Математика
Русский язык

11. Сюжетные текстовые задачи

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Задачи на движение по воде (страница 2)

Верны те же формулы: \[{\large{S=v\cdot t \quad \quad \quad v=\dfrac St \quad \quad \quad t=\dfrac Sv}}\]
\(\blacktriangleright\) Если тело движется по реке по течению:
\(v_c\) — собственная скорость тела (скорость в неподвижной воде);
\(v_t\) — скорость течения;
тогда скорость движения тела \(v=v_c+v_t\).
Значит, \[{\large{S=(v_c+v_t)\cdot t}}\]
\(\blacktriangleright\) Если тело движется по реке против течения:
\(v_c\) — собственная скорость тела (скорость в неподвижной воде);
\(v_t\) — скорость течения;
тогда скорость движения тела \(v=v_c-v_t\).
Значит, \[{\large{S=(v_c-v_t)\cdot t}}\]
\(\blacktriangleright\) Заметим, что плот — это тело, у которого собственная скорость \(v_c=0\). Значит, плот может плыть только по течению и со скоростью течения.

Задание 8
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Яхта проплыла по течению реки \(144\, км\) и вернулась обратно, после чего проплыла ещё \(36\, км\) по течению реки. Известно, что время, затраченное на движение яхты по течению, равно времени, затраченному на движение яхты против течения. При этом скорость яхты в неподвижной воде равна \(18\, км/ч\). Найдите скорость течения. Ответ дайте в км/ч.

Добавить задание в избранное

Пусть \(v_{\text{т}}\, км/ч\) – скорость течения, \(v > 0\), тогда

\(18 + v_{\text{т}}\) – скорость перемещения яхты по течению,

\(18 - v_{\text{т}}\) – скорость перемещения яхты против течения,

 

\(\dfrac{180}{18 + v_{\text{т}}}\) – время, затраченное яхтой на перемещение по течению,

 

\(\dfrac{144}{18 - v_{\text{т}}}\) – время, затраченное яхтой на перемещение против течения.

 

Так как время перемещения против течения совпадает со временем по течению, то: \[\dfrac{180}{18 + v_{\text{т}}} = \dfrac{144}{18 - v_{\text{т}}}\quad\Leftrightarrow\quad \dfrac{180(18 - v_{\text{т}}) - 144(18 + v_{\text{т}})}{(18 + v_{\text{т}})(18 - v_{\text{т}})} = 0\,,\] что при \(v_{\text{т}}\neq \pm 18\) равносильно \(v_{\text{т}} = 2\).

Ответ: 2

Задание 9
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Моторная лодка проплыла по течению реки \(20\, км\), после чего сломалась и в течение часа её уносило течением. Спустя час после поломки лодка развернулась и поплыла в обратную сторону с изначальной собственной скоростью, равной \(13\, км/ч\). Известно, что обратный путь занял \(2 ч\). Найдите скорость течения. Ответ дайте в км/ч.

Добавить задание в избранное

Пусть скорость течения реки равна \(v_{\text{т}}\), тогда путь лодки по течению составил \(20 + 1\cdot v_{\text{т}} = 20 + v_{\text{т}}\, км\).

Так как обратный путь занял \(2\, ч\), то \[20 + v_{\text{т}} = 2\cdot (13 - v_{\text{т}})\qquad\Leftrightarrow\qquad v_{\text{т}} = 2\, км/ч.\]

Ответ: 2

Задание 10
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Лодка участвует в соревнованиях. Ей необходимо доплыть по реке из пункта \(А\) в пункт \(Б\) и обратно. Известно, что течение реки направлено от пункта \(А\) к пункту \(Б\). Лодка проплыла от пункта \(А\) до пункта \(Б\) за час. Сколько километров останется проплыть лодке через час после отплытия из пункта \(Б\) в пункт \(А\), если скорость течения реки равна \(2,5\, км/ч\)?

Добавить задание в избранное

Пусть собственная скорость лодки равна \(v_{\text{л}}\, км/ч\), а скорость течения равна \(v_{\text{т}}\, км/ч\). За первый час лодка проплыла \(v_{\text{л}} + v_{\text{т}}\), а за второй час (на обратном пути) \(v_{\text{л}} - v_{\text{т}}\) в другую сторону, то есть её перемещение за первые два часа составило \[|(v_{\text{л}} + v_{\text{т}}) - (v_{\text{л}} - v_{\text{т}})| = 2v_{\text{т}}\] – в сторону течения, то есть через два часа после отплытия, лодке оставалось \(2\cdot 2,5 = 5\, км\) до финиша.

Ответ: 5

Задание 11
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Города M и N находятся возле реки на расстоянии 60 км. Из M в N отправился катер, который прибыл в город N и сразу повернул назад. К тому времени, как катер вернулся в М, плот, который отправился из M в N на час раньше катера, проплыл 13 км. Скорость течения реки равна 2 км/ч. Найдите скорость катера в неподвижной воде. Ответ дайте в км/ч.

