Математика ЕГЭ Профиль
Русский язык ЕГЭ

17. Сложные задачи прикладного характера

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Задачи про банковский кредит: другие схемы платежей (страница 2)

Задание 8 #2654
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Планируется выдать льготный кредит на целое число миллионов рублей на четыре года. В середине каждого года действия кредита долг заемщика возрастает на \(10\%\) по сравнению с началом года. По договоренности с банком в конце первого и третьего годов заемщик выплачивает только проценты по кредиту, начисленные за соответствующий текущий год. В конце второго и четвертого годов заемщик выплачивает одинаковые суммы, погашая к концу четвертого года весь долг полностью. Найдите наименьший размер кредита в млн. рублей, при котором общая сумма выплат заемщика превысит \(100\) млн. рублей.

 

(Задача от подписчиков)

Добавить задание в избранное

Пусть \(A\) – сумма кредита в млн. рублей, а \(x\) – сумма выплаты во второй и четвертый годы в млн. рублей. Составим таблицу: \[\begin{array}{|l|c|c|c|c|} \hline \text{Год}&\text{Сумма долга до}&\text{Сумма долга после} &\text{Сумма долга}&\text{Выплата}\\ &\text{начисления }\%&\text{начисления }\%&\text{после выплаты}&\\ \hline 1&A&A+0,1A&A&0,1A\\ \hline 2&A&1,1A&1,1A-x&x\\ \hline 3&1,1A-x&(1,1A-x)+0,1(1,1A-x)&1,1A-x&0,1(1,1A-x)\\ \hline 4&1,1A-x&1,1(1,1A-x)&1,1(1,1A-x)-x&x\\ \hline \end{array}\]

Т.к. в конце четвертого года заемщик выплатил весь кредит, то сумма долга после выплаты будет равна нулю, то есть \[1,1(1,1A-x)-x=0\quad\Leftrightarrow\quad x=\dfrac{121}{210}A \quad (*)\] Т.к. общая сумма выплат заемщика должна превысить \(100\) млн. рублей, то получаем следующее неравенство: \[0,1A+x+0,1(1,1A-x)+x>100\quad\Leftrightarrow\quad 21A+190x>10\,000.\] Подставим в это неравенство выражение \((*)\) и получим: \[A>\dfrac{210\,000}{2740}\quad\Rightarrow\quad A>76,...\] Т.к. \(A\) – целое число млн. рублей, то наименьшее \(A=77\) млн. рублей.

Ответ: 77

Задание 9 #3149
Уровень задания: Равен ЕГЭ

В начале марта в банке был взят кредит на 6 месяцев на следующих условиях:
— 13 числа каждого месяца, начиная с марта, на текущий долг начисляется некоторое количество процентов;
— с 14 по 29 числа каждого месяца заемщик обязан внести платеж в счет погашения кредита так, чтобы сумма долга на 13 число каждого месяца удовлетворяла следующей таблице:   \(\begin{array}{|l|c|c|c|c|c|c|c|} \hline \text{Дата} & 13.03 & 13.04 &13.05 & 13.06 & 13.07 & 13.08 & 13.09 \\ \hline \text{Долг} & 1,1A & 0,935A & 0,77A & 0,66A & 0,44A & 0,165A & 0\\ \hline \end{array}\)   где \(A\) – сумма, взятая в кредит.
Определите наибольший месячный платеж по такому кредиту, если известно, что переплата по кредиту составила \(111\,000\) рублей.

