Решите уравнение \(\sqrt3\mathrm{tg}\,\left(\dfrac16x+\dfrac{\pi}3\right)-1=0\).
В ответе укажите наименьший положительный корень, деленный на \(\pi\).
Данное уравнение преобразуется в \[\mathrm{tg}\,\left(\dfrac16x+\dfrac{\pi}3\right)=\dfrac1{\sqrt3}\]
Заметим, что \(\dfrac1{\sqrt3}=\dfrac{\sqrt3}3\). Сделаем замену \(\dfrac16x+\dfrac{\pi}3=y\). Тогда уравнение примет вид простейшего уравнения:
\[\mathrm{tg}\,y=\dfrac{\sqrt3}3 \quad \Rightarrow \quad y=\dfrac{\pi}6+\pi n, n\in\mathbb{Z}\]
Сделаем обратную замену:
\[\dfrac16x+\dfrac{\pi}3=\dfrac{\pi}6+\pi n, n\in\mathbb{Z}\quad \Rightarrow \quad \dfrac16x=-\dfrac{\pi}6+\pi n, n\in\mathbb{Z} \quad \Rightarrow \quad x=-\pi+6\pi n, n\in\mathbb{Z}\]
Заметим, что из данной серии корней при \(n=0\) получается корень \(x=-\pi\), который отрицательный, то есть не подходит нам. А вот уже при \(n=1\) мы получаем положительный корень \(x=5\pi\). При \(n\geqslant 2\) корни будут больше \(5\pi\), а при \(n\leqslant -1\) – меньше \(-\pi\). Следовательно, \(5\pi\) – наименьший положительный корень.
Следовательно, в ответ нужно записать \(5\pi\div \pi=5\).
Ответ: 5