В конце четвертого курса беспечный Алеша понял, что ему не хватает денег на обучение на следующий год, поэтому на последний, пятый год обучения в университете Алеша решил взять кредит. Условия пользования кредитом следующие:
– в августе банк выдает Алеше \(976\,000\) рублей на последний год обучения с условием, что погасить кредит Алеша должен за \(4\) года;
– в первой половине декабря каждого года банк начисляет некоторое целое число \(y\) процентов на текущий долг (меньшее \(100\%\));
– во второй половине декабря каждого года, начиная со второго, Алеша делает платеж в счет погашения кредита, причем все платежи одинаковые.
Под какой процент был взят кредит в банке, если известно, что в итоге Алеша заплатил банку \(1\,875\,000\) рублей?
Обозначим за \(A=976\,000\) рублей, а также за \(t=\frac{100+y}{100}\) и за \(x\) — платеж. Составим таблицу:
\[\begin{array}{|l|c|c|c|c|} \hline \text{Год} & \text{Сумма долга до } & \text{Сумма долга после}& \text{Сумма долга} & \text{Платеж}\\ & \text{начисления }\% & \text{начисления }\% & \text{после платежа} &\\ \hline 1& A & tA & tA & \text{нет платежа}\\ \hline 2& tA & t^2A & t^2A-x & x\\ \hline 3& t^2A-x & t(t^2A-x) & t(t^2A-x)-x & x\\ \hline 4& t(t^2A-x)-x & t(t(t^2A-x)-x) & t(t(t^2A-x)-x)-x & x\\ \hline \end{array}\]
Т.к. в конце четвертого года кредит погашен полностью, то \[t(t(t^2A-x)-x)-x=0 \quad \Leftrightarrow \quad t^4A-x(t^2+t+1)=0\]
Заметим, что за годы пользования кредитом Алеша заплатил банку \(3x\) рублей, следовательно, \(3x=1\,875\,000 \quad \Rightarrow \quad x=625\,000\) рублей. Значит, получаем следующее уравнение:
\[976t^4-625(t^2+t+1)=0\]
Т.к. \(y\) – целое количество процентов, то \(t\) — конечная десятичная дробь (причем больше \(1\) и меньше \(2\)). Значит, знаменателем этой дроби в сокращенном виде могут быть числа, делящиеся только на \(2\) и на \(5\). Подберем корень данного уравнения, пользуясь тем фактом, что если уравнение с целыми коэффициентами (а у нас именно такое) имеет рациональный корень \(\frac pq\), то \(p\) — делитель \(625\), а \(q\) — делитель \(976\). Поэтому выпишем все делители этих чисел (не учитывая знак):
делители \(625\) — это \(1, 5, 25, 125, 625\);
делители \(976\) — это \(1, 2, 4, 8, 16, 61, 122, 244, 488, 976\).
Заметим, что ни один делитель \(625\) не имеет общих делителей ни с одним из делителей числа \(976\). Значит, т.к. “знаменателем этой дроби в сокращенном виде могут быть числа, делящиеся только на \(2\) и на \(5\)”, число \(q\) может быть либо \(2\), либо \(4\), либо \(8\), либо \(16\).
Т.к. \(1<t<2\), то подходящие варианты: \(\frac 54, \frac {25}{16}\).
Проверкой убеждаемся, что \(t=\frac54\) подходит в уравнение, а \(t=\frac{25}{16}\) – нет. Значит, это единственный рациональный корень данного уравнения.
То есть \(t=\dfrac54 \quad \Rightarrow \quad y=25\%\).
Ответ:
\(25\)