Математика ЕГЭ
Русский язык ЕГЭ
Математика 5-7
Математика ОГЭ
Физика
Кликните, чтобы открыть меню

5. Решение уравнений

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Тригонометрические уравнения (страница 4)

Тригонометрическое уравнение – уравнение, содержащее переменную \(x\) в аргументе одной или нескольких тригонометрических функций: синус, косинус, тангенс, котангенс.

 

\(\bullet\) Стандартные тригонометрические уравнения:
\[\begin{array}{l|c|c} \hline \text{Уравнение} & \text{Ограничения} & \text{Решение}\\ \hline &&\\ \sin x=a & -1\leq a\leq 1 & \left[ \begin{gathered} \begin{aligned} &x=\arcsin a+2\pi n\\ &x=\pi -\arcsin a+2\pi m \end{aligned} \end{gathered} \right. \ \ , \ n,m\in \mathbb{Z}\\&&\\ \hline &&\\ \cos x=a & -1\leq a\leq 1 & x=\pm \arccos a+2\pi n, \ n\in \mathbb{Z}\\&&\\ \hline &&\\ \mathrm{tg}\, x=a & a\in \mathbb{R} & x=\mathrm{arctg}\, a+\pi n, \ n\in \mathbb{Z}\\&&\\ \hline &&\\ \mathrm{ctg}\,x=a & a\in \mathbb{R} & x=\mathrm{arcctg}\, a+\pi n, \ n\in \mathbb{Z}\\&&\\ \hline \end{array}\]  

\(\bullet\) Таблица синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов:
\[{\large{\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline &&&&&\\[-17pt] & \quad 0 \quad (0^ \circ)& \quad \dfrac{\pi}6 \quad (30^\circ) & \quad \dfrac{\pi}4 \quad (45^\circ) & \quad \dfrac{\pi}3 \quad (60^\circ)& \quad \dfrac{\pi}2 \quad (90^\circ) \\ &&&&&\\[-17pt] \hline \sin & 0 &\frac12&\frac{\sqrt2}2&\frac{\sqrt3}2&1\\[4pt] \hline \cos &1&\frac{\sqrt3}2&\frac{\sqrt2}2&\frac12&0\\[4pt] \hline \mathrm{tg} &0 &\frac{\sqrt3}3&1&\sqrt3&\infty\\[4pt] \hline \mathrm{ctg} &\infty &\sqrt3&1&\frac{\sqrt3}3&0\\[4pt] \hline \end{array}}}\]  

\(\bullet\) Основные формулы приведения:

\[\begin{aligned} &\sin \left(\dfrac{\pi}2\pm x\right)=\cos x\\[2pt] &\sin (\pi\pm x)=\mp \sin x\\[2pt] &\cos \left(\dfrac{\pi}2 \pm x\right)=\pm \sin x\\[2pt] &\cos(\pi \pm x)=-\cos x \end{aligned}\]

Формулы приведения для тангенса и котангенса легко вывести, зная, что \[\mathrm{tg}\,x=\dfrac{\sin x}{\cos x} \quad \text{и} \quad \mathrm{ctg}\,x= \dfrac{\cos x}{\sin x}\]  

\(\bullet\) Четность косинуса и нечетность синуса, тангенса и котангенса:

\[\begin{aligned} \cos(-x)&=\cos x\\ \sin (-x)&=-\sin x\\ \mathrm{tg}\,(-x)&=-\mathrm{tg}\,x\\ \mathrm{ctg}\,(-x)&=-\mathrm{ctg}\,x \end{aligned}\]

Задание 22 #455
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Найдите корень уравнения \[\mathrm{tg}{\biggl(\dfrac{\pi}{13} x\biggr)} = \mathrm{tg}{\biggl(\dfrac{4\pi}{13}\biggr)}.\] Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите меньший из его положительных корней.

Добавить задание в избранное

ОДЗ: \(\dfrac{\pi}{13} x \neq \dfrac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}\). Решим на ОДЗ:

Решение уравнения \(\mathrm{tg}\, x = a\) имеет вид: \(x = \mathrm{arctg}\, a + \pi n, n \in \mathbb{Z}\), откуда для исходного уравнения получаем \[\dfrac{\pi}{13} x = \dfrac{4\pi}{13} + \pi n, n \in \mathbb{Z},\] что равносильно \(x = 4 + 13n, n \in \mathbb{Z}\) – подходят по ОДЗ. Среди корней наименьший положительный \(x = 4\).

Ответ: 4

Задание 23 #448
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Найдите корень уравнения \[\cos{\biggl(\dfrac{\pi}{7} x\biggr)} = \cos\left(\dfrac{8\pi}{7}\right).\] Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите больший из его отрицательных корней.

