Задачи про банковский кредит: дифференцированный платеж (страница 2)

Фраза “выплачивался кредит ежегодными платежами, уменьшающими долг каждый год на одну и ту же величину” означает, что кредит выплачивается дифференцированными платежами. Следовательно, каждый год после платежа долг становился меньше на одну и ту же величину, равную \(\frac14\) (так как 4 года) части от суммы, взятой в кредит.

Пусть \(A\) – сумма, взятая в кредит, \(y\%\) – годовой процент в банке. Тогда обозначим величину \(0,01y=p\) (десятичный процент). Составим таблицу: \[\begin{array}{|l|c|c|c|} \hline \text{Год}&\text{Долг до начисления }\%&\text{Долг после начисления }\%&\text{Платеж}\\ \hline 1& A & A+p\cdot A & p\cdot A+\frac14A\\ \hline 2& \frac34A & \frac34A+p\cdot \frac34A & p\cdot \frac34A+\frac14A\\ \hline 3& \frac24A & \frac24A+p\cdot \frac24A & p\cdot \frac24A+\frac14A\\ \hline 4& \frac14A & \frac14A+p\cdot \frac14A & p\cdot \frac14A+\frac14A\\ \hline \end{array}\]

Таким образом, общая сумма выплат по кредиту равна \[p\cdot A+\frac14A+p\cdot \frac34A+\frac14A+p\cdot \frac24A+\frac14A+p\cdot \frac14A+\frac14A= pA\cdot \left(1+\frac34+\frac24+\frac14\right)+A\]

Значит, переплата \(Per\) равна \[Per=pA\cdot \left(1+\frac34+\frac24+\frac14\right)=\frac52pA\]

Необходимо, чтобы переплата составила не менее \(30\%\) от суммы кредита, то есть \[Per\geqslant 0,3A \quad\Rightarrow\quad \frac52pA\geqslant 0,3A\quad\Leftrightarrow\quad p\geqslant \frac6{50}\quad\Rightarrow\quad y\geqslant 12.\]

Таким образом, наименьший годовой процент равен \(12\%\).

Ответ: 12

Т.к. кредит выплачивается дифференцированными платежами, то первый платеж будет наибольшим, а последний - наименьшим. Действительно, если кредит взят на \(A\) рублей сроком на \(n\) лет под \(10\%\) годовых, то каждый год после платежа долг должен уменьшаться на \(\frac1nA\) по сравнению с долгом до начисления процентов (определение дифференцированного платежа): после первого платежа он станет равен \(A-\frac1nA=\frac{n-1}nA\), после второго – \(\frac{n-2}nA\) и т.д. Это значит, что каждый платеж состоит из двух частей: первая часть состоит из процентов, начисленных на долг в текущем году, а вторая часть всегда одинакова (это \(\frac1n A\)). А так как долг с каждым годом становится меньше, то первая часть платежа также становится меньше.

В первый год долг равен \(A\), то есть первый платеж равен \(x_1=\frac 1nA +0,1A\).
В последний год долг равен \(\frac1nA\), следовательно, последний платеж равен \(x_n=\frac 1nA+0,1\cdot \frac1nA\).

По условию наибольший платеж должен превышать не более чем на \(30\%\) наименьший платеж, то есть должен составлять не более \(130\%\) от наименьшего, следовательно: \[x_1\leqslant 1,3x_n \quad\Rightarrow\quad \dfrac1nA+0,1A\leqslant 1,3\cdot\left(\dfrac1nA+0,1\cdot \dfrac1nA\right)\quad\Leftrightarrow\quad n\leqslant 4,3.\]

Так как \(n\) – количество лет, то есть целое число, то \(n=4\).