Добавить задание в избранное

Если в кредит было взято \(A\) рублей, а в первый месяц пользования кредитом после начисления процентов долг стал равен \(1,1A\) рублей, то \[1,1=\dfrac{100+y}{100},\] где \(y\) – процентная ставка в банке. Следовательно, решая уравнение, находим, что \(y=10\%\).
Составим новую таблицу, в которой будем следить за тем, как меняется сумма долга ДО начисления процентов (например, чему равна сумма долга 12 числа каждого месяца). \[\begin{array}{|l|c|c|c|c|c|c|c|} \hline \text{Дата} & 12.03 & 12.04 &12.05 & 12.06 & 12.07 & 12.08 & 12.09 \\ \hline &&&&&&&\\[0.5ex] \text{Долг} & \dfrac{1,1A}{1,1}=A & \dfrac{0,935A}{1,1}=0,85A & \dfrac{0,77A}{1,1}=0,7A & \dfrac{0,66A}{1,1}=0,6A & \dfrac{0,44A}{1,1}=0,4A & \dfrac{0,165A}{1,1}=0,15A & 0\\ &&&&&&&\\[0.5ex] \hline \end{array}\] Следовательно, платежи в каждый месяц равны: \[\begin{aligned} &x_1=0,1A+0,15A=0,25A\\ &x_2=0,1\cdot 0,85A+0,15A=0,235A\\ &x_3=0,1\cdot 0,7A+0,1A=0,17A\\ &x_4=0,1\cdot 0,6A+0,2A=0,26A\\ &x_5=0,1\cdot 0,4A+0,25A=0,29A\\ &x_6=0,1\cdot 0,15A+0,15A=0,165A \end{aligned}\] Тогда наибольший платеж — это \(x_5\).
Для того, чтобы найти \(x_5\), нужно найти \(A\). Для этого используем условие про переплату. Переплата равна: \[111\,000=0,1A+0,1\cdot 0,85A+0,1\cdot 0,7A+ 0,1\cdot 0,6A+0,1\cdot 0,4A+0,1\cdot 0,15A = 0,37A \quad\Rightarrow\quad A=\dfrac{111\,000}{0,37}=300\,000\] Таким образом, \[x_5=0,29A=87\,000\]

Ответ: 87000

Задание 10 #2073
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Марина взяла кредит в банке на 4 года на следующих условиях:
– раз в год банк начисляет на текущий долг \(12,5\%\), после чего Марина обязана внести платеж в счет погашения кредита;
– платеж в первый год в два раза меньше платежа во второй год и в три раза меньше платежа в третий год; платеж в четвертый год в 2 раза больше платежа во второй год.

 

Сколько процентов от суммы кредита Марина заплатит банку? В случае необходимости результат округлите до целого числа.

Добавить задание в избранное

Пусть Марина взяла в долг у банка \(A\) рублей. Пусть в первый год платеж Марины равен \(x\) рублям. Тогда, исходя из условия задачи, \(2x\) – платеж во второй год, \(3x\) – в третий, \(4x\) – в четвертый. Составим таблицу:

\[\begin{array}{|l|c|c|} \hline \text{Год} & \text{Сумма долга после начисления }\% & \text{Сумма долга после платежа} \\ \hline 1 & 1,125\cdot A & 1,125\cdot A-x \\ \hline 2 & 1,125(1,125\cdot A-x) & 1,125(1,125\cdot A-x)-2x \\ \hline 3 & 1,125(1,125(1,125\cdot A-x)-2x) & 1,125(1,125(1,125\cdot A-x)-2x)-3x\\ \hline 4 & 1,125(1,125(1,125(1,125\cdot A-x)- & 1,125(1,125(1,125(1,125\cdot A-x)-\\ & -2x)-3x) & -2x)-3x)-4x\\ \hline \end{array}\]

Тогда имеем следующее уравнение (т.к. к концу четвертого года долг банку равен нулю):

\(1,125(1,125(1,125(1,125\cdot A-x)-2x)-3x)-4x=0 \quad \Leftrightarrow \)

 

\(\Leftrightarrow \quad 1,125^4\cdot A-x(1,125^3+2\cdot 1,125^2+3\cdot 1,125+4)=0\)

 

Заметим, что всего Марина за время пользования кредитом заплатила банку \(x+2x+3x+4x=10x\) рублей. Значит, необходимо найти величину:

\[\dfrac{10x}{A}\cdot 100\%\]

Выразим из полученного уравнения \(x\):

\[x=\dfrac{1,125^4\cdot A}{1,125^3+2\cdot 1,125^2+3\cdot 1,125+4}\]

Значит, необходимо найти:

\[\dfrac{10\cdot 1,125^4\cdot A}{A\cdot (1,125^3+2\cdot 1,125^2+3\cdot 1,125+4)}\cdot 100= \dfrac{1000\cdot 1,125^4}{1,125^3+2\cdot 1,125^2+3\cdot 1,125+4}\]

