Математика ЕГЭ
Русский язык ЕГЭ
Математика 5-7
Математика ОГЭ
Кликните, чтобы открыть меню

5. Решение уравнений

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Тригонометрические уравнения (страница 5)

Тригонометрическое уравнение – уравнение, содержащее переменную \(x\) в аргументе одной или нескольких тригонометрических функций: синус, косинус, тангенс, котангенс.

 

\(\bullet\) Стандартные тригонометрические уравнения:
\[\begin{array}{l|c|c} \hline \text{Уравнение} & \text{Ограничения} & \text{Решение}\\ \hline &&\\ \sin x=a & -1\leq a\leq 1 & \left[ \begin{gathered} \begin{aligned} &x=\arcsin a+2\pi n\\ &x=\pi -\arcsin a+2\pi m \end{aligned} \end{gathered} \right. \ \ , \ n,m\in \mathbb{Z}\\&&\\ \hline &&\\ \cos x=a & -1\leq a\leq 1 & x=\pm \arccos a+2\pi n, \ n\in \mathbb{Z}\\&&\\ \hline &&\\ \mathrm{tg}\, x=a & a\in \mathbb{R} & x=\mathrm{arctg}\, a+\pi n, \ n\in \mathbb{Z}\\&&\\ \hline &&\\ \mathrm{ctg}\,x=a & a\in \mathbb{R} & x=\mathrm{arcctg}\, a+\pi n, \ n\in \mathbb{Z}\\&&\\ \hline \end{array}\]  

\(\bullet\) Таблица синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов:
\[{\large{\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline &&&&&\\[-17pt] & \quad 0 \quad (0^ \circ)& \quad \dfrac{\pi}6 \quad (30^\circ) & \quad \dfrac{\pi}4 \quad (45^\circ) & \quad \dfrac{\pi}3 \quad (60^\circ)& \quad \dfrac{\pi}2 \quad (90^\circ) \\ &&&&&\\[-17pt] \hline \sin & 0 &\frac12&\frac{\sqrt2}2&\frac{\sqrt3}2&1\\[4pt] \hline \cos &1&\frac{\sqrt3}2&\frac{\sqrt2}2&\frac12&0\\[4pt] \hline \mathrm{tg} &0 &\frac{\sqrt3}3&1&\sqrt3&\infty\\[4pt] \hline \mathrm{ctg} &\infty &\sqrt3&1&\frac{\sqrt3}3&0\\[4pt] \hline \end{array}}}\]  

\(\bullet\) Основные формулы приведения:

\[\begin{aligned} &\sin \left(\dfrac{\pi}2\pm x\right)=\cos x\\[2pt] &\sin (\pi\pm x)=\mp \sin x\\[2pt] &\cos \left(\dfrac{\pi}2 \pm x\right)=\pm \sin x\\[2pt] &\cos(\pi \pm x)=-\cos x \end{aligned}\]

Формулы приведения для тангенса и котангенса легко вывести, зная, что \[\mathrm{tg}\,x=\dfrac{\sin x}{\cos x} \quad \text{и} \quad \mathrm{ctg}\,x= \dfrac{\cos x}{\sin x}\]  

\(\bullet\) Четность косинуса и нечетность синуса, тангенса и котангенса:

\[\begin{aligned} \cos(-x)&=\cos x\\ \sin (-x)&=-\sin x\\ \mathrm{tg}\,(-x)&=-\mathrm{tg}\,x\\ \mathrm{ctg}\,(-x)&=-\mathrm{ctg}\,x \end{aligned}\]

Задание 29 #2178
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Решите уравнение \(\sqrt3\mathrm{tg}\,\left(\dfrac16x+\dfrac{\pi}3\right)-1=0\).

 

В ответе укажите наименьший положительный корень, деленный на \(\pi\).

Решение скрыто, так как задача находится в активном домашнем задании марафона.

Подключиться к марафону можно тут: Марафон Школково - ВКонтакте

Решение будет опубликовано 28.03.2019 в 09:00

Задание 30 #459
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Найдите корень уравнения \[\mathrm{tg}{\biggl(\dfrac{\sqrt{e}}{8} x\biggr)} = \mathrm{tg}{\biggl(\dfrac{-\sqrt{e}}{4}\biggr)}.\] Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите больший из его не положительных корней.

Решение скрыто, так как задача находится в активном домашнем задании марафона.

Подключиться к марафону можно тут: Марафон Школково - ВКонтакте

Решение будет опубликовано 28.03.2019 в 09:00

Задание 31 #450
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Найдите корень уравнения \[\cos{\biggl(\dfrac{\pi\sqrt{2}}{3} x\biggr)} = \cos{\biggl(\dfrac{0,3\pi\sqrt{2}}{3}\biggr)}.\] Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите меньший из его положительных корней.

Решение скрыто, так как задача находится в активном домашнем задании марафона.

Подключиться к марафону можно тут: Марафон Школково - ВКонтакте

Решение будет опубликовано 28.03.2019 в 09:00

Задание 32 #449
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Найдите корень уравнения \[\sin{\biggl(\dfrac{\pi\sqrt{\pi}}{22} x\biggr)} = \sin{\biggl(\dfrac{-0,1\pi\sqrt{\pi}}{22}\biggr)}.\] Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите больший из его не положительных корней.

Решение скрыто, так как задача находится в активном домашнем задании марафона.

Подключиться к марафону можно тут: Марафон Школково - ВКонтакте

Решение будет опубликовано 28.03.2019 в 09:00