Планируется выдать льготный кредит на целое число миллионов рублей на четыре года. В середине каждого года действия кредита долг заемщика возрастает на \(10\%\) по сравнению с началом года. По договоренности с банком в конце первого и третьего годов заемщик выплачивает только проценты по кредиту, начисленные за соответствующий текущий год. В конце второго и четвертого годов заемщик выплачивает одинаковые суммы, погашая к концу четвертого года весь долг полностью. Найдите наименьший размер кредита в млн. рублей, при котором общая сумма выплат заемщика превысит \(100\) млн. рублей.
(Задача от подписчиков)
Пусть \(A\) – сумма кредита в млн. рублей, а \(x\) – сумма выплаты во второй и четвертый годы в млн. рублей. Составим таблицу: \[\begin{array}{|l|c|c|c|c|} \hline \text{Год}&\text{Сумма долга до}&\text{Сумма долга после} &\text{Сумма долга}&\text{Выплата}\\ &\text{начисления }\%&\text{начисления }\%&\text{после выплаты}&\\ \hline 1&A&A+0,1A&A&0,1A\\ \hline 2&A&1,1A&1,1A-x&x\\ \hline 3&1,1A-x&(1,1A-x)+0,1(1,1A-x)&1,1A-x&0,1(1,1A-x)\\ \hline 4&1,1A-x&1,1(1,1A-x)&1,1(1,1A-x)-x&x\\ \hline \end{array}\]
Т.к. в конце четвертого года заемщик выплатил весь кредит, то сумма долга после выплаты будет равна нулю, то есть \[1,1(1,1A-x)-x=0\quad\Leftrightarrow\quad x=\dfrac{121}{210}A \quad (*)\] Т.к. общая сумма выплат заемщика должна превысить \(100\) млн. рублей, то получаем следующее неравенство: \[0,1A+x+0,1(1,1A-x)+x>100\quad\Leftrightarrow\quad 21A+190x>10\,000.\] Подставим в это неравенство выражение \((*)\) и получим: \[A>\dfrac{210\,000}{2740}\quad\Rightarrow\quad A>76,...\] Т.к. \(A\) – целое число млн. рублей, то наименьшее \(A=77\) млн. рублей.
Ответ: 77