Заметим, что \(1,125=\frac98\). Следовательно:

\[\dfrac{1000\cdot 9^4}{8^4\cdot \left( \left(\frac98\right)^3+2\cdot \left( \frac98\right)^2+3\cdot \left( \frac98\right)+4\right)}= \dfrac{1000\cdot 9^4}{8\cdot \left(9^3+2\cdot 9^2\cdot 8+3\cdot 9\cdot 8^2+4\cdot 8^3\right)}=\dfrac{1000\cdot 6561}{46408}\]

Выполнив деление в столбик \(6561\div 46408\), получим \(0,1413...\), тогда все выражение равно \(141,3...\)
Округляя до целого числа, получим \(141\%\).

Ответ:

\(141\%\)

Задание 11 #3150
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

10 января в банке был взят кредит на 6 лет на следующих условиях:
— 16 числа каждого месяца, начиная с января, на текущий долг начисляется \(r\) процентов;
— с 17 по 28 числа каждого месяца заемщик обязан внести платеж в счет погашения кредита так, чтобы сумма долга на 10 число каждого месяца удовлетворяла следующей таблице:   \(\begin{array}{|l|c|c|c|c|c|c|c|} \hline \text{Дата} & 10.01 & 10.02 &10.03 & 10.04 & 10.05 & 10.06 & 10.07 \\ \hline \text{Долг} & A & 0,8A & 0,65A & 0,4A & 0,25A & 0,1A & 0\\ \hline \end{array}\)   Известно, что \(r\leqslant 10\), наибольший платеж по кредиту равен \(517\,125\) рублей, наименьший – \(187\,250\) рублей. Определите, сколько рублей составила переплата по кредиту.

Добавить задание в избранное

Пусть \(p=0,01r\), тогда \(p\leqslant 0,1\). Составим таблицу: \[\begin{array}{|l|c|c|c|} \hline \text{Месяц} & \text{Долг на 10 число} & \text{Долг на 16 число} & \text{Платеж} \\ \hline 01 & A & A+pA & pA+0,2A=x_1 \\ \hline 02 & 0,8A & 0,8A+p\cdot 0,8A & p\cdot 0,8A+0,15A=x_2\\ \hline 03 & 0,65A & 0,65A+p\cdot 0,65A & p\cdot 0,65A+0,25A=x_3\\ \hline 04 & 0,4A & 0,4A+p\cdot 0,4A & p\cdot 0,4A+0,15A=x_4\\ \hline 05 & 0,25A & 0,25A+p\cdot 0,25A & p\cdot 0,25A+0,15A=x_5\\ \hline 06 & 0,1A & 0,1A+p\cdot 0,1A & p\cdot 0,1A+0,1A=x_6\\ \hline \end{array}\]

Определим наибольший платеж. Заметим, что \(x_2>x_4>x_5>x_6\) (действительно, например, \(x_2>x_4\), так как \(0,8p>0,4p\), потому как \(p\) положительное, а второе слагаемое у них одинаковое).
Также \(x_1>x_2\). Следовательно, претенденты на наибольший платеж – это \(x_1\) и \(x_3\). Так как \(0<p\leqslant 0,1\), то \(0,2<p+0,2\leqslant 0,3\) и \(0,25<0,65p+0,25\leqslant 0,315\). Графики выглядят так:



Следовательно, видим, что \(x_3>x_1\) при любом \(p\in (0;0,1]\). Таким образом, наибольший платеж – это \(x_3\).

 

Определим наименьший платеж. Из предыдущих рассуждений заключаем, что \(x_3>x_1>x_2>x_4>x_5>x_6\). Таким образом, наименьший платеж – это \(x_6\).

