Математика
Русский язык

17. Сложные задачи прикладного характера

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Задачи про банковский вклад (страница 2)

Банковский вклад — это сумма денег, переданная банку на хранение с целью получить доход в виде начисленных процентов.

 

Раз в какой-то промежуток времени (в задачах это, как правило, месяц или год) банк начисляет на текущую сумму некоторое количество \(r\%\) процентов.

 

Раз в год после начисления процентов клиент, как правило, имеет право доложить на счет любую сумму денег. Также клиент имеет право снимать со счета любую сумму (естественно, не превышающую имеющуюся). Время, когда он может это сделать, указывается в задаче.

 

Пример: В январе \(2014\) года клиент положил в банк \(30\,000\) рублей под \(10\%\) годовых, которые банк начисляет раз в год в декабре. Сколько рублей будет на счете у клиента в январе \(2017\) года?

 

То, что банк начисляет на текущую сумму \(10\%\), значит, что после начисления процентов сумма будет составлять \(110\%\) от суммы, находящейся на счете до начисления процентов.
Составим таблицу: \[\begin{array}{|l|c|c|} \hline \text{Год}&\text{Сумма на счете до начисления} \ \%&\text{Сумма на счете после начисления} \ \%\\ &\text{(январь)}&\text{(декабрь)}\\ \hline 2014&30\,000&1,1\cdot 30\,000\\ \hline 2015&1,1\cdot 30\,000&1,1^2\cdot 30\,000\\ \hline 2016&1,1^2\cdot 30\,000&1,1^3\cdot 30\,000\\ \hline \end{array}\]

Таким образом, в декабре \(2016\) года после начисления процентов на счете у клиента будет \(1,1^3\cdot 30\,000\) рублей. Эта же сумма будет у него на счете и в январе \(2017\) года (т.к. проценты начисляются только в декабре).

 

Значит, ответом будет \(39\,930\) рублей.

Задание 8
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

В банке был оформлен вклад. Каждые четыре месяца банк увеличивает сумму, находящую на счете по вкладу, на некоторое количество процентов. Причем известно, что в первом году этот процент был равен \(y\), а во втором году был равен \(5y\). При каком наименьшем целом кратном пяти \(y\) сумма, находящая на счете спустя 2 года сотрудничества с банком, превысит первоначальную как минимум на \(72,8\%\)?

Добавить задание в избранное

Пусть для определенности банк начисляет проценты в январе, мае, сентябре. Пусть было положено \(A\) рублей в банк. Составим таблицу: \[\begin{array}{|l|c|c|c|} \hline \text{Номер года}&\text{Сумма в январе} &\text{Сумма в мае}&\text{Сумма в сентябре}\\ \hline 1& (1+0,01y)A & (1+0,01y)^2A & (1+0,01y)^3A \\ \hline 2& (1+0,01\cdot 5y)(1+0,01y)^3A & (1+0,05y)^2(1+0,01y)^3A & (1+0,05y)^3(1+0,01y)^3A\\ \hline \end{array}\]

Таким образом, спустя 2 года на счете было \[(1+0,05y)^3(1+0,01y)^3A \quad {\small{\text{рублей}}}\]

По условию эта сумма должна превысить первоначальную, то есть \(A\), как минимум на \(72,8\%\). Следовательно, эта сумма составляет как минимум \(172,8\%\) от \(A\). Значит, \[(1+0,05y)^3(1+0,01y)^3A\geqslant1,728A\] Обозначим \(0,01y=x\) и получим следующее уравнение: \[\Big((1+5x)(1+x)\Big)^3\geqslant 1,728\]

Разложим на множители число \(1728=2^6\cdot 3^3\). Следовательно, \(1728=(2^2\cdot 3)^3\). Следовательно, \(1,728=1,2^3\). Следовательно, неравенство можно переписать в виде: \[(1+5x)(1+x)\geqslant 1,2 \quad\Rightarrow\quad x\geqslant \dfrac{\sqrt{10}-3}5, \quad {\small{\text{так как }}}x>0\]

Следовательно, \(y=100x\geqslant 20(\sqrt{10}-3)\). Так как \(3<\sqrt{10}<3,5\), то \(0<20(\sqrt{10}-3)<10\). Следовательно, проверим \(y=5\): \[5\geqslant 20(\sqrt{10}-3) \quad\Leftrightarrow\quad 169\geqslant 160 \quad - {\small{\text{верно.}}}\]

Следовательно, \(y=5\).