Ответ: 4

Т.к. кредит взят на 5 месяцев и выплачиваться будет дифференцированными платежами, то долг каждый месяц после платежа уменьшается на \(\frac15\) часть.
Составим таблицу, ведя все вычисления в тыс. рублей:

\[\begin{array}{|l|c|c|c|} \hline \text{Месяц} & \text{Долг после} & \text{Сумма} & \text{Долг после}\\ & \text{начисления }\% &\text{платежа} & \text{платежа} \\ \hline &&&\\ 1& 35+0,12\cdot35 & 0,12\cdot35+\dfrac15\cdot35 & \dfrac45\cdot35\\ &&&\\ \hline &&&\\ 2& \dfrac45\cdot35+0,12\cdot\dfrac45\cdot35 & 0,12\cdot\dfrac45\cdot35+\dfrac15\cdot35 & \dfrac35\cdot35\\ &&&\\ \hline &&&\\ 3& \dfrac35\cdot35+0,12\cdot\dfrac35\cdot35 & 0,12\cdot\dfrac35\cdot35+\dfrac15\cdot35 & \dfrac25\cdot35\\ &&&\\ \hline &&&\\ 4& \dfrac25\cdot35+0,12\cdot\dfrac25\cdot35 & 0,12\cdot\dfrac25\cdot35+\dfrac15\cdot35 & \dfrac15\cdot35\\ &&&\\ \hline &&&\\ 5& \dfrac15\cdot35+0,12\cdot\dfrac15\cdot35 & 0,12\cdot\dfrac15\cdot35+\dfrac15\cdot35 & 0\\ &&&\\ \hline \end{array}\]

Сумма всех платежей и есть сумма, которую выплатит хозяйка банку за время кредитования. Таким образом, если из этой суммы вычесть сумму кредита, то мы найдем, сколько составила переплата \(R\) по кредиту:  

\(R=\left(0,12\cdot35+\dfrac15\cdot35\right)+ \left(0,12\cdot\dfrac45\cdot35+\dfrac15\cdot35\right)+ \left(0,12\cdot\dfrac35\cdot35+\dfrac15\cdot35\right)+\)  

\(+\left(0,12\cdot\dfrac25\cdot35+\dfrac15\cdot35\right)+ \left(0,12\cdot\dfrac15\cdot35+\dfrac15\cdot35\right)-A=\)  

\(=0,12\cdot35\cdot\left(1+\dfrac45+\dfrac35+\dfrac25+\dfrac15\right)=0,12\cdot35\cdot3=12,6\) тыс.рублей.

Таким образом, в рублях переплата составила \(12\,600\).

Ответ:

\(12600\)

Фраза “кредит будет выплачиваться ежегодными платежами, уменьшающими долг на одну и ту же сумму” означает, что долг будет выплачиваться дифференцированными платежами.

Пусть \(A\) рублей составляет сумма кредита. Составим таблицу:

\[\begin{array}{|l|c|c|c|} \hline \text{Год} & \text{Долг после} & \text{Сумма} & \text{Долг после}\\ & \text{начисления }\% &\text{платежа} & \text{платежа} \\ \hline &&&\\ 1& A+0,1\cdot A & 0,1\cdot A+\dfrac16\cdot A & \dfrac56\cdot A\\ &&&\\ \hline &&&\\ 2& \dfrac56\cdot A+0,1\cdot\dfrac56\cdot A & 0,1\cdot\dfrac56\cdot A+\dfrac16\cdot A & \dfrac46\cdot A\\ &&&\\ \hline &&&\\ 3& \dfrac46\cdot A+0,1\cdot\dfrac46\cdot A & 0,1\cdot\dfrac46\cdot A+\dfrac16\cdot A & \dfrac36\cdot A\\ &&&\\ \hline &&&\\ 4& \dfrac36\cdot A+0,1\cdot\dfrac36\cdot A & 0,1\cdot\dfrac36\cdot A+\dfrac16\cdot A & \dfrac26\cdot A\\ &&&\\ \hline &&&\\ 5& \dfrac26\cdot A+0,1\cdot\dfrac26\cdot A & 0,1\cdot\dfrac26\cdot A+\dfrac16\cdot A & \dfrac16\cdot A\\ &&&\\ \hline &&&\\ 6& \dfrac16\cdot A+0,1\cdot\dfrac16\cdot A & 0,1\cdot\dfrac16\cdot A+\dfrac16\cdot A & 0\\ &&&\\ \hline \end{array}\]

Таким образом, переплата по кредиту равна:

\[R=\left(0,1\cdot A\left(1+\dfrac56+\dfrac46+\dfrac36+\dfrac26+\dfrac16\right)+6\cdot \dfrac16\cdot A\right)-A=0,1\cdot A\cdot 3,5\]

