Математика
Русский язык

17. Сложные задачи прикладного характера

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Сложные задачи прикладного характера из ЕГЭ прошлых лет (страница 3)

Задание 15
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Строительство нового аквапарка стоит \(40\ млн. рублей\). Затраты на обслуживание \(x\) тысяч посетителей составляют \(\frac{2}{3}x^2 + 5x + 3,5\ млн. рублей\) в год. Если билеты продавать по цене \(P\ тыс. рублей\) за штуку, то прибыль аквапарка (в млн. рублей) за один год составит \(Px - \left(\frac{2}{3}x^2 + 5x + 3,5\right)\). Когда аквапарк будет построен, он будет принимать посетителей в таком количестве, чтобы прибыль была наибольшей (желающих будет предостаточно). При каком наименьшем значении \(P\) строительство аквапарка окупится не более, чем за \(4\) года?

 

(ЕГЭ 2015, резервный день)

Добавить задание в избранное

Так как строительство аквапарка должно окупиться не более, чем за \(4\) года, то прибыль за \(4\) года должна составить не менее \(40\ млн. руб.\), то есть цена \(P\) должна быть такой, чтобы существовало какое-нибудь решение неравенства

\[\begin{aligned} &4\biggl(Px - \left(\dfrac{2}{3}x^2 + 5x + 3,5\right)\biggr)\geqslant 40\qquad\Leftrightarrow\qquad Px - \left(\dfrac{2}{3}x^2 + 5x + 3,5\right)\geqslant 10\qquad\Leftrightarrow\\ \Leftrightarrow\qquad & -\dfrac{2}{3}x^2 + (P - 5)x - 3,5\geqslant 10\qquad\Leftrightarrow\qquad \dfrac{2}{3}x^2 - (P - 5)x + 13,5\leqslant 0\,. \end{aligned}\]

График левой части последнего неравенства при всяком фиксированном \(P\) представляет собой параболу с ветвями, направленными вверх. Тогда у последнего неравенства есть решение тогда и только тогда, когда вершина соответствующей параболы лежит не выше оси \(Ox\): \[y_{\text{в}} \leqslant 0\qquad\Leftrightarrow\qquad \dfrac{2}{3}\cdot\bigl(0,75(P - 5)\bigr)^2 - (P - 5)\cdot\bigl(0,75(P - 5)\bigr) + 13,5\leqslant 0\,,\] что равносильно \[\dfrac{3}{8}(P - 5)^2\geqslant 13,5\qquad\Leftrightarrow\qquad (P - 5)^2\geqslant 36\,,\] откуда с учётом условия \(P > 0\), получим: \(P\geqslant 11\).

Таким образом, минимальная цена билета, при которой аквапарк имеет шанс окупиться за 4 года (при наличии достаточного количества желающих его посетить), составляет \(P = 11\).

Ответ:

\(11\)

Задание 16
Уровень задания: Равен ЕГЭ

15 января планируется взять кредит в банке на 11 месяцев. Условия его возврата таковы:

\(\bullet\) 1-ого числа каждого месяца долг возрастает на \(y\%\) по сравнению с долгом на конец предыдущего месяца;
\(\bullet\) со 2-ого по 14-ое числа каждого месяца необходимо выплатить часть долга в виде платежа банку;
\(\bullet\) 15-ого числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-ое число предыдущего месяца.

 

Известно, что общая сумма выплат по кредиту превысила сумму кредита на \(30\%\) процентов. Найдите \(y\).

 

(ЕГЭ 2015, основная волна)

Добавить задание в избранное

Фраза “долг должен быть на одну и ту же сумму меньше” означает, что кредит выплачивается дифференцированными платежами. Следовательно, т.к. кредит взят на 11 месяцев, то эта “одна и та же сумма”, на которую уменьшается долг каждый месяц, равна \(\frac1{11}\) части от суммы кредита. Обозначим сумму кредита за \(A\) и составим таблицу.
Т.к. каждый месяц долг увеличивается на \(y\%\), то в первый месяц долг увеличиться на \(0,01y\cdot A\) рублей, то есть составит \(A+0,01yA\) рублей.
После выплаты долг должен уменьшиться на \(\frac1{11}A\) рублей, то есть должен составить \(\frac{10}{11}A\) рублей. Значит, выплата в первый месяц будет равна \(A+0,01yA-\frac{10}{11}A=0,01yA+\frac1{11}A\)

\[\begin{array}{|l|c|c|c|} \hline \text{Номер месяца}&\text{Долг после начисления }\%& \text{Долг после выплаты}&\text{Выплата}\\ \hline 1& A+0,01y\cdot A& \frac{10}{11}A& 0,01y\cdot A+\frac1{11}A\\ \hline 2& \frac{10}{11}A+0,01y\cdot \frac{10}{11}A& \frac{9}{11}A& 0,01y\cdot \frac{10}{11}A+\frac1{11}A\\ \hline 3& \frac9{11}A+0,01y\cdot \frac9{11}A& \frac8{11}A& 0,01y\cdot \frac9{11}A+\frac1{11}A\\ \hline \dots&\dots&\dots&\dots\\ \hline 10& \frac2{11}A+0,01y\cdot \frac2{11}A& \frac1{11}A& 0,01y\cdot \frac2{11}A+\frac1{11}A\\ \hline 11& \frac1{11}A+0,01y\cdot \frac1{11}A& 0& 0,01y\cdot \frac1{11}A+\frac1{11}A\\ \hline \end{array}\]