Ответ: 5

Задание 9
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Елена решила сделать вклад в банк в размере \(351\,000\) рублей под целое кратное десяти число \(y \%\) годовых. Найдите наибольшее возможное \(y\), чтобы к началу третьего года сумма на счете Елены не превысила \(1\,092\,000\) рублей. Известно, что Елена планирует в конце первого и второго годов дополнительно после начисления процентов вносить на счет треть от суммы, имеющейся на счете на начало текущего года.

Добавить задание в избранное

Составим таблицу, обозначив за \(t=\dfrac{100+y}{100}, \ A=351\,000\): \[\begin{array}{|l|c|c|c|} \hline \text{Год} & \text{Сумма на счете} & \text{Сумма на счете} & \text{Сумма на счете}\\ & \text{до начисления }\% & \text{после начисления }\% & \text{после дополнительного взноса} \\ \hline &&&\\ 1 & A & t A & t A+\dfrac{1}{3}A\\ &&&\\ \hline &&&\\ 2 & tA+\dfrac{1}{3}A & t\left(tA+\dfrac{1}{3}A\right) & t\left(tA+\dfrac{1}{3}A\right)+\dfrac{1}{3}\left(tA+\dfrac{1}{3}A\right) \\ &&&\\ \hline \end{array}\]

Таким образом, на начало третьего года на счете у Елены будет та же сумма, которая была на счете на конец второго года после начисления процентов и после внесения второго дополнительного взноса, т.е.

\(t\left(tA+\dfrac{1}{3}A\right)+\dfrac{1}{3}\left(tA+\dfrac{1}{3}A\right)\).

Необходимо, чтобы \(t(tA+\dfrac{1}{3}A)+\dfrac{1}{3}(tA+\dfrac{1}{3}A) \leqslant 1\,092\,000\)

Заметим, что \(1\,092\,000=\dfrac{28\cdot 351\,000}{9}=\dfrac{28}{9}A \Rightarrow\) неравенство примет вид: \[3t^2+2t-9 \leqslant 0 \quad \Rightarrow \quad t \leqslant \dfrac{2\sqrt7-1}{3},\] т.к. \(t>0\).

Т.к. \(\sqrt7<3\), то \(\dfrac{2\sqrt7-1}3<\frac53=1,(6)\).

Следовательно, учитывая то, что \(y\) кратно десяти, то искомое \(t\) будет среди чисел \(1,1; \ 1,2; \ 1,3; \ 1,4; \ 1,5\) и \(1,6\).
Подставив все числа в неравенство, найдем, что наибольшее \(t=1,4\), т.к.:
\(3\cdot 1,4^2+2\cdot 1,4-9=-0,32<0\), а вот уже \(3\cdot 1,5^2+2\cdot 1,5-9=0,75>0\).

 

Следовательно \(t=1,4\), а значит \(y=40\%\).

 

Заметим, что число \(\sqrt7\) можно было бы оценить точнее, если лучше помнить таблицу квадратов. Например, \(\sqrt7<2,7^2=7,29\), а значит \(\dfrac{2\sqrt7-1}3<\dfrac{22}{15}=1,4(6)\).

Ответ:

\(40\%\).

Задание 10
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

В начале 2000 года некий обеспеченный человек сделал вклад в размере \(151\,807\,041\) рубль под целое число \(y\) процентов годовых. Причем в течение первых 10 лет снимать со счета он мог только такую сумму, чтобы размер вклада не становился меньше первоначального. Через месяц после этого ему срочно понадобился \(251\,807\,041\) рубль, поэтому он вынужден был взять кредит под \(11\%\) годовых на 8 лет, который необходимо было выплачивать аннуитетными платежами. Найдите наименьшее число \(y\), чтобы суммы, которую он может снимать со счета на вкладе, было достаточно для того, чтобы вносить платежи в счет погашения кредита.

Добавить задание в избранное

Рассмотрим вклад. Пусть \(S=151\,807\,041\) руб. Тогда в первый год вклад увеличится на \(0,01y\cdot S\). Это и есть максимальная сумма, которую человек может снять со своего счета. Следовательно, во второй год вклад увеличится как минимум на столько же.