Добавить задание в избранное

ОДЗ: \(x\) – произвольное. Решим на ОДЗ:

Решение уравнения \(\cos x = a\) имеет вид: \(x = \pm \mathrm{arccos}\, a + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}\). Так как \[\mathrm{arccos}\left(\cos\left(\dfrac{8\pi}{7}\right)\right) = \mathrm{arccos}\left(\cos\left(\dfrac{8\pi}{7} - 2\pi\right)\right) = \mathrm{arccos}\left(\cos\left(-\dfrac{6\pi}{7}\right)\right) = \mathrm{arccos}\left(\cos\left(\dfrac{6\pi}{7}\right)\right) = \dfrac{6\pi}{7},\] то для исходного уравнения получаем \[\dfrac{\pi}{7} x = \pm \dfrac{6\pi}{7} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z},\] что равносильно \(x = \pm 6 + 14n, n \in \mathbb{Z}\) – подходят по ОДЗ. Среди корней наибольший отрицательный \(x = -6\) при \(n = 0\).

Ответ: -6

Задание 24 #456
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Найдите корень уравнения \[\mathrm{ctg}{\biggl(\dfrac{\pi}{4} x\biggr)} = \mathrm{ctg}\left(\dfrac{\pi}{8}\right).\] Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите меньший из его положительных корней.

Добавить задание в избранное

ОДЗ: \(\dfrac{\pi}{4} x \neq \pi k, k \in \mathbb{Z}\). Решим на ОДЗ:

Решение уравнения \(\mathrm{ctg}\, x = a\) имеет вид: \(x = \mathrm{arcctg}\, a + \pi n, n \in \mathbb{Z}\), откуда для исходного уравнения получаем \[\dfrac{\pi}{4} x = \dfrac{\pi}{8} + \pi n, n \in \mathbb{Z},\] что равносильно \(x = 0,5 + 4n, n \in \mathbb{Z}\) – подходят по ОДЗ. Среди корней наименьший положительный \(x = 0,5\).

Ответ: 0,5

Задание 25 #457
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Найдите корень уравнения \[\mathrm{tg}{\biggl(\dfrac{\pi}{17} x\biggr)} = \mathrm{tg}{\biggl(\dfrac{22\pi}{17}\biggr)}.\] Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите больший из его не положительных корней.

Добавить задание в избранное

ОДЗ: \(\dfrac{\pi}{17} x \neq \dfrac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}\). Решим на ОДЗ:

Решение уравнения \(\mathrm{tg}\, x = a\) имеет вид: \(x = \mathrm{arctg}\, a + \pi n, n \in \mathbb{Z}\). Так как \[\mathrm{arctg}\left(\mathrm{tg}{\left(\dfrac{22\pi}{17}\right)}\right) = \mathrm{arctg}\left(\mathrm{tg}{\left(\dfrac{22\pi}{17} - \pi\right)}\right) = \mathrm{arctg}\left(\mathrm{tg}{\left(\dfrac{5\pi}{17}\right)}\right) = \dfrac{5\pi}{17},\] то для исходного уравнения получаем \[\dfrac{\pi}{17} x = \dfrac{5\pi}{17} + \pi n, n \in \mathbb{Z},\] что равносильно \(x = 5 + 17n, n \in \mathbb{Z}\) – подходят по ОДЗ. Среди корней наибольший не положительный \(x = -12\).

Ответ: -12

Задание 26 #458
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Найдите корень уравнения \[\mathrm{ctg}{\biggl(\dfrac{2\pi}{9} x\biggr)} = \mathrm{ctg}\left(\dfrac{5\pi}{9}\right).\] Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите меньший из его положительных корней.

Добавить задание в избранное

ОДЗ: \(\dfrac{2\pi}{9} x \neq \pi k, k \in \mathbb{Z}\). Решим на ОДЗ:

Решение уравнения \(\mathrm{ctg}\, x = a\) имеет вид: \(x = \mathrm{arcctg}\, a + \pi n, n \in \mathbb{Z}\), тогда для исходного уравнения получаем \[\dfrac{2\pi}{9} x = \dfrac{5\pi}{9} + \pi n, n \in \mathbb{Z},\] что равносильно \(x = 2,5 + 4,5n, n \in \mathbb{Z}\) – подходят по ОДЗ. Среди корней наименьший положительный \(x = 2,5\).

Ответ: 2,5

Задание 27 #2176
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Решите уравнение \(\sin 4x-\dfrac{\sqrt3}2=0\).

В ответ запишите сумму корней, принадлежащих отрезку \(\left[0;\dfrac{\pi}2\right]\), деленную на \(\pi\).

