8} = 4, x_2 = \dfrac{17 - 15}{8} = 0,25\] – подходят по ОДЗ. Больший из корней равен \(4\).

Ответ: 4

Задание 12 #357
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите корень уравнения \(\dfrac{1}{x^2 - 5x + 3} = -1\). Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите больший из них.

Добавить задание в избранное

ОДЗ: \(x^2 - 5x + 3 \neq 0\). Решим на ОДЗ:

Перенесём всё влево и приведём к общему знаменателю: \[\dfrac{1 + 1\cdot(x^2 - 5x + 3)}{x^2 - 5x + 3} = 0.\] Дробь равна нулю в том и только том случае, когда её числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля, тогда \(1 + 1\cdot(x^2 - 5x + 3) = 0\), что равносильно \(x^2 - 5x + 4 = 0\), откуда \(x_1 = 1, \ x_2 = 4\) – подходят по ОДЗ. Ответ: больший корень \(x = 4\).

Ответ: 4

Задание 13 #358
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите корень уравнения \(\dfrac{-1}{x^2 - 12x - 25} = -\dfrac{1}{3}\). Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите меньший из них.

Добавить задание в избранное

ОДЗ: \(x^2 - 12x - 25 \neq 0\). Решим на ОДЗ:

Умножим уравнение на \(-3\), затем перенесём всё влево и приведём к общему знаменателю: \[\dfrac{3 - (x^2 - 12x - 25)}{x^2 - 12x - 25} = 0.\] Дробь равна нулю в том и только том случае, когда её числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля, тогда \(3 - (x^2 - 12x - 25) = 0\), что равносильно \(x^2 - 12x - 28 = 0\), откуда \(x_1 = 14, \ x_2 = -2\) – подходят по ОДЗ. Ответ: меньший корень \(x = -2\).

Ответ: -2

Задание 14 #351
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите корень уравнения \(\dfrac{-3 - 5x}{x - 5} = 2x\). Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите меньший из них.

Добавить задание в избранное

ОДЗ: \(x \neq 5\). Решим на ОДЗ:

Перенесём всё влево и приведём к общему знаменателю: \[\dfrac{-3 - 5x - 2x\cdot(x - 5)}{x - 5} = 0.\] Дробь равна нулю в том и только том случае, когда её числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля, тогда \(-3 - 5x - 2x\cdot(x - 5) = 0\), что равносильно \(2x^2 - 5x + 3 = 0\).

Дискриминант данного уравнения \(D = 1\). Корни квадратного уравнения \(x_1 = 1, \ x_2 = 1,5\) – подходят по ОДЗ. Ответ: \(x = 1\) – наименьший корень.

Ответ: 1

1 2 3