 

Следовательно: \[\begin{cases} (0,65p+0,25)A=517\,125\\ (0,1p+0,1)A=187\,250 \end{cases} \quad\Leftrightarrow\quad \begin{cases} A=1\,750\,000\\ p=0,07 \end{cases}\]

Тогда переплата по кредиту равна \[\begin{aligned} &pA+p\cdot 0,8A+p\cdot 0,65A+p\cdot 0,4A+p\cdot 0,25A+p\cdot 0,1A=\\[1ex] &=0,07\cdot 1\,750\,000\cdot (1+0,8+0,65+0,4+0,25+0,1)=392\,000 \end{aligned}\]

Ответ: 392000

Задание 12 #2369
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

4 января Валентина оплатила покупку со своей кредитной карты на \(800\,000\) рублей. Условия пользования кредитной картой таковы:
— 10 и 30 числа каждого месяца на текущий долг начисляется \(4\%\);
— между 10 и 30 числами каждого месяца Валентина имеет возможность внести на карту любую сумму, причем эта сумма идет сначала на погашение начисленных процентов, а оставшаяся часть - на погашение части основного долга. Таким образом, основной долг уменьшается;
— если внесенная таким образом сумма не превышает сумму начисленных процентов, то основной долг не меняется, и происходит лишь погашение части суммы начисленных процентов;
— 1 числа каждого месяца, начиная с февраля, Валентина должна вносить обязательный платеж по карте так, чтобы сумма долга (в процентах от кредита) уменьшалась согласно таблице:

\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline \text{4 января}&\text{4 февраля}&\text{4 марта}& \text{4 апреля}&\text{4 мая}&\text{4 июня}\\ \hline 100\% & 90\%&70\%&50\%&20\%&0\%\\ \hline \end{array}\]

Сколько процентов от стоимости покупки составит переплата Валентины за совершенную покупку, если помимо обязательных платежей 20 числа каждого месяца Валентина будет вносить на карту \(10\,000\) рублей?

Добавить задание в избранное

Введем обозначения: \(A=800\,000\) рублей – сумма, оплаченная по кредитной карте, \(t=1,04\), \(x=10\,000\) рублей.

\[\small{\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline \text{Долг на 4 число}&\text{Долг на 10 число}& \text{Долг на 20 число}&\text{Долг на 30 число}&\text{Обязательный платеж}\\ \hline A & tA & tA-x & t(tA-x) & a_1\\ \hline 0,9A & t\cdot 0,9A & t\cdot 0,9A-x & t(t\cdot 0,9A-x) & a_2\\ \hline 0,7A & t\cdot 0,7A & t\cdot 0,7A-x & t(t\cdot 0,7A-x) & a_3\\ \hline 0,5A & t\cdot 0,5A & t\cdot 0,5A-x & t(t\cdot 0,5A-x) & a_4\\ \hline 0,2A & t\cdot 0,2A & t\cdot 0,2A-x & t(t\cdot 0,2A-x) & a_5\\ \hline \end{array}}\]

Вычислим \(a_i\) обязательные платежи. Т.к. до первого обязательного платежа долг был равен \(t(tA-x)\), а после платежа должен стать равным \(0,9A\), то платеж \(a_1=t(tA-x)-0,9A=t^2A-tx-A+0,1A=(t^2-1)A-tx+0,1A\) (расписали \(0,9A=A-0,1A\)).

 

Аналогично второй платеж \(a_2=t^2\cdot 0,9A-tx-0,7A=t^2\cdot 0,9A-tx-0,9A+0,2A=(t^2-1)\cdot 0,9A-tx+0,2A\);
третий платеж \(a_3=(t^2-1)\cdot 0,7A-tx+0,2A\);
четвертый платеж \(a_4=(t^2-1)\cdot 0,5A-tx+0,3A\);
пятый платеж \(a_5=(t^2-1)\cdot 0,2A-tx+0,2A\).

 

Общая сумма выплат по данной карте равна сумме платежей в \(x\) рублей (их было 5) плюс сумма обязательных платежей:

 

\(5\cdot x+a_1+a_2+a_3+a_4+a_5=5x+(t^2-1)\cdot A\cdot(1+0,9+0,7+0,5+0,2)-5tx+\)

 

\(+A(0,1+0,2+0,2+0,3+0,2)=5x+(t^2-1)\cdot 3,3A-5tx+A\)

 

Тогда переплата по кредитной карте равна общей сумме выплат за вычетом суммы, взятой в кредит, то есть за вычетом \(A\), то есть переплата равна \(5x+(t^2-1)\cdot 3,3A-5tx\).