 

Рассмотрим кредит. Обозначим \(A=251\,807\,041\) руб. Составим таблицу, где \(x\) – ежегодный платеж по кредиту. \[\begin{array}{|l|c|c|c|} \hline \text{Номер года}&\text{Долг до начисления }\% &\text{Долг после начисления }\%&\text{Долг после платежа}\\ \hline 1&A&1,11A&1,11A-x\\ \hline 2&1,11A-x&1,11(1,11A-x)&1,11(1,11A-x)-x=\\ &&&=1,11^2A-x(1,11+1)\\ \hline ...&...&...&...\\ \hline 8&1,11^7A-x(1,11^6+\dots+1)&1,11(1,11^7A-x(1,11^6+\dots+1)) &1,11^8A-x(1,11^7+\dots+1)\\ \hline \end{array}\]

Так как в конце восьмого года долг должен быть выплачен, то \[\begin{aligned} &1,11^8A-x(1,11^7+\dots+1)=0 \quad\Leftrightarrow\quad\\[3ex] &x=\dfrac{1,11^8A}{1,11^7+\dots+1}=\dfrac{1,11^8A\cdot (1,11-1)}{1,11^8-1}=\\[3ex] &=\dfrac{1,11^8A\cdot (1,11-1)}{(1,11^4+1)(1,11^2+1)(1,11+1)(1,11-1)}=\\[3ex] &= \dfrac{1,11^8A}{(1,11^4+1)(1,11^2+1)(1,11+1)} \end{aligned}\]

Следовательно, нужно, чтобы \[0,01y\cdot S\geqslant x \quad\Rightarrow\quad y\geqslant \dfrac{1,11^8\cdot 100}{(1,11^4+1)(1,11^2+1)(1,11+1)}\cdot \dfrac AS\]

Выполним умножение:
\(1,11^2=1,2321; \qquad 1,11^4=1,2321^2=1,51807041\).
Следовательно, неравенство примет вид: \[y\geqslant \dfrac{1,51807041\cdot 1,51807041\cdot 100}{2,51807041\cdot 2,2321\cdot 2,11} \cdot \dfrac{251\,807\,041}{151\,807\,041}\]

Выполним сокращения, получаем: \[y\geqslant \dfrac{151\,807\,041}{211\cdot 22321}\]

Разделим в столбик эту “некрасивую” дробь и получим \[\dfrac{151\,807\,041}{211\cdot 22321}\sim 32,...\]

Следовательно, наименьшее целое \(y=33\).

Ответ: 33

Задание 11
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

В феврале \(2015\) года Дмитрий решил сделать вклад в банк в размере \(A\) рублей на следующих условиях:
– каждый год в декабре, начиная с \(2015\), банк начисляет целое кратное десяти число \(y\) процентов на сумму, находящуюся на счете в феврале текущего года;
– раз в год в январе Дмитрий имеет право снять некоторую сумму со своего счета.
Хитрый Дмитрий решил, начиная с января \(2017\) года, снимать со своего счета сначала \(A\) рублей, затем \(2A\), и затем снова \(A\). Какое должно быть наименьшее возможное число \(y\), чтобы Дмитрию удалось это сделать?

Добавить задание в избранное

Составим таблицу, обозначив за \(t=\dfrac{100+y}{100}\): \[\begin{array}{|l|c|c|} \hline \text{Год} & \text{Сумма на счете до} & \text{Сумма на счете после}\\ &\text{начисления }\%\text{(февраль)} & \text{начисления }\%\text{(декабрь)}\\ \hline 2015 & A & tA\\ \hline 2016 & tA & t^2A\\ \hline 2017 & t^2A-A & t(t^2A-A)\\ \hline 2018 & t(t^2A-A)-2A & t(t(t^2A-A)-2A)\\ \hline 2019 & t(t(t^2A-A)-2A)-A &\\ \hline \end{array}\]

Для того, чтобы Дмитрию удалось сделать то, что он задумал, нужно:
\[\begin{cases} \begin{aligned} & t^2A-A \geqslant 0\\ & t(t^2A-A)-2A \geqslant0\\ & t(t(t^2A-A)-2A)-A \geqslant0 \end{aligned} \end{cases}\]

(т.к. он не может снять со счета больше, чем есть на счете в данный момент)

