Математика
Русский язык

17. Сложные задачи прикладного характера

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения
Задание 15
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Под какое наименьшее целое кратное пяти число \(y\) процентов годовых банку необходимо предоставить кредит на 2 года, выплачиваемый равными ежегодными платежами, чтобы переплата по такому кредиту превысила \(50\%\) от ежегодного платежа?

Добавить задание в избранное

Пусть в банке взят кредит на сумму \(A\). Если \(y\) — процентная ставка в банке, то каждый год после начисления процентов долг увеличивается в \(t=\frac{100+y}{100}\) раз. Обозначим за \(x\) ежегодный платеж и составим таблицу:

\[\begin{array}{|l|c|c|} \hline \text{Номер года}&\text{Долг после начисления }\%&\text{Долг после платежа}\\ \hline 1&tA&tA-x\\ \hline 2&t(tA-x)&t(tA-x)-x\\ \hline \end{array}\]

Получаем уравнение

\[t(tA-x)-x=0 \quad \Leftrightarrow \quad x=\dfrac{t^2}{t+1}A\]

Общая сумма выплат по кредиту равна \(2x\), тогда переплата по кредиту составила \(2x-A\). Значит, необходимо, чтобы \(2x-A>0,5x \quad \Leftrightarrow \quad 3x-2A>0\), следовательно, т.к. \(A>0\), получаем:

\[3t^2-2t-2>0 \quad \Rightarrow \quad t>\dfrac{1+\sqrt7}3\]

т.к. \(t>0\).

 

Т.к. \(2,6^2=6,76\), то \(\sqrt7>2,6\), следовательно, \(\frac{1+\sqrt7}3>1,2\). Следовательно, наименьшее подходящее \(t=1,25\). Проверим, заметив, что \(1,25=\frac54\):

\[3\cdot \left(\dfrac54\right)^2-2\cdot \dfrac54-2>0\quad\Leftrightarrow\quad \dfrac3{16}>0\]

Получили верное неравенство, значит, \(t=1,25\), откуда \(y=25\%\).

Ответ:

\(25\%\)

Задание 16
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Определите, где выгоднее взять кредит: в банке А на 4 года под \(12,5\%\) годовых или в банке Б на 2 года под \(28\frac47\%\) годовых, если в обоих банках погашение кредита происходит раз в год после начисления процентов равными ежегодными платежами.
Сколько процентов от суммы кредита составляет переплата по выгодному кредиту? Результат округлите до целого числа.

Добавить задание в избранное

а) Пусть необходимо взять кредит на сумму \(A\) рублей.

 

1) Составим таблицу для банка А, приняв за \(x\) ежегодный платеж. Заметим, что каждый год после начисления процентов долг будет составлять \(112,5\%\) от предыдущего долга, то есть будет увеличиваться в \(1,125\) раз. Также заметим, что \(1,125=\frac98\).

\[\begin{array}{|l|c|c|} \hline \text{Номер года}&\text{Долг после начисления }\%&\text{Долг после платежа}\\ \hline 1&\frac98A&\frac98A-x\\ \hline 2&\frac98\left(\frac98A-x\right)&\frac98\left(\frac98A-x\right)-x=\\ && \left(\frac98\right)^2A-x(\frac98+1)\\ \hline 3& \frac98\left(\frac98\left(\frac98A-x\right)-x\right)&\frac98\left(\frac98\left(\frac98A-x\right)-x\right)-x=\\ &&=\left(\frac98\right)^3A-x\left(\left(\frac98\right)^2+\frac98+1\right)\\ \hline 4&\frac98\left(\frac98\left(\frac98\left(\frac98A-x\right)-x\right)-x\right)& \left(\frac98\right)^4A-x\left(\left(\frac98\right)^3+\left(\frac98\right)^2+\frac98+1\right)\\ \hline \end{array}\]

В конце 4-ого года (после платежа) долг выплачен полностью, то есть это значит, что

\[\left(\frac98\right)^4A-x\left( \left(\frac98\right)^3+\left(\frac98\right)^2+\frac98+1\right)=0,\]

откуда

\[\dfrac xA=\dfrac{\left(\textstyle{\frac98}\right)^4}{\left(\textstyle{\frac98}\right)^3+\left(\textstyle{\frac98}\right)^2+\textstyle{\frac98}+1}\]

