Тригонометрическое уравнение – уравнение, содержащее переменную \(x\) в аргументе одной или нескольких тригонометрических функций: синус, косинус, тангенс, котангенс.
\(\bullet\) Стандартные тригонометрические уравнения:
\[\begin{array}{l|c|c}
\hline \text{Уравнение} & \text{Ограничения} & \text{Решение}\\
\hline &&\\
\sin x=a & -1\leq a\leq 1 & \left[
\begin{gathered}
\begin{aligned}
&x=\arcsin a+2\pi n\\
&x=\pi -\arcsin a+2\pi m
\end{aligned}
\end{gathered}
\right. \ \ , \ n,m\in \mathbb{Z}\\&&\\
\hline &&\\
\cos x=a & -1\leq a\leq 1 & x=\pm \arccos a+2\pi n, \ n\in
\mathbb{Z}\\&&\\
\hline &&\\
\mathrm{tg}\, x=a & a\in \mathbb{R} & x=\mathrm{arctg}\, a+\pi n, \
n\in
\mathbb{Z}\\&&\\
\hline &&\\
\mathrm{ctg}\,x=a & a\in \mathbb{R} & x=\mathrm{arcctg}\, a+\pi n, \
n\in
\mathbb{Z}\\&&\\
\hline
\end{array}\]
\(\bullet\) Таблица синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов:
\[{\large{\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}
\hline &&&&&\\[-17pt]
& \quad 0 \quad (0^ \circ)& \quad \dfrac{\pi}6 \quad (30^\circ)
& \quad \dfrac{\pi}4
\quad (45^\circ) & \quad \dfrac{\pi}3 \quad (60^\circ)& \quad \dfrac{\pi}2 \quad
(90^\circ) \\
&&&&&\\[-17pt]
\hline \sin & 0 &\frac12&\frac{\sqrt2}2&\frac{\sqrt3}2&1\\[4pt]
\hline \cos &1&\frac{\sqrt3}2&\frac{\sqrt2}2&\frac12&0\\[4pt]
\hline \mathrm{tg} &0 &\frac{\sqrt3}3&1&\sqrt3&\infty\\[4pt]
\hline \mathrm{ctg} &\infty &\sqrt3&1&\frac{\sqrt3}3&0\\[4pt]
\hline
\end{array}}}\]
\(\bullet\) Основные формулы приведения:
\[\begin{aligned}
&\sin \left(\dfrac{\pi}2\pm x\right)=\cos x\\[2pt]
&\sin (\pi\pm x)=\mp \sin x\\[2pt]
&\cos \left(\dfrac{\pi}2 \pm x\right)=\pm \sin x\\[2pt]
&\cos(\pi \pm x)=-\cos x
\end{aligned}\]
Формулы приведения для тангенса и котангенса легко вывести, зная, что \[\mathrm{tg}\,x=\dfrac{\sin x}{\cos x} \quad \text{и} \quad \mathrm{ctg}\,x=
\dfrac{\cos x}{\sin x}\]
\(\bullet\) Четность косинуса и нечетность синуса, тангенса и котангенса:
\[\begin{aligned}
\cos(-x)&=\cos x\\
\sin (-x)&=-\sin x\\
\mathrm{tg}\,(-x)&=-\mathrm{tg}\,x\\
\mathrm{ctg}\,(-x)&=-\mathrm{ctg}\,x
\end{aligned}\]
