Математика ЕГЭ
Русский язык ЕГЭ
Математика 5-7
Математика ОГЭ
Физика
Кликните, чтобы открыть меню

5. Решение уравнений

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Тригонометрические уравнения (страница 5)

Тригонометрическое уравнение – уравнение, содержащее переменную \(x\) в аргументе одной или нескольких тригонометрических функций: синус, косинус, тангенс, котангенс.

 

\(\bullet\) Стандартные тригонометрические уравнения:
\[\begin{array}{l|c|c} \hline \text{Уравнение} & \text{Ограничения} & \text{Решение}\\ \hline &&\\ \sin x=a & -1\leq a\leq 1 & \left[ \begin{gathered} \begin{aligned} &x=\arcsin a+2\pi n\\ &x=\pi -\arcsin a+2\pi m \end{aligned} \end{gathered} \right. \ \ , \ n,m\in \mathbb{Z}\\&&\\ \hline &&\\ \cos x=a & -1\leq a\leq 1 & x=\pm \arccos a+2\pi n, \ n\in \mathbb{Z}\\&&\\ \hline &&\\ \mathrm{tg}\, x=a & a\in \mathbb{R} & x=\mathrm{arctg}\, a+\pi n, \ n\in \mathbb{Z}\\&&\\ \hline &&\\ \mathrm{ctg}\,x=a & a\in \mathbb{R} & x=\mathrm{arcctg}\, a+\pi n, \ n\in \mathbb{Z}\\&&\\ \hline \end{array}\]  

\(\bullet\) Таблица синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов:
\[{\large{\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline &&&&&\\[-17pt] & \quad 0 \quad (0^ \circ)& \quad \dfrac{\pi}6 \quad (30^\circ) & \quad \dfrac{\pi}4 \quad (45^\circ) & \quad \dfrac{\pi}3 \quad (60^\circ)& \quad \dfrac{\pi}2 \quad (90^\circ) \\ &&&&&\\[-17pt] \hline \sin & 0 &\frac12&\frac{\sqrt2}2&\frac{\sqrt3}2&1\\[4pt] \hline \cos &1&\frac{\sqrt3}2&\frac{\sqrt2}2&\frac12&0\\[4pt] \hline \mathrm{tg} &0 &\frac{\sqrt3}3&1&\sqrt3&\infty\\[4pt] \hline \mathrm{ctg} &\infty &\sqrt3&1&\frac{\sqrt3}3&0\\[4pt] \hline \end{array}}}\]  

\(\bullet\) Основные формулы приведения:

\[\begin{aligned} &\sin \left(\dfrac{\pi}2\pm x\right)=\cos x\\[2pt] &\sin (\pi\pm x)=\mp \sin x\\[2pt] &\cos \left(\dfrac{\pi}2 \pm x\right)=\pm \sin x\\[2pt] &\cos(\pi \pm x)=-\cos x \end{aligned}\]

Формулы приведения для тангенса и котангенса легко вывести, зная, что \[\mathrm{tg}\,x=\dfrac{\sin x}{\cos x} \quad \text{и} \quad \mathrm{ctg}\,x= \dfrac{\cos x}{\sin x}\]  

\(\bullet\) Четность косинуса и нечетность синуса, тангенса и котангенса:

\[\begin{aligned} \cos(-x)&=\cos x\\ \sin (-x)&=-\sin x\\ \mathrm{tg}\,(-x)&=-\mathrm{tg}\,x\\ \mathrm{ctg}\,(-x)&=-\mathrm{ctg}\,x \end{aligned}\]

Задание 29 #2178
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Решите уравнение \(\sqrt3\mathrm{tg}\,\left(\dfrac16x+\dfrac{\pi}3\right)-1=0\).

 

В ответе укажите наименьший положительный корень, деленный на \(\pi\).