Заметим, что, т.к. \(t>1 \Rightarrow A(t^2-1) \geqslant0\) при всех \(t\).
Рассмотрим другие два неравенства:
\[\begin{cases} \begin{aligned} & t^3-t-2 \geqslant0\\ & t^4-t^2-2t-1 \geqslant0 \end{aligned} \end{cases}\]
Заметим, что если выполнено \(t^4-t^2-2t-1 \geqslant0\), то \(t^3-t-2 \geqslant \dfrac{1}{t}>0\), т.к. \(t>1\). Т.е. при тех значениях \(t\), при которых выполнено второе неравенство, выполнено и первое неравенство. Значит, решим только второе неравенство:
\[t^4-(t+1)^2 \geqslant0 \Rightarrow (t^2-t-1)(t^2+t+1) \geqslant0 \Rightarrow t \geqslant \dfrac{1+\sqrt5}{2}\]
Сделав обратную замену, получим: \(y\geqslant 50(\sqrt5-1)\). Т.к. \(\sqrt5>2\), то \(50(\sqrt5-1)>50\). Следовательно, возможные варианты для \(y\) – это \(60; 70; 80\) и т.д. Проверкой убеждаемся, что подходит \(y=70\), т.к.:
\(70>50(\sqrt5-1) \quad\Leftrightarrow\quad 12>5\sqrt5\quad\Leftrightarrow\quad 144>125\quad\) — верно.

Ответ:

\(70 \%\).

Задание 12
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Клиент хочет сделать вклад на три года и выбирает между двумя банками:
— первый банк в конце каждого года планирует увеличивать сумму, имеющуюся на счете в начале года, на \(10\%\);
— второй банк – увеличивать эту сумму в первый год на \(4\%\), во второй год — на \(y\%\), а в третий – на \(2y\%\).

 

Найдите наименьшее целое кратное пяти число \(y\), чтобы предложение второго банка в течение трех лет хранения вклада оказалось выгоднее предложения первого банка.

Добавить задание в избранное

Пусть планируется сделать вклад на сумму \(A\) рублей. Составим таблицу для первого банка:

\[\begin{array}{l|c|c} \hline \text{Год}&\text{Сумма на счете до}&\text{Сумма на счете после}\\ &\text{начисления процентов}&\text{начисления процентов}\\ \hline 1&A&1,1A\\ \hline 2&1,1A&1,1^2A\\ \hline 3&1,1^2A&1,1^3A\\ \hline \end{array}\]

Таким образом, сумма на счете после трех лет хранения в этом банке будет равна \(1,1^3A\) рублей.

 

Составим таблицу для второго банка, используя обозначение \(0,01y=t\).

\[\begin{array}{l|c|c} \hline \text{Год}&\text{Сумма на счете до}&\text{Сумма на счете после}\\ &\text{начисления процентов}&\text{начисления процентов}\\ \hline 1&A&1,04A\\ \hline 2&1,04A&(1+t)\cdot1,04A\\ \hline 3&(1+t)\cdot 1,04A&(1+2t)(1+t)\cdot 1,04A\\ \hline \end{array}\]

Таким образом, сумма на счете во втором банке в конце третьего года будет равна \((1+2t)(1+t)\cdot 1,04A\) рублей.

 

Т.к. необходимо, чтобы второй банк стал выгоднее первого, то должно выполнять неравенство:

\[(1+2t)(1+t)\cdot 1,04A>1,1^3A \quad \Rightarrow \quad 2080t^2+3120t-291>0\]

Т.к. \(y\) кратно пяти, то возможные варианты для \(t\) – это \(0,05; \ 0,1; \ 0,15; \ 0,2\) и т.д. Подставляя их в полученное неравенство, найдем наименьшее подходящее \(t=0,1\), т.к.

при \(t=0,05\) имеем \(2080\cdot 0,05^2+3120\cdot 0,05-291=-129,8<0\),
а вот уже при \(t=0,1\) имеем \(2080\cdot 0,1^2+3120\cdot 0,1-291=41,8>0\).

 

Следовательно, \(t=0,1\), а значит \(y=10\%\).

Ответ: 10

Задание 13
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Банк предоставляет следующие условия по оформлению вкладов:
– два раза в год банк начисляет на вклад некоторый процент;
– в первый год банк начисляет целое кратное десяти число \(y\) процентов;
– в каждый следующий год процент становится в два раза больше процента в предыдущем году.

Найдите \(y\), если известно, что спустя 3 года сумма на счете превысила первоначальную на \(241,5104\%\).

