Математика
Русский язык

17. Сложные задачи прикладного характера

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Задачи про банковский кредит: другие схемы платежей (страница 3)

Задание 15
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

В конце четвертого курса беспечный Алеша понял, что ему не хватает денег на обучение на следующий год, поэтому на последний, пятый год обучения в университете Алеша решил взять кредит. Условия пользования кредитом следующие:
– в августе банк выдает Алеше \(976\,000\) рублей на последний год обучения с условием, что погасить кредит Алеша должен за \(4\) года;
– в первой половине декабря каждого года банк начисляет некоторое целое число \(y\) процентов на текущий долг (меньшее \(100\%\));
– во второй половине декабря каждого года, начиная со второго, Алеша делает платеж в счет погашения кредита, причем все платежи одинаковые.

 

Под какой процент был взят кредит в банке, если известно, что в итоге Алеша заплатил банку \(1\,875\,000\) рублей?

Добавить задание в избранное

Обозначим за \(A=976\,000\) рублей, а также за \(t=\frac{100+y}{100}\) и за \(x\) — платеж. Составим таблицу:

\[\begin{array}{|l|c|c|c|c|} \hline \text{Год} & \text{Сумма долга до } & \text{Сумма долга после}& \text{Сумма долга} & \text{Платеж}\\ & \text{начисления }\% & \text{начисления }\% & \text{после платежа} &\\ \hline 1& A & tA & tA & \text{нет платежа}\\ \hline 2& tA & t^2A & t^2A-x & x\\ \hline 3& t^2A-x & t(t^2A-x) & t(t^2A-x)-x & x\\ \hline 4& t(t^2A-x)-x & t(t(t^2A-x)-x) & t(t(t^2A-x)-x)-x & x\\ \hline \end{array}\]

Т.к. в конце четвертого года кредит погашен полностью, то \[t(t(t^2A-x)-x)-x=0 \quad \Leftrightarrow \quad t^4A-x(t^2+t+1)=0\]

Заметим, что за годы пользования кредитом Алеша заплатил банку \(3x\) рублей, следовательно, \(3x=1\,875\,000 \quad \Rightarrow \quad x=625\,000\) рублей. Значит, получаем следующее уравнение:

\[976t^4-625(t^2+t+1)=0\]

Т.к. \(y\) – целое количество процентов, то \(t\) — конечная десятичная дробь (причем больше \(1\) и меньше \(2\)). Значит, знаменателем этой дроби в сокращенном виде могут быть числа, делящиеся только на \(2\) и на \(5\). Подберем корень данного уравнения, пользуясь тем фактом, что если уравнение с целыми коэффициентами (а у нас именно такое) имеет рациональный корень \(\frac pq\), то \(p\) — делитель \(625\), а \(q\) — делитель \(976\). Поэтому выпишем все делители этих чисел (не учитывая знак):

делители \(625\) — это \(1, 5, 25, 125, 625\);
делители \(976\) — это \(1, 2, 4, 8, 16, 61, 122, 244, 488, 976\).

 

Заметим, что ни один делитель \(625\) не имеет общих делителей ни с одним из делителей числа \(976\). Значит, т.к. “знаменателем этой дроби в сокращенном виде могут быть числа, делящиеся только на \(2\) и на \(5\)”, число \(q\) может быть либо \(2\), либо \(4\), либо \(8\), либо \(16\).

 

Т.к. \(1<t<2\), то подходящие варианты: \(\frac 54, \frac {25}{16}\).

 

Проверкой убеждаемся, что \(t=\frac54\) подходит в уравнение, а \(t=\frac{25}{16}\) – нет. Значит, это единственный рациональный корень данного уравнения.

 

То есть \(t=\dfrac54 \quad \Rightarrow \quad y=25\%\).

Ответ:

\(25\)

Задание 16
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

На последние два года обучения в ВУЗе студент вынужден был взять образовательный кредит. Условия пользования кредитом таковы:
– пока он учится, гасить кредит не нужно, но за пользование кредитом банк начисляет целое число \(y\) процентов, причем \(y\) кратно пяти;
– каждый год в течение обучения студента банк перечисляет на счет ВУЗа сумму, равную сумме годового обучения в ВУЗе;
– один раз в конце каждого года в течение обучения банк начисляет \(y \%\) на сумму, которую на данный момент клиент должен банку;
– по окончании обучения в течение двух лет клиент обязан выплачивать кредит равными ежегодными платежами после начисления процентов;
– в течение того времени, как клиент выплачивает кредит, банк увеличивает процентную ставку в два раза.
Под какое наименьшее \(y \%\) студент должен взять кредит, чтобы в итоге переплата банку составила \(115,6\%\) от кредита.