Добавить задание в избранное

Сделаем замену: \(4x=y\). Тогда уравнение принимает вид простейшего уравнения:

\[\sin y=\dfrac{\sqrt3}2 \quad \Rightarrow \quad \left[ \begin{gathered} \begin{aligned} &y=\dfrac{\pi}3+2\pi n, n\in\mathbb{Z}\\ &y=\pi - \dfrac{\pi}3+2\pi k, k\in\mathbb{Z} \end{aligned} \end{gathered} \right.\]

Сделаем обратную замену:

\[\left[ \begin{gathered} \begin{aligned} &4x=\dfrac{\pi}3+2\pi n, n\in\mathbb{Z}\\ &4x=\dfrac{2\pi}3+2\pi k, k\in\mathbb{Z} \end{aligned} \end{gathered} \right. \quad \Rightarrow \quad \left[ \begin{gathered} \begin{aligned} &x_1=\dfrac{\pi}{12}+\dfrac{\pi}2 n, n\in\mathbb{Z}\\ &x_2=\dfrac{\pi}6+\dfrac{\pi}2 k, k\in\mathbb{Z} \end{aligned} \end{gathered} \right.\]

Заметим, что из первой серии корней \(x_1=\dfrac{\pi}{12}+\dfrac{\pi}2 n, n\in\mathbb{Z}\) в промежуток \(\left[0;\dfrac{\pi}2\right]\) попадает только корень \(x=\dfrac{\pi}{12}\) при \(n=0\).

 

Из второй серии корней \(x_2=\dfrac{\pi}6+\dfrac{\pi}2 k, k\in\mathbb{Z}\) в промежуток \(\left[0;\dfrac{\pi}2\right]\) попадает только корень \(x=\dfrac{\pi}6\) при \(k=0\).

 

Сумма этих корней равна \[\dfrac{\pi}{12}+\dfrac{\pi}6=\dfrac{\pi}4\]

Следовательно, в ответ пойдет \(\dfrac{\pi}4\div \pi=\dfrac14=0,25\).

Ответ: 0,25

Задание 28 #2177
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Решите уравнение \(2\cos \left(\dfrac{\pi}4-3x\right)=\sqrt2\).

 

В ответе укажите произведение корней, входящих в промежуток \(\left(-\dfrac{\pi}2;\dfrac{\pi}2\right)\), деленное на \(\pi^2\).

Добавить задание в избранное

Т.к. косинус – четная функция, то \(\cos(-x)=\cos x\), следовательно, \(\cos \left(\dfrac{\pi}4-3x\right)=\cos\left(3x-\dfrac{\pi}4\right)\).

 

Сделаем замену: \(3x-\dfrac{\pi}4=y\). Тогда уравнение принимает вид простейшего уравнения:

\[\cos y=\dfrac{\sqrt2}2 \quad \Leftrightarrow \quad \left[ \begin{gathered} \begin{aligned} &y=\dfrac{\pi}4+2\pi k, k\in\mathbb{Z}\\ &y=-\dfrac{\pi}4+2\pi n, n\in\mathbb{Z} \end{aligned} \end{gathered} \right.\]

Сделаем обратную замену:

\[\left[ \begin{gathered} \begin{aligned} &3x-\dfrac{\pi}4=\dfrac{\pi}4+2\pi k, k\in\mathbb{Z}\\ &3x-\dfrac{\pi}4=-\dfrac{\pi}4+2\pi n, n\in\mathbb{Z} \end{aligned} \end{gathered} \right. \quad \Rightarrow \quad \left[ \begin{gathered} \begin{aligned} &3x=\dfrac{\pi}2+2\pi k, k\in\mathbb{Z}\\ &3x=2\pi n, n\in\mathbb{Z} \end{aligned} \end{gathered} \right. \quad \Rightarrow \quad \left[ \begin{gathered} \begin{aligned} &x_1=\dfrac{\pi}6+\dfrac{2\pi}3 k, k\in\mathbb{Z}\\ &x_2=\dfrac{2\pi}3 n, n\in\mathbb{Z} \end{aligned} \end{gathered} \right.\]

Из первой серии корней \(x_1=\dfrac{\pi}6+\dfrac{2\pi}3 k, k\in\mathbb{Z}\) в промежуток \(\left(-\dfrac{\pi}2;\dfrac{\pi}2\right)\) попадает только корень \(\dfrac{\pi}6\) при \(k=0\).

 

Из второй серии корней \(x_2=\dfrac{2\pi}3 n, n\in\mathbb{Z}\) в промежуток \(\left(-\dfrac{\pi}2;\dfrac{\pi}2\right)\) попадает только корень \(0\) при \(n=0\).

 

Следовательно, произведение этих корней равно \(\dfrac{\pi}6\cdot 0=0\).

Ответ: 0

1 .... 3 4 5