Добавить задание в избранное

Пусть для определенности банк начисляет проценты в январе и июле. Пусть было положено \(A\) рублей в банк. Составим таблицу: \[\begin{array}{|l|c|c|} \hline \text{Номер года}&\text{Сумма в январе} &\text{Сумма в июле}\\ \hline 1& (1+0,01y)A & (1+0,01y)^2A \\ \hline 2& (1+0,01\cdot 2y)(1+0,01y)^2A & (1+0,01\cdot 2y)^2(1+0,01y)^2A \\ \hline 3& (1+0,01\cdot 4y)(1+0,01\cdot 2y)^2(1+0,01y)^2A & (1+0,01\cdot 4y)^2(1+0,01\cdot 2y)^2(1+0,01y)^2A \\ \hline \end{array}\]

Таким образом, спустя 3 года на счете было \[(1+0,01\cdot 4y)^2(1+0,01\cdot 2y)^2(1+0,01y)^2A \quad {\small{\text{рублей}}}\]

По условию эта сумма превышает первоначальную, то есть \(A\), на \(241,5104\%\). Следовательно, эта сумма составляет \(341,5104\%\) от \(A\). Значит, \[(1+0,01\cdot 4y)^2(1+0,01\cdot 2y)^2(1+0,01y)^2A=3,415104A\] Обозначим \(0,01y=x\) и получим следующее уравнение: \[\Big((1+4x)(1+2x)(1+x)\Big)^2=3,415104\]

Разложим на множители число \(3\,415\,104=2^6\cdot 3^2\cdot 11^2\cdot 7^2\). Следовательно, \(3\,415\,104=(2^3\cdot 3\cdot 11\cdot 7)^2\). Следовательно, \(3,415104=1,848\). Следовательно, уравнение можно переписать в виде: \[(1+4x)(1+2x)(1+x)=1,848\]

Так как \(y\) кратно десяти, то \(y=10; \ 20; \ 30\) и т.д. Следовательно, \(x=\frac1{10}; \ \frac1{5}; \ \frac3{10}\) и т.д. Подставляя по очереди эти числа, видим, что первое значение \(x=\frac1{10}=0,1\) подходит: \[(1+0,4)(1+0,2)(1+0,1)=1,848 \quad\Leftrightarrow\quad 1,848=1,848\] Следовательно, \(y=10\).

Ответ: 10

Задание 14
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Иван положил в банк некоторую сумму денег на 4 года. Перед началом каждого года он выбирает одну из двух схем начисления прибыли в наступающем году:
1) к его счету прибавляется \(10\%\) от находящейся на счете суммы;
2) к его счету прибавляется \(5\%\) от находящейся на счете суммы и еще \(50\,000\) рублей.
Известно, что по прошествии 4 лет Иван максимально может получить \(417\,967\) рублей прибыли, если будет оптимально выбирать схему начисления прибыли. Сколько рублей положил Иван на счет в банке?
Если возможно несколько вариантов ответа, найдите хотя бы один.

 

(Задача от подписчиков)

Добавить задание в избранное

Пусть в какой-то год на счете у Ивана будет \(A\) рублей. Определим, каким должно быть \(A\), чтобы ему было выгодно выбрать схему 1.
Если он выберет схему 1, то его прибыль в этом году составит \(0,1A\) рублей. Если схему 2 – то \(0,05A+50\,000\). Если схема 1 должна быть выгоднее, то прибыль в случае выбора схемы 1 должна быть больше: \[0,1A>0,05A+50\,000 \quad\Rightarrow\quad A>1\,000\,000\] Заметим, что если \(A=1\,000\,000\), то это значит, что прибыль и для схемы 1, и для схемы 2 будет одинаковой. Таким образом, если в какой-то год на счете у Ивана окажется не меньше \(1\,000\,000\), то ему выгоднее выбирать схему 1 и в этот год, и в последующие (так как дальше сумма на счете будет только увеличиваться). Если сумма на счете в какой-то год меньше \(1\,000\,000\), то ему выгодно в этот год выбирать схему 2 и так до тех пор, пока сумма на счете не станет \(\geqslant 1\,000\,000\); после этого ему выгоднее выбирать схему 1.
Таким образом, мы доказали, что не может быть такого, что Ивану в какой-то год выгодно выбрать схему 1, а потом – схему 2.