Добавить задание в избранное

Составим таблицу пользования кредит в течение \(4\) лет (\(1\) и \(2\) - пока студент учится, \(3\) и \(4\) - пока студент выплачивает кредит), обозначив за \(t=1+0,01y, \ p=1+0,01\cdot 2y, \ A\) – стоимость годового обучения в ВУЗе, \(x\) – ежегодный платеж в последние два года: \[\begin{array}{|l|c|c|c|} \hline \text{Год} & \text{Сумма долга до начисления }\% & \text{Сумма долга после начисления }\%& \text{Сумма долга после платежа}\\ \hline 1& A&tA & \text{не вносит платеж}\\ \hline 2& tA+A&t(tA+A)=B &\text{не вносит платеж}\\ \hline 3& B&pB &pB-x\\ \hline 4& pB-x &p(pB-x) &p(pB-x)-x\\ \hline \end{array}\]

Т.к. в конце 4-ого года кредит выплачен, то \(p(pB-x)-x=0 \ (*)\).

 

Заметим, что всего у банка было взято \(2A\) рублей (за \(2\) года обучения), а в итоге выплачено банку было \(2x\) рублей. Таким образом, переплата банку равна \(2x-2A\) рублей.

 

Необходимо, чтобы переплата составляла \(115,6 \%\) от суммы кредита, т.е. \(2x-2A=1,156\cdot 2A \Rightarrow x=2,156A\).

Выразим из \((*)\), чему равен ежегодный платеж \(x=\dfrac{p^2B}{p+1} \Rightarrow\)

\(\dfrac{p^2t(t+1)A}{p+1}=2,156A\) (обе части равенства можно разделить на \(A\)).

Сделав обратную замену \(t=1+0,01y, \ p=1+0,01\cdot 2y\), получим уравнение на \(y\): \[y^3 +300y^2 +22500y-578000=0.\]

Т.к. по условию сказано, что \(y\) - целое число, кратное пяти, то возможные значения \(y: 5, \ 10, \ 15, \ 20, \ 25, \cdots\)
Подставляя по очереди данные значения, находим, что наименьшее подходящее \(y=20 \%\).

Ответ:

\(20 \%\).

Задание 17
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

В связи с невозможностью полностью оплатить свое обучение, семья Коли была вынуждена взять кредит на \(4\) года, чтобы оплатить последние \(2\) года его обучения. Условия пользования кредитом таковы:
– пока Коля учится, гасить кредит не нужно, но за пользование кредитом банк начисляет проценты;
– каждый год в течение обучения Коли банк перечисляет на счет Образовательного учреждения сумму, равную сумме годового обучения в Образовательном учреждении;
– один раз в конце каждого года в течение времени пользования кредитом банк начисляет целое кратное десяти число \(y\) процентов на сумму, которую на данный момент семья Коли должна банку;
– по окончании обучения семья Коли обязана начать выплачивать кредит равными ежегодными платежами после начисления процентов.
Найдите наибольшее возможное число \(y\), чтобы общая переплата по кредиту не превысила \(40 \%\) от стоимости кредита.

Добавить задание в избранное

Составим таблицу для первых двух лет (пока Коля учится), обозначив за \(A\) стоимость годового обучения, а за \(t=\dfrac{100+y}{100}\): \[\begin{array}{|l|c|c|} \hline \text{Год} & \text{Сумма долга до начисления }\% & \text{Сумма долга после начисления }\%\\ \hline 1& A & tA \\ \hline 2& tA+A & t(tA+A)=B\\ \hline \end{array}\]

В течение следующих двух лет семья Коли начинает вносить в банк равные ежегодные платежи, чтобы выплатить кредит. Обозначим за \(x\) этот ежегодный платеж: \[\begin{array}{|l|c|c|c|} \hline \text{Год} & \text{Сумма долга до начисления }\% & \text{Сумма долга после начисления }\%& \text{Сумма долга после платежа}\\ \hline 3& B & tB & tB-x \\ \hline 4& tB-x & t(tB-x) & t(tB-x)-x\\ \hline \end{array}\]

Т.к. к концу \(4\)-ого года семья должна выплатить кредит, то \(t(tB-x)-x=0\). Сделав подстановку \(B=t(tA+A)\), получим:

 

\((t+1)(t^3A-x)=0 \Rightarrow x=t^3 A\). Таким образом, всего банку семья Коли заплатит \(2x\) рублей.

 

Заметим, что при такой системе в долг у банка семья Коли взяла \(2A\) рублей (сумму за два года обучения), таким образом, переплата составила \(2x-2A\). По условию переплата не должна превышать \(40 \%\) от стоимости кредита, т.е.

\[2x-2A \leqslant 0,4\cdot 2A \Rightarrow x\leqslant 1,4A \Rightarrow t^3 \leqslant 1,4\]

Так как \(y\) кратно десяти, то возможные варианты для \(t\) – это \(1,1; \ 1,2; \ 1,3\) и т.д. Заметим, что \(1,2^2\) уже равно \(1,44\), то есть \(1,2^3>1,4\). Следовательно, единственный подходящий вариант – это \(t=1,1\).
Проверим: \(1,1^2=1,21\), а \(1,1^3=1,21\cdot 1,1=1,331\). Следовательно, действительно, \(t=1,1\), а значит \(y=10\%\).