Тогда процент, который составит переплата от кредита, равен:

\[\dfrac RA\cdot 100\%=\dfrac{0,35A}A\cdot 100\%=35\%\]

Ответ:

\(35\%\)

Составим таблицу, учитывая, что выплачивать кредит Михаил будет так называемыми дифференцированными платежами, и обозначив сумму кредита за \(A=3\,000\,000\) рублей:
\[\begin{array}{|l|c|c|c|} \hline \text{Год} & \text{Долг в руб.} & \text{Долг в руб.} & \text{Ежегодная выплата}\\ & \text{до начисления} & \text{после начисления} & \text{в руб.} \\ & \text{процентов} & \text{процентов} & \\ \hline & & &\\ 1&A &A+0,14A &\dfrac{1}{6}A+0,14\cdot A \\ & & &\\ \hline & & &\\ 2&\dfrac{5}{6}A &\dfrac{5}{6}A+0,14\cdot \dfrac{5}{6}A &\dfrac{1}{6}A+0,14\cdot \dfrac{5}{6}A \\ & & &\\ \hline & & &\\ 3&\dfrac{4}{6}A &\dfrac{4}{6}A+0,14\cdot \dfrac{4}{6}A &\dfrac{1}{6}A+0,14\cdot \dfrac{4}{6}A \\ & & &\\ \hline & & &\\ 4&\dfrac{3}{6}A &\dfrac{3}{6}A+0,14\cdot \dfrac{3}{6}A &\dfrac{1}{6}A+0,14\cdot \dfrac{3}{6}A \\ & & &\\ \hline & & &\\ 5&\dfrac{2}{6}A &\dfrac{2}{6}A+0,14\cdot \dfrac{2}{6}A &\dfrac{1}{6}A+0,14\cdot \dfrac{2}{6}A \\ & & &\\ \hline & & &\\ 6&\dfrac{1}{6}A &\dfrac{1}{6}A+0,14\cdot \dfrac{1}{6}A &\dfrac{1}{6}A+0,14\cdot \dfrac{1}{6}A \\ & & &\\ \hline \end{array}\]

Посчитаем, сколько рублей в итоге заплатил Михаил банку. Для этого нужно просуммировать все ежегодные платежи, в результате чего получим:

\(A+0,14A\cdot (a+\dfrac{5}{6}+\dfrac{4}{6}+\dfrac{3}{6}+\dfrac{2}{6}+\dfrac{1}{6})=1,49A\)

Новая цена за квартиру составила \(1,8A\). Таким образом, выгода для Михаила составила:
\((1,8-1,49)A=0,31A=0,31\cdot 3\,000\,000=930\,000\) рублей.

Ответ:

\(930\,000\) рублей.

Составим таблицу, обозначив за \(A\) руб. сумму кредита:
\[\begin{array}{|l|c|c|c|} \hline \text{Год} & \text{Долг в руб.} & \text{Долг в руб.} & \text{Ежегодная выплата}\\ & \text{до начисления} & \text{после начисления} & \text{в руб.} \\ & \text{процентов} & \text{процентов} & \\ \hline & & &\\ 1 (2009)&A &A+\dfrac{32}{300}A &\dfrac{1}{11}A+\dfrac{32}{300}\cdot A \\ & & &\\ \hline & & &\\ 2 (2010)&\dfrac{10}{11}A &\dfrac{10}{11}A+\dfrac{32}{300}\cdot \dfrac{10}{11}A &\dfrac{1}{11}A+\dfrac{32}{300}\cdot \dfrac{10}{11}A \\ & & &\\ \hline & & &\\ ... & ... & ... & ... \\ & & &\\ \hline & & &\\ 8 (2016)&\dfrac{4}{11}A &\dfrac{4}{11}A+\dfrac{32}{300}\cdot \dfrac{4}{11}A &\dfrac{1}{11}A+\dfrac{32}{300}\cdot \dfrac{4}{11}A \\ & & &\\ \hline & & &\\ ... & ... & ... & ... \\ & & &\\ \hline & & &\\ 11 (2019)&\dfrac{1}{11}A &\dfrac{1}{11}A+\dfrac{32}{300}\cdot \dfrac{1}{11}A &\dfrac{1}{11}A+\dfrac{32}{300}\cdot \dfrac{1}{11}A \\ & & &\\ \hline \end{array}\]

В таком случае, исходя из условия задачи, имеем уравнение:

\(\dfrac{1}{11}A+\dfrac{32}{300}\cdot \dfrac{4}{11}A = 171\,200\), откуда находим, что \(A=1\,320\,000\) руб.