 

1) Последовательность выбора схем: \(1, 1, 1, 1\).
Пусть Иван изначально положил на счет \(A\geqslant 1\,000\,000\). Тогда он сразу выбирает схему 1 на все 4 года и сумма на счете через 4 года будет равна \(1,1^4\cdot A\). Значит, прибыль будет равна \(1,1^4\cdot A-A\). Проверим, может ли эта прибыль принимать максимальное значение, равное \(417\,967\): \[1,1^4A-A\leqslant 417\,967\quad\Rightarrow\quad A\leqslant \dfrac{417\,967}{4641}\cdot 10^4\] Число \(\dfrac{417\,967}{4641}\cdot 10^4\) меньше \(1\,000\,000\). Следовательно, мы получили противоречие (ведь мы рассматривали случай, когда \(A\geqslant 1\,000\,000\)).

 

2) Последовательность выбора схем: \(2, 1, 1, 1\).
Пусть Иван положил на счет \(A<1\,000\,000\), то есть в первый год ему выгодно выбрать схему 2, но уже в начале второго года ему стало выгодно выбрать схему 1. Сумма на счете в начале второго года будет равна \(1,05A+50\,000\), значит, чтобы ему выгодно было выбрать схему 1, эта сумма должна быть не меньше \(1\,000\,000\): \[1,05A+50\,000\geqslant 1\,000\,000 \quad\Rightarrow\quad A\geqslant \dfrac{19}{21}\cdot 10^6\] Таким образом, мы получили границы для \(A\): \[\dfrac{19}{21}\cdot 10^6\leqslant A<1\,000\,000 \quad(*)\] В этом случае прибыль в конце 4 года будет равна \[1,1^3(1,05A+50\,000)-A\] Поступим аналогично первому случаю: \[1,1^3(1,05A+50\,000)-A\leqslant 417\,967 \quad\Rightarrow\quad A\leqslant \dfrac{351\,417}{397\,550}\cdot 10^6\] Проверим, есть ли пересечения у полученного множества значений для \(A\) с \((*)\). Для этого нужно сравнить числа \[\dfrac{351\,417}{397\,550}\cdot 10^6 \lor \dfrac{19}{21}\cdot 10^6\] Опуская вычисления, получим: \[\dfrac{351\,417}{397\,550}\cdot 10^6 < \dfrac{19}{21}\cdot 10^6\] Таким образом, пересечений нет, то есть нет ни одного значения \(A\), подходящего для этого случая.

 

3) Последовательность выбора схем: \(2, 2, 1, 1\).
Пусть в первые два года Ивану было выгодно выбирать схему 2, а дальше – схему 1. Это значит, что на начало третьего года на счете у него будет сумма, больше или равная \(1\,000\,000\): \[1,05(1,05A+50\,000)+50\,000\geqslant 1\,000\,000 \quad\Rightarrow\quad A\geqslant \dfrac{359}{441}\cdot 10^6\] А также это значит, что в начале второго года сумма была все еще меньше \(1\,000\,000\): \[1,05A+50\,000<1\,000\,000\quad\Rightarrow\quad A<\dfrac{19}{21}\cdot 10^6\] Таким образом, \(A\) должно быть таким: \[\dfrac{359}{441}\cdot 10^6\leqslant A<\dfrac{19}{21}\cdot 10^6 \quad (**)\] Прибыль в конце 4 года будет равна \[1,1^2\cdot (1,05(1,05A+50\,000)+50\,000)-A\] Поступаем аналогично предыдущим случаям: \[1,1^2\cdot (1,05(1,05A+50\,000)+50\,000)-A\leqslant 417\,967 \quad\Rightarrow\quad A\leqslant 880\,000\quad (***)\] Опять пересечем полученные решения с \((**)\). Так как \[\dfrac{359}{441}\cdot 10^6<880\,000\] и \[880\,000<\dfrac{19}{21}\cdot 10^6\] то нам подходят такие \(A\): \[\dfrac{359}{441}\cdot 10^6\leqslant A\leqslant 880\,000\] Причем заметим, что именно при \(A=880\,000\) прибыль составит \(417\,967\) рублей (если бы мы вместо неравенства \((***)\) решали такое же равенство).

 

Так как нам нужно найти хотя бы одно значение \(A\), то остальные случаи рассматривать мы не будем.

Ответ:

\(880\,000\)