Ответ:

\(10\%\).

Задание 18
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

На развитие бизнеса в банке был взят кредит сроком на 7 лет на следующих условиях:
— раз в год в сентябре в течение первых двух лет банк выдает заемщику 10 млн. рублей;
— каждый год в декабре банк начисляет на текущий долг \(10\%\);
— в течение первых двух лет раз в год (после начисления процентов) заемщик вносит платеж в счет погашения кредита, равный \(y\%\) от текущего долга;
— начиная с третьего года заемщик обязан выплатить кредит дифференцированными платежами, вносимыми после начисления процентов.

Известно, что переплата по такому кредиту составит \(9\,456\,075\) рублей. Найдите \(y\).

Добавить задание в избранное

Составим таблицу для первых двух лет пользования кредитом (все суммы вычисляются в рублях). Для этого обозначим величину \(0,01y=p\). Пусть пока \(10^7=A\) – сумма, которую банк выдает заемщику раз в год, \(t=\dfrac{110}{100}=1,1\). \[\begin{array}{|l|c|c|c|} \hline \text{Год}&\text{Долг до начисления }\%&\text{Долг после начисления }\% &\text{Платеж}\\ \hline 1 & A & tA & p \cdot tA\\ \hline 2 & (1-p)\cdot tA+A & t((1-p)\cdot tA+A) & p\cdot t((1-p)\cdot tA+A)\\ \hline \end{array}\]

Тогда после второго платежа, то есть в начале 3-его года, долг будет равен \[(1-p)\cdot t((1-p)\cdot tA+A)=B\]

Начиная с этого, 3-его, года, заемщик обязан в течение пяти лет выплатить кредит дифференцированными платежами. Составим еще одну таблицу: \[{\small{\begin{array}{|l|c|c|c|} \hline \text{Год}&\text{Долг до начисления }\%&\text{Долг после начисления }\% &\text{Платеж}\\ \hline &&&\\ 1 & B & B+(t-1)B & (t-1)B+\dfrac15B\\ &&&\\ \hline &&&\\ 2 & \dfrac45B & \dfrac45B+(t-1)\cdot \dfrac45B & (t-1)\cdot \dfrac45B+\dfrac15B\\ &&&\\ \hline &&&\\ ... & ... & ... & ...\\ &&&\\ \hline &&&\\ 5 & \dfrac15B & \dfrac15B+(t-1)\cdot \dfrac15B & (t-1)\cdot \dfrac15B+\dfrac15B\\ &&&\\ \hline \end{array}}}\]

Таким образом, за последние 5 лет он заплатил банку \[\begin{aligned} &(t-1)B+\dfrac15B+(t-1)\cdot \dfrac45B+\dfrac15B+\dots+(t-1)\cdot \dfrac15B+\dfrac15B=\\ &= (t-1)B\cdot \left(1+\dfrac45+\dots+\dfrac15\right)+5\cdot \dfrac15B=(t-1)B\cdot 3+B=(3t-2)B \end{aligned}\]

За первые два года он заплатил банку: \[(p \cdot tA)+(p\cdot t((1-p)\cdot tA+A))= (2\cdot tp+p(1-p)\cdot t^2)A\]

Следовательно, за все годы пользования кредитом заемщик заплатил банку \[\bigg(2pt+p(1-p)t^2+(3t-2)((1-p)^2t^2+(1-p)t)\bigg)A=C\]

Обозначим \(1-p=x\). Тогда: \[C=\bigg(2t-2xt+x(1-x)t^2+3x^2t^3-2x^2t^2+3xt^2-2xt\bigg)A= \bigg(3x^2t^2(t-1)+4xt(t-1)+2t\bigg)A\]

Тогда переплата по кредиту равна (учитывая, что в сумме заемщик взял в банке \(2A\) рублей): \[Per=C-2A=\bigg(3x^2t^2(t-1)+4xt(t-1)+2t-2\bigg)A= \bigg(3(xt)^2+4(xt)+2\bigg)(t-1)A= \dfrac{((3xt+2)^2+2)}3(t-1)A\]

Таким образом, мы получили уравнение: \[Per= \dfrac{((3xt+2)^2+2)}3(t-1)A\]

Следовательно, \[x=\dfrac1{3t}\left(\sqrt{\dfrac{3Per}{A(t-1)}-2}-2\right)\]

Теперь подставим: \(t=1,1; \ A=10^7; \ Per=9\,456\,075\) и найдем \(x\): \[x=\dfrac1{3\cdot 1,1}\left(\sqrt{\dfrac{26\,368\,225}{10^6}}-2\right)= \dfrac1{3\cdot 1,1}\left(\dfrac{5\cdot 13\cdot 79}{10^3}-2\right)=\dfrac{95}{100}\]

Следовательно, \(p=1-x=0,05\), откуда \(y=100p=5\%\).

Ответ: 5