Математика
Русский язык

5. Решение уравнений

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Тригонометрические уравнения (страница 5)

Тригонометрическое уравнение – уравнение, содержащее переменную \(x\) в аргументе одной или нескольких тригонометрических функций: синус, косинус, тангенс, котангенс.

 

\(\bullet\) Стандартные тригонометрические уравнения:
\[\begin{array}{l|c|c} \hline \text{Уравнение} & \text{Ограничения} & \text{Решение}\\ \hline &&\\ \sin x=a & -1\leq a\leq 1 & \left[ \begin{gathered} \begin{aligned} &x=\arcsin a+2\pi n\\ &x=\pi -\arcsin a+2\pi m \end{aligned} \end{gathered} \right. \ \ , \ n,m\in \mathbb{Z}\\&&\\ \hline &&\\ \cos x=a & -1\leq a\leq 1 & x=\pm \arccos a+2\pi n, \ n\in \mathbb{Z}\\&&\\ \hline &&\\ \mathrm{tg}\, x=a & a\in \mathbb{R} & x=\mathrm{arctg}\, a+\pi n, \ n\in \mathbb{Z}\\&&\\ \hline &&\\ \mathrm{ctg}\,x=a & a\in \mathbb{R} & x=\mathrm{arcctg}\, a+\pi n, \ n\in \mathbb{Z}\\&&\\ \hline \end{array}\]  

\(\bullet\) Таблица синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов:
\[{\large{\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline &&&&&\\[-17pt] & \quad 0 \quad (0^ \circ)& \quad \dfrac{\pi}6 \quad (30^\circ) & \quad \dfrac{\pi}4 \quad (45^\circ) & \quad \dfrac{\pi}3 \quad (60^\circ)& \quad \dfrac{\pi}2 \quad (90^\circ) \\ &&&&&\\[-17pt] \hline \sin & 0 &\frac12&\frac{\sqrt2}2&\frac{\sqrt3}2&1\\[4pt] \hline \cos &1&\frac{\sqrt3}2&\frac{\sqrt2}2&\frac12&0\\[4pt] \hline \mathrm{tg} &0 &\frac{\sqrt3}3&1&\sqrt3&\infty\\[4pt] \hline \mathrm{ctg} &\infty &\sqrt3&1&\frac{\sqrt3}3&0\\[4pt] \hline \end{array}}}\]  

\(\bullet\) Основные формулы приведения:

\[\begin{aligned} &\sin \left(\dfrac{\pi}2\pm x\right)=\cos x\\[2pt] &\sin (\pi\pm x)=\mp \sin x\\[2pt] &\cos \left(\dfrac{\pi}2 \pm x\right)=\pm \sin x\\[2pt] &\cos(\pi \pm x)=-\cos x \end{aligned}\]

Формулы приведения для тангенса и котангенса легко вывести, зная, что \[\mathrm{tg}\,x=\dfrac{\sin x}{\cos x} \quad \text{и} \quad \mathrm{ctg}\,x= \dfrac{\cos x}{\sin x}\]  

\(\bullet\) Четность косинуса и нечетность синуса, тангенса и котангенса:

\[\begin{aligned} \cos(-x)&=\cos x\\ \sin (-x)&=-\sin x\\ \mathrm{tg}\,(-x)&=-\mathrm{tg}\,x\\ \mathrm{ctg}\,(-x)&=-\mathrm{ctg}\,x \end{aligned}\]

Задание 29
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Решите уравнение \(\sqrt3\mathrm{tg}\,\left(\dfrac16x+\dfrac{\pi}3\right)-1=0\).

 

В ответе укажите наименьший положительный корень, деленный на \(\pi\).