 

Значит, относительно суммы кредита переплата составила:

 

\(\dfrac{5x+(t^2-1)\cdot 3,3A-5tx}{A}\cdot 100\%= \left(3,3(t-1)(t+1)-\dfrac{5x(t-1)}{A}\right)\cdot 100\%= \)  

\(=\left( 3,3\cdot 0,04\cdot 2,04-\dfrac{5\cdot 10\,000\cdot 0,04}{800\,000}\right)\cdot 100\%=(26,928-0,25)\%=26,678\%\)

Ответ:

\(26,678\%\)

Задание 13 #2839
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Планируется выдавать кредит сроком на 3 года на следующих условиях:
— в первый и третий годы клиент обязан вносить в счет погашения кредита одну и ту же сумму;
— во второй год клиент обязан вносить в счет погашения кредита только проценты, начисленные за соответствующий текущий год.

 

Под какое наименьшее целое кратное десяти число процентов годовых необходимо выдавать такой кредит, чтобы общая сумма выплат по кредиту составляла не менее \(150\%\) от суммы кредита?

Добавить задание в избранное

Пусть кредит выдается на сумму \(A\) рублей, а платеж, который вносит клиент в первый и третий годы, равен \(x\) рублей. Пусть также \(y\%\) – годовой процент по кредиту; тогда введем переменную \(1+0,01y=p\). Составим таблицу:

\[\begin{array}{|l|c|c|c|c|} \hline \text{Год}&\text{Сумма долга до} &\text{Сумма долга после} &\text{Сумма платежа}&\text{Сумма долга}\\ &\text{начисления }\% &\text{начисления }\% & &\text{после платежа}\\ \hline 1& A & pA & x & pA-x \\ \hline 2& pA-x & pA-x+0,01y(pA-x) & 0,01y(pA-x) & pA-x\\ \hline 3& pA-x & p(pA-x) & x & p(pA-x)-x\\ \hline \end{array}\]

Заметим, что в таблице мы для наглядности записывали \(0,01y\), а не \(p-1\).

 

Т.к. кредит в конце третьего года должен быть выплачен полностью, то получаем следующее уравнение:

\[p(pA-x)-x=0 \quad \Rightarrow \quad p^2A-x(p+1)=0\]

По условию задачи общая сумма выплат должна составлять не менее \(150\%\) от суммы кредита \(A\). Значит, имеем следующее неравенство (будем писать вместо \(0,01y\) выражение \(p-1\)):

\[x+(p-1)(pA-x)+x\geqslant 1,5A \quad \Rightarrow \quad A(p^2-p)+x(3-p)\geqslant 1,5A\]

Выразим из вышеполученного уравнения \(x=\dfrac{p^2A}{p+1}\) и подставим в неравенство:

\[A(p^2-p)+(3-p)\cdot \dfrac{p^2A}{p+1}\geqslant 1,5A \quad \Rightarrow \quad \dfrac{6p^2-5p-3}{p+1}\geqslant 0\]

Т.к. \(p+1>0\), то решение данного неравенства совпадает с решением неравенства \(6p^2-5p-3\geqslant 0\).

 

Т.к. \(y\) кратно десяти, то возможные варианты для \(p\) – это \(1,1; \ 1,2; \ 1,3\) и т.д. Подставим по очереди каждое число и найдем наименьшее подходящее.
Таким образом, это \(p=1,3\): \(6\cdot 1,3^2-5\cdot 1,3-3=0,64>0\).

 

Значит, \(y=30\%\).