Знаменатель представляет собой сумму первых 4 членов геометрической прогрессии, где \(a_1=1\), а \(q=\frac98\). Применяя формулу суммы геометрической прогрессии, получим:

\[\dfrac xA=\dfrac{\left(\textstyle{\frac98}\right)^4\left(\textstyle{\frac98}-1\right)}{\left(\textstyle{\frac98}\right)^4-1}=\dfrac{9^4}{8(9^4-8^4)}\]

Тогда величина \(\dfrac{4x}A\) показывает, какую часть составляет общая сумма выплат \(4x\) по кредиту от самого кредита \(A\):

\[\dfrac{4x}A=\dfrac{4\cdot9^4}{8(9^4-8^4)}\]

2) Аналогично составим таблицу для банка Б (пусть \(y\) – ежегодный платеж), заметив, что \(100+28\frac47\%=\frac{900}7\%\), а \(0,01\cdot \frac{900}7=\frac97\):

\[\begin{array}{|l|c|c|} \hline \text{Номер года}&\text{Долг после начисления }\%&\text{Долг после платежа}\\ \hline 1&\frac97A&\frac97A-y\\ \hline 2&\frac97\left(\frac97A-y\right)&\left(\frac97\right)^2A-y(\frac97+1)\\ \hline \end{array}\]

Поступая аналогично первому пункту, найдем

\[\dfrac{2y}A=\dfrac{2\cdot 9^2}{7\cdot(9+7)}\]

Тот банк, в котором общая сумма выплат составляет меньшую часть от кредита, и является наиболее выгодным банком. Таким образом, нам необходимо сравнить два числа:

\[\dfrac{4\cdot9^4}{8(9^4-8^4)} \quad \text{и}\quad \dfrac{2\cdot 9^2}{7\cdot 16}\]

Выполним сравнение, не вычисляя данные выражения:

\[\begin{aligned} \dfrac{4\cdot 9^4}{8(9-8)(9+8)(9^2+8^2)} \quad &\lor \quad \dfrac{2\cdot9^2}{7\cdot 16}\\ \dfrac{4\cdot 9^2}{17\cdot 145} \quad &\lor \quad \dfrac{1}{7}\\ 4\cdot 81\cdot 7 \quad &\lor \quad 17\cdot 145\\ (4\cdot 7)\cdot 81 \quad &\lor \quad (17\cdot 5)\cdot 29 \end{aligned}\]

Заметим, что \(4\cdot 7=28<29, \quad 81<17\cdot 5=85\). Значит, правая дробь больше левой. Таким образом, кредит в банке А выгоднее кредита в банке Б.

 

б) Переплата по выгодному кредиту равна \(4x-A\). Значит, необходимо найти

\[\dfrac{4x-A}A\cdot 100\%=\left(\dfrac{4x}A-1\right)\cdot 100\%= \left(\dfrac{4\cdot9^4}{8(9^4-8^4)}-1\right)\cdot100\%= \dfrac{1631}{4930}\cdot 100\%=33,0...\%\]

После округления до целого числа получим \(33\%\).

Ответ:

\(33\%\)

Задание 17
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Андрей Викторович хочет взять кредит на покупку квартиры. Он выбирает между двумя вариантами:

\(\bullet\) взять кредит на всю сумму в банке А под \(25\%\) годовых на 3 года;
\(\bullet\) взять \(75\%\) от стоимости квартиры в банке Б под \(30\%\) годовых на 3 года и оставшиеся \(25\%\) от стоимости квартиры в банке В под целое число \(y\%\) годовых на год.

 

Какой наибольший процент \(y\) годовых должен предложить ему банк В, чтобы второй вариант был выгодней? Погашение кредита во всех трех банках происходит раз в год равными платежами.

Добавить задание в избранное

Пусть \(S\) — стоимость квартиры. Составим таблицу для обоих вариантов.

Пусть \(a, b, c\) — ежегодные платежи в банках А, Б и В соответственно.