Добавить задание в избранное

Данное уравнение преобразуется в \[\mathrm{tg}\,\left(\dfrac16x+\dfrac{\pi}3\right)=\dfrac1{\sqrt3}\]

Заметим, что \(\dfrac1{\sqrt3}=\dfrac{\sqrt3}3\). Сделаем замену \(\dfrac16x+\dfrac{\pi}3=y\). Тогда уравнение примет вид простейшего уравнения:

\[\mathrm{tg}\,y=\dfrac{\sqrt3}3 \quad \Rightarrow \quad y=\dfrac{\pi}6+\pi n, n\in\mathbb{Z}\]

Сделаем обратную замену:

\[\dfrac16x+\dfrac{\pi}3=\dfrac{\pi}6+\pi n, n\in\mathbb{Z}\quad \Rightarrow \quad \dfrac16x=-\dfrac{\pi}6+\pi n, n\in\mathbb{Z} \quad \Rightarrow \quad x=-\pi+6\pi n, n\in\mathbb{Z}\]

Заметим, что из данной серии корней при \(n=0\) получается корень \(x=-\pi\), который отрицательный, то есть не подходит нам. А вот уже при \(n=1\) мы получаем положительный корень \(x=5\pi\). При \(n\geqslant 2\) корни будут больше \(5\pi\), а при \(n\leqslant -1\) – меньше \(-\pi\). Следовательно, \(5\pi\) – наименьший положительный корень.

 

Следовательно, в ответ нужно записать \(5\pi\div \pi=5\).

Ответ: 5

Задание 30
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Найдите корень уравнения \[\mathrm{tg}{\biggl(\dfrac{\sqrt{e}}{8} x\biggr)} = \mathrm{tg}{\biggl(\dfrac{-\sqrt{e}}{4}\biggr)}.\] Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите больший из его не положительных корней.

Добавить задание в избранное

ОДЗ: \(\dfrac{\sqrt{e}}{8} x \neq \dfrac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}\). Решим на ОДЗ:

Решение уравнения \(\mathrm{tg}\, x = a\) имеет вид: \(x = \mathrm{arctg}\, a + \pi n, n \in \mathbb{Z}\), тогда для исходного уравнения получаем \[\dfrac{\sqrt{e}}{8} x = -\dfrac{\sqrt{e}}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z},\] что равносильно \[x = -2 + \dfrac{8\pi}{\sqrt{e}}n, n \in \mathbb{Z}\] – подходят по ОДЗ. Среди корней наибольший не положительный \(x = -2\).

Ответ: -2

Задание 31
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Найдите корень уравнения \[\cos{\biggl(\dfrac{\pi\sqrt{2}}{3} x\biggr)} = \cos{\biggl(\dfrac{0,3\pi\sqrt{2}}{3}\biggr)}.\] Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите меньший из его положительных корней.

Добавить задание в избранное

ОДЗ: \(x\) – произвольное. Решим на ОДЗ:

Решение уравнения \(\cos x = a\) имеет вид: \(x = \pm \mathrm{arccos}\, a + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}\), тогда для исходного уравнения получаем \[\dfrac{\pi\sqrt{2}}{3} x = \pm \dfrac{0,3\pi\sqrt{2}}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z},\] что равносильно \(x = \pm 0,3 + 3\sqrt{2}n, n \in \mathbb{Z}\) – подходят по ОДЗ. Среди корней наименьший положительный \(x = 0,3\) при \(n = 0\).

Ответ: 0,3

Задание 32
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Найдите корень уравнения \[\sin{\biggl(\dfrac{\pi\sqrt{\pi}}{22} x\biggr)} = \sin{\biggl(\dfrac{-0,1\pi\sqrt{\pi}}{22}\biggr)}.\] Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите больший из его не положительных корней.

Добавить задание в избранное

ОДЗ: \(x\) – произвольное. Решим на ОДЗ:

Решение уравнения \(\sin x = a\) имеет вид: \(x_1 = \mathrm{arcsin}\, a + 2\pi n, \ x_2 = \pi - \mathrm{arcsin}\, a + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}\), откуда для исходного уравнения получаем \[\dfrac{\pi\sqrt{\pi}}{22} x_1 = \dfrac{-0,1\pi\sqrt{\pi}}{22} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}, \qquad\dfrac{\pi\sqrt{\pi}}{22} x_2 = \pi - \dfrac{-0,1\pi\sqrt{\pi}}{22} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z},\] что равносильно \[x_1 = -0,1 + \dfrac{44}{\sqrt{\pi}} n, n \in \mathbb{Z},\qquad x_2 = \dfrac{22}{\sqrt{\pi}} + 0,1 + \dfrac{44}{\sqrt{\pi}} n, n \in \mathbb{Z}\] – подходят по ОДЗ. Среди корней наибольший не положительный \(x = -0,1\).

Ответ: -0,1

1 .... 4 5