Ответ: 30

Задание 14 #2368
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

1 марта Евгений оплатил покупку со своей кредитной карты на \(1\,000\,000\) рублей. Условия пользования кредитной картой таковы:
— долг по карте необходимо погасить в течение 5 месяцев;
— 9 и 27 числа каждого месяца на текущий долг начисляется \(0,1\%\);
— между 9 и 27 числами каждого месяца Евгений имеет возможность внести на карту любую сумму, причем эта сумма идет сначала на погашение начисленных процентов, а оставшаяся часть - на погашение части основного долга. Таким образом, основной долг уменьшается;
— если внесенная таким образом сумма не превышает сумму начисленных процентов, то основной долг не меняется, и происходит лишь погашение части суммы начисленных процентов;
— с 28 числа и до конца месяца Евгений должен внести обязательный платеж по карте так, чтобы сумма долга каждый месяц уменьшалась на одну и ту же величину.

 

Сколько рублей составит переплата Евгения за совершенную покупку, если помимо обязательных платежей 15 числа каждого месяца Евгений будет вносить на карту \(1000\) рублей?

Добавить задание в избранное

Т.к. сумма долга каждый месяц должна уменьшаться на одну и ту же величину, а долг необходимо погасить за 5 месяцев, то это значит, что долг разбили на 5 равных частей и каждый месяц он уменьшается на одну такую часть. То есть если долг был равен \(A\) рублей, то в конце первого месяца он будет равен \(A-\frac15A=A-0,2A=0,8A\), в конце второго: \(0,8A-0,2A=0,6A\), в конце третьего: \(0,6A-0,2A=0,4A\) и т.д.

 

Составим таблицу. Для удобства введем обозначения: \(A=1000\) тыс. рублей, \(1,001=t\):

\[\small{\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline \text{Долг на 1 число}&\text{Долг на 9 число}& \text{Долг на 15 число}&\text{Долг на 27 число}&\text{Обязательный платеж}\\ \hline A & tA & tA-1 & t(tA-1) & a_1\\ \hline 0,8A & t\cdot 0,8A & t\cdot 0,8A-1 & t(t\cdot 0,8A-1) & a_2\\ \hline 0,6A & t\cdot 0,6A & t\cdot 0,6A-1 & t(t\cdot 0,6A-1) & a_3\\ \hline 0,4A & t\cdot 0,4A & t\cdot 0,4A-1 & t(t\cdot 0,4A-1) & a_4\\ \hline 0,2A & t\cdot 0,2A & t\cdot 0,2A-1 & t(t\cdot 0,2A-1) & a_5\\ \hline \end{array}}\]

Вычислим \(a_i\) платежи. Т.к. до первого обязательного платежа долг был равен \(t(tA-1)\), а после платежа должен стать равным \(0,8A\), то платеж \(a_1=t(tA-1)-0,8A=t^2A-t-A+0,2A=(t^2-1)A-t+0,2A\) (расписали \(0,8A=A-0,2A\)).

 

Аналогично второй платеж \(a_2=t^2\cdot 0,8A-t-0,6A=t^2\cdot 0,8A-t-0,8A+0,2A=(t^2-1)\cdot 0,8A-t+0,2A\);
третий платеж \(a_3=(t^2-1)\cdot 0,6A-t+0,2A\);
четвертый платеж \(a_4=(t^2-1)\cdot 0,4A-t+0,2A\);
пятый платеж \(a_5=(t^2-1)\cdot 0,2A-t+0,2A\).

 

Общая сумма выплат по данной карте равна сумме платежей в \(1\) тыс.рублей (их было 5) плюс сумма обязательных платежей:

 

\(5\cdot 1+a_1+a_2+a_3+a_4+a_5=5+(t^2-1)\cdot A\cdot(1+0,8+0,6+0,4+0,2)-5t+5\cdot 0,2 A=\)

 

\(=5+(t^2-1)\cdot 3A-5t+A\)

 

Тогда переплата по кредитной карте равна общей сумме выплат за вычетом суммы, взятой в кредит, то есть за вычетом \(A\):

\[\left(5+(t^2-1)\cdot 3A-5t+A\right)-A=3A\cdot (t^2-1)-5(t-1) \quad \Rightarrow\]

Делая подстановку \(A=1000\), \(t=1,001\), получим:

\[\Rightarrow \quad 3\cdot 1000\cdot 2,001\cdot 0,001-5\cdot 0,001= 5,998\text{ тыс.рублей}=5998 \text{ рублей}\]

Ответ:

\(5998\)

1 2 3