 

1) \[\text{Банк А:} \qquad \begin{array}{|l|c|c|} \hline \text{Номер года}& \text{Долг после начисления }\%&\text{Долг после платежа}\\ \hline 1& 1,25S& 1,25S-a\\ \hline 2& 1,25(1,25S-a)& 1,25(1,25S-a)-a\\ \hline 3& 1,25(1,25(1,25S-a)-a)& 1,25(1,25(1,25S-a)-a)-a\\ \hline \end{array}\]

 

Таким образом, имеем следующее уравнение:

\[1,25(1,25(1,25S-a)-a)-a=0 \quad \Leftrightarrow \quad 1,25^3S=a(1,25^2+1,25+1)\]

Тогда часть, которую составляет ежегодный платеж \(a\) от стоимости квартиры \(S\), равна

\[\dfrac aS=\dfrac{1,25^3}{1,25^2+1,25+1}\]

Тогда часть, которую составляет общая сумма выплат по кредиту в банке А от стоимости квартиры, равна

\[\dfrac {3a}S=\dfrac{375}{244}\]

 

2) Пусть \(S_1=0,75S\) – сумма кредита в банке Б.

 

\[\text{Банк Б:} \qquad \begin{array}{|l|c|c|} \hline \text{Номер года}& \text{Долг после начисления }\%&\text{Долг после платежа}\\ \hline 1& 1,3S_1& 1,3S_1-b\\ \hline 2& 1,3(1,3S_1-b)& 1,3(1,3S_1-b)-b\\ \hline 3& 1,3(1,3(1,3S_1-b)-b)& 1,3(1,3(1,3S_1-b)-b)-b\\ \hline \end{array}\]

 

Таким образом, имеем следующее уравнение:

\[1,3(1,3(1,3S_1-b)-b)-b=0 \quad \Leftrightarrow \quad 1,3^3S_1=b(1,3^2+1,3+1)\]

Тогда часть, которую составляет ежегодный платеж \(b\) от кредита \(S_1\), равна

\[\dfrac b{S_1}=\dfrac{1,3^3}{1,3^2+1,3+1}=\dfrac{13^3}{3990}\]

Тогда часть, которую составляет общая сумма выплат по кредиту в банке Б от кредита, равна

\[\dfrac {3b}{S_1}=\dfrac{3\cdot 13^3}{3990}=\dfrac{13^3}{1330}\]

Т.к. \(S_1=0,75S\), то часть, которую составляет общая сумма выплат по кредиту в банке Б от \({\color{blue}{\text{стоимости квартиры } S}}\), равна

\[\dfrac {3b}{S}=\dfrac{3\cdot 13^3}{4\cdot 1330}\]

 

3) Пусть \(S_2=0,25S\) – сумма кредита в банке В. Пусть также \(\frac{100+y}{100}=t\) — коэффициент, на который умножается долг после начисления процентов.

 

\[\text{Банк В:} \qquad \begin{array}{|l|c|c|} \hline \text{Номер года}& \text{Долг после начисления }\%&\text{Долг после платежа}\\ \hline 1& tS_2& tS_2-c\\ \hline \end{array}\]

 

Таким образом, имеем следующее уравнение:

\[tS_2-c=0\]

Тогда часть, которую составляет ежегодный платеж \(c\) от кредита \(S_2\), равна

\[\dfrac c{S_2}=t\]

Т.к. \(S_2=0,25S\), то часть, которую составляет общая сумма выплат по кредиту в банке В от \({\color{blue}{\text{стоимости квартиры } S}}\), равна

\[\dfrac {c}{S}=\dfrac t4\]

 

4) Второй вариант будет выгоднее первого, если часть, которую составляет сумма общих выплат по обоим кредитам (в банках Б и В) от стоимости квартиры, будет меньше, чем часть, которую составляет общая сумма выплат по кредиту (в банке А) от стоимости квартиры. То есть должно быть выполнено:

\[\dfrac t4+\dfrac{3\cdot 13^3}{4\cdot 1330}<\dfrac{375}{244} \quad \Leftrightarrow \quad t<\dfrac{96\,699}{81\,130}\]

Т.к. \(t=\frac{y+100}{100}\), то \[y<\dfrac{155\,690}{8113}=19\frac{1543}{8113}\]

Следовательно, наибольшее целое \(y\) равно \(19\).

Ответ:

\(19\%\)