Заметим, что все выплаты состоят из двух частей, причем одна часть \(\left(\frac1{11}A\right)\) фиксирована.

 

По условию общая сумма выплат \(R\) превысила на \(30\%\) сумму кредита \(A\). Это значит, что переплата по кредиту \(R-A\) составляет \(30\%\) от \(A\). Найдем общую сумму выплат:

 

\(R=\left(0,01y\cdot A+\frac1{11}A\right)+\left(0,01y\cdot \frac{10}{11}A+\frac1{11}A\right)+ \left(0,01y\cdot \frac9{11}A+\frac1{11}A\right)+\dots+\)

 

\(+\left(0,01y\cdot \frac2{11}A+\frac1{11}A\right)+\left(0,01y\cdot \frac1{11}A+\frac1{11}A\right)=\)

 

\(=0,01y\cdot A\left(1+\frac{10}{11}+\frac9{11}+\dots+\frac2{11}+\frac1{11}\right)+11\cdot \frac1{11}A=\)

 

В скобке — сумма 11 членов арифметической прогрессии, где \(a_1=\frac1{11}, \ a_{11}=1\). По формуле \(S_{11}=\dfrac{a_1+a_{11}}2\cdot 11\), значит

\(=0,01y\cdot A\cdot \frac12\left(\frac1{11}+1\right)\cdot 11+A=0,06yA+A\)

 

Тогда переплата составила \(R-A=0,06yA\). Т.к. переплата составила \(30\%\) от \(A\), то

\[\dfrac{R-A}{A}\cdot 100\%=30\% \quad \Rightarrow \quad \dfrac{0,06yA}A=0,3 \quad \Rightarrow \quad y=5\]

Ответ:

\(5\)

Задание 17
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Компании N принадлежат две шахты в разных городах. В шахтах добываются абсолютно одинаковые минералы, но в шахте, расположенной в первом городе, используется более современное оборудование. В результате, если рабочие первой шахты трудятся суммарно \(t^2\) часов в день, то за день они добывают \(8t\) единиц минералов, а рабочие второй шахты за те же \(t^2\) часов в день добывают \(6t\) единиц минералов. За каждый час работы компания \(N\) платит каждому своему рабочему по \(100\) рублей. Компания готова выделять \(1\, 000\, 000\) рублей в день на оплату труда рабочих. Какое наибольшее количество единиц минералов можно добыть за день на этих двух шахтах?

 

(ЕГЭ 2015, досрочная волна)

Добавить задание в избранное

Компания N готова оплачивать \(10000\) часов в день.
Пусть \(x^2\) часов в день суммарно трудятся рабочие первой шахты,
Пусть \(y^2\) часов в день суммарно трудятся рабочие второй шахты, тогда \[x^2 + y^2 = 10000\,.\]

Обозначим за \(S\) количество суммарно добытых за день единиц минералов, тогда \[S = 8x + 6y\]

Так как \(y = \sqrt{10000 - x^2}\), то \[S(x) = 8x + 6\sqrt{10000 - x^2}\,.\]

ОДЗ: \(x\in[-100; 100]\). Необходимо найти наибольшее значение функции \(S(x)\) при \(x\in[0; 100]\). \[S'(x) = 8 - 6\cdot\dfrac{x}{\sqrt{10000 - x^2}} = 0\]

Критические точки функции \(S(x)\) – это внутренние точки её области определения, в которых её производная равна \(0\) или не определена. \(S'(x) = 0\) при \(x = 80\).

Найдём промежутки возрастания/убывания \(S(x)\) на \([0; 100]\):



то есть \(x = 80\) точка локального максимума. Кроме того, \(S'(x)\) не определена при \(x = \pm 100\). Легко убедиться, что среди этих \(x\), попадающих на отрезок \([0; 100]\), наибольшее значение \(S(x)\) достигается при \(x = 80\). Более того, \(S(80) > S(0)\), следовательно, \(S(80)\) – наибольшее значение функции \(S(x)\) на отрезке \([0; 100]\). \[S(80) = 640 + 360 = 1000\,.\]

Ответ:

\(1000\)

1 2 3