Добавить задание в избранное

Данное уравнение преобразуется в \[\mathrm{tg}\,\left(\dfrac16x+\dfrac{\pi}3\right)=\dfrac1{\sqrt3}\]

Заметим, что \(\dfrac1{\sqrt3}=\dfrac{\sqrt3}3\). Сделаем замену \(\dfrac16x+\dfrac{\pi}3=y\). Тогда уравнение примет вид простейшего уравнения:

\[\mathrm{tg}\,y=\dfrac{\sqrt3}3 \quad \Rightarrow \quad y=\dfrac{\pi}6+\pi n, n\in\mathbb{Z}\]

Сделаем обратную замену:

\[\dfrac16x+\dfrac{\pi}3=\dfrac{\pi}6+\pi n, n\in\mathbb{Z}\quad \Rightarrow \quad \dfrac16x=-\dfrac{\pi}6+\pi n, n\in\mathbb{Z} \quad \Rightarrow \quad x=-\pi+6\pi n, n\in\mathbb{Z}\]

Заметим, что из данной серии корней при \(n=0\) получается корень \(x=-\pi\), который отрицательный, то есть не подходит нам. А вот уже при \(n=1\) мы получаем положительный корень \(x=5\pi\). При \(n\geqslant 2\) корни будут больше \(5\pi\), а при \(n\leqslant -1\) – меньше \(-\pi\). Следовательно, \(5\pi\) – наименьший положительный корень.

 

Следовательно, в ответ нужно записать \(5\pi\div \pi=5\).

Ответ: 5

Задание 30 #459
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Найдите корень уравнения \[\mathrm{tg}{\biggl(\dfrac{\sqrt{e}}{8} x\biggr)} = \mathrm{tg}{\biggl(\dfrac{-\sqrt{e}}{4}\biggr)}.\] Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите больший из его не положительных корней.

Добавить задание в избранное

ОДЗ: \(\dfrac{\sqrt{e}}{8} x \neq \dfrac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}\). Решим на ОДЗ:

Решение уравнения \(\mathrm{tg}\, x = a\) имеет вид: \(x = \mathrm{arctg}\, a + \pi n, n \in \mathbb{Z}\), тогда для исходного уравнения получаем \[\dfrac{\sqrt{e}}{8} x = -\dfrac{\sqrt{e}}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z},\] что равносильно \[x = -2 + \dfrac{8\pi}{\sqrt{e}}n, n \in \mathbb{Z}\] – подходят по ОДЗ. Среди корней наибольший не положительный \(x = -2\).

Ответ: -2

Задание 31 #450
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Найдите корень уравнения \[\cos{\biggl(\dfrac{\pi\sqrt{2}}{3} x\biggr)} = \cos{\biggl(\dfrac{0,3\pi\sqrt{2}}{3}\biggr)}.\] Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите меньший из его положительных корней.

Добавить задание в избранное

ОДЗ: \(x\) – произвольное. Решим на ОДЗ:

Решение уравнения \(\cos x = a\) имеет вид: \(x = \pm \mathrm{arccos}\, a + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}\), тогда для исходного уравнения получаем \[\dfrac{\pi\sqrt{2}}{3} x = \pm \dfrac{0,3\pi\sqrt{2}}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z},\] что равносильно \(x = \pm 0,3 + 3\sqrt{2}n, n \in \mathbb{Z}\) – подходят по ОДЗ. Среди корней наименьший положительный \(x = 0,3\) при \(n = 0\).

Ответ: 0,3

Задание 32 #449
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Найдите корень уравнения \[\sin{\biggl(\dfrac{\pi\sqrt{\pi}}{22} x\biggr)} = \sin{\biggl(\dfrac{-0,1\pi\sqrt{\pi}}{22}\biggr)}.\] Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите больший из его не положительных корней.

Добавить задание в избранное

ОДЗ: \(x\) – произвольное. Решим на ОДЗ:

Решение уравнения \(\sin x = a\) имеет вид: \(x_1 = \mathrm{arcsin}\, a + 2\pi n, \ x_2 = \pi - \mathrm{arcsin}\, a + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}\), откуда для исходного уравнения получаем \[\dfrac{\pi\sqrt{\pi}}{22} x_1 = \dfrac{-0,1\pi\sqrt{\pi}}{22} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}, \qquad\dfrac{\pi\sqrt{\pi}}{22} x_2 = \pi - \dfrac{-0,1\pi\sqrt{\pi}}{22} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z},\] что равносильно \[x_1 = -0,1 + \dfrac{44}{\sqrt{\pi}} n, n \in \mathbb{Z},\qquad x_2 = \dfrac{22}{\sqrt{\pi}} + 0,1 + \dfrac{44}{\sqrt{\pi}} n, n \in \mathbb{Z}\] – подходят по ОДЗ. Среди корней наибольший не положительный \(x = -0,1\).

Ответ: -0,1

1 .... 4 5