Найдем переплату:

\(\dfrac{32}{300}A+\dfrac{32}{300}\cdot \dfrac{10}{11}A+ \cdots + \dfrac{32}{300}\cdot \dfrac{1}{11}A=\dfrac{32}{300}A\cdot \left(1+\dfrac{10}{11}+\dfrac{9}{11}+ \cdots + \dfrac{1}{11}\right)=0,64A=844\,800\)

Ответ:

\(844\,800\) рублей.

Фраза “сумма долга уменьшалась каждый месяц на одну и ту же величину” означает, что долг будет выплачиваться дифференцированными платежами.

Составим таблицу, приняв за \(A\) тыс. рублей – сумму, выданную в кредит.

\[{\large{ \begin{array}{|l|c|c|c|} \hline \text{Месяц} & \text{Долг в тыс. рублей} & \text{Сумма платежа} & \text{Долг в тыс. рублей}\\ & \text{после начисления }\% &\text{в тыс. рублей} & \text{после платежа} \\[3pt] \hline 1& A+0,14\cdot A & 0,14\cdot A+\frac19\cdot A & \frac89\cdot A\\[3pt] \hline 2& \frac89\cdot A+0,14\cdot\frac89\cdot A & 0,14\cdot\frac89\cdot A+\frac19\cdot A & \frac79\cdot A\\[3pt] \hline 3& \frac79\cdot A+0,14\cdot\frac79\cdot A & 0,14\cdot\frac79\cdot A+\frac19\cdot A & \frac69\cdot A\\[3pt] \hline 4& \frac69\cdot A+0,14\cdot\frac69\cdot A & 0,14\cdot\frac69\cdot A+\frac19\cdot A & \frac59\cdot A\\[3pt] \hline 5& \frac59\cdot A+0,14\cdot\frac59\cdot A & 0,14\cdot\frac59\cdot A+\frac19\cdot A & \frac49\cdot A\\[3pt] \hline 6& \frac49\cdot A+0,14\cdot\frac49\cdot A & 0,14\cdot\frac49\cdot A+\frac19\cdot A & \frac39\cdot A\\[3pt] \hline 7& \frac39\cdot A+0,14\cdot\frac39\cdot A & 0,14\cdot\frac39\cdot A+\frac19\cdot A & \frac29\cdot A\\[3pt] \hline 8& \frac29\cdot A+0,14\cdot\frac29\cdot A & 0,14\cdot\frac29\cdot A+\frac19\cdot A & \frac19\cdot A\\[3pt] \hline 9& \frac19\cdot A+0,14\cdot\frac19\cdot A & 0,14\cdot\frac19\cdot A+\frac19\cdot A & 0\\[3pt] \hline \end{array}}}\]

Общая сумма выплат по кредиту равна

\(0,14\cdot A\cdot \left(1+\dfrac89+\dfrac79+\dfrac69+\dfrac59+\dfrac49+\dfrac39+\dfrac29+\dfrac19\right)+9\cdot\dfrac19\cdot A= 0,14\cdot A\cdot 5+A\) (тыс.рублей).

Тогда переплата по кредиту равна \(\left(0,14\cdot A\cdot 5+A\right)-A\). Т.к. переплата не должна превышать \(150\) тыс. рублей, то имеем следующее неравенство

\[0,14\cdot A\cdot 5\leqslant 150 \quad \Leftrightarrow \quad A\leqslant 214\frac27 \ \text{ тыс. рублей.}\]

Т.к. сумма кредита в рублях должна быть кратна \(1000\), то сумма кредита в тыс. рублей должна быть целым числом. Следовательно, наибольшее целое \(A=214\) тыс. рублей или \(214\,000\) рублей.

Ответ:

\(214000\)