Добавить задание в избранное

Плот проплыл 13 км за \(13 : 2 = 6,5\) часов. Тогда дорога из M в N и обратно заняла у катера \(6,5 - 1 = 5,5\) часов.

Пусть \(v\) км/ч – скорость катера в стоячей воде, \(v > 0\), тогда

 

\(\dfrac{60}{v + 2}\) часов – время, затраченное катером на дорогу из M в N, так как течение направлено из M в N (плот плывёт по течению),

 

\(\dfrac{60}{v - 2}\) часов – время, затраченное катером на дорогу из N в M.

 

Так как суммарное время, затраченное катером на дорогу из M в N и обратно, равно 5,5 часов, то: \[\dfrac{60}{v + 2} + \dfrac{60}{v - 2} = 5,5\qquad\Leftrightarrow\qquad 11v^2 - 240v - 44 = 0\] – при \(v \neq \pm 2\), откуда находим \(v_1 = 22,\ v_2 = -\dfrac{2}{11}\). Так как \(v > 0\), то ответ \(22\) км/ч.

Ответ: 22

Задание 12
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

У Игоря есть своя яхта. Плавая на яхте, он понял, что обронил шляпу и стал её искать. При этом он проплыл час против течения, затем развернулся и проплыл час по течению, затем снова развернулся и проплыл полчаса против течения, затем три четверти часа по течению, после чего проплыл ещё четверть часа против течения. Оказалось, что он сместился от места начала поисков на \(10,5\, км\). Найдите скорость течения, если собственная скорость яхты во время поисков оставалась постоянной. Ответ дайте в км/ч.

Добавить задание в избранное

Пусть собственная скорость яхты равна \(v_{\text{я}}\, км/ч\), а скорость течения равна \(v_{\text{т}}\, км/ч\). За первый час Игорь проплыл \(v_{\text{я}} - v_{\text{т}}\), а за второй час \(v_{\text{я}} + v_{\text{т}}\) в другую сторону, то есть его перемещение за первые два часа составило \[|(v_{\text{я}} - v_{\text{т}}) - (v_{\text{я}} + v_{\text{т}})| = 2v_{\text{т}}\] – в сторону течения.

Далее Игорь плыл полчаса против течения, затем три четверти часа по течению. Разобьём эти три четверти часа по течению на два этапа: полчаса по течению и четверть часа по течению, тогда по аналогии с предыдущим рассуждением, перемещение Игоря за третий час составило \[|0,5(v_{\text{я}} - v_{\text{т}}) - 0,5(v_{\text{я}} + v_{\text{т}})| = v_{\text{т}}\] – в сторону течения.

За последние полчаса перемещение Игоря по аналогии составило \[|0,25(v_{\text{я}} + v_{\text{т}}) - 0,25(v_{\text{я}} - v_{\text{т}})| = 0,5v_{\text{т}}\] – в сторону течения.

В итоге за \(3,5\, ч\) поисков Игорь переместился на \(3,5v_{\text{т}}\) от места начала поисков, что по условию составило \(10,5\, км\), тогда \[3,5v_{\text{т}} = 10,5\qquad\Leftrightarrow\qquad v_{\text{т}} = 3\,.\]

Ответ: 3

Задание 13
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Два теплохода в момент времени \(t = 0\, ч\) отправились по реке из пунктов \(А\) и \(Б\) навстречу друг другу. Скорость течения реки при \(t\in[0; 5]\) составляла \(2\, км/ч\), а при \(t\in (5; 10]\) составляла \(|\sin (t - 5) - 2\cos (t - 5)|\). Известно, что собственная скорость одного из теплоходов равна \(20\, км/ч\), а собственная скорость другого теплохода – \(22\, км/ч\). Кроме того, расстояние между пунктами \(А\) и \(Б\) равно \(357\, км\), а теплоходы встретились в момент \(t = t_0\, ч\). Найдите \(t_0\).

Добавить задание в избранное

Время, прошедшее с момента отправления до момента встречи, равно отношению суммарного расстояния к скорости сближения.

Независимо от того, какой была скорость течения, куда оно было направлено, у какого из теплоходов скорость была \(22\, км/ч\), скорость сближения теплоходов всё равно будет \(20 + 22 = 42\, км/ч\). Таким образом, \[t_0 = \dfrac{357}{42} = 8,5\,.\]

Ответ: 8,5

Задание 14
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

С плывущего по реке плота два пловца одновременно прыгнули и поплыли: первый – по течению, второй – против. Через 5 минут они развернулись и вскоре оказались на плоту. Кто из них оказался на плоту раньше и через сколько минут после прыжка? Каждый плыл с постоянной собственной скоростью, и их скорости могли быть не равны.

Добавить задание в избранное

Рассмотрим одного из пловцов (например, того, кто плыл против течения) и плот. Если скорость течения равна \(x\) м/мин, а собственная скорость пловца \(y\) м/мин, то за 5 минут плот сдвинется вправо на \(5x\) м, а пловец влево на \(5y-5x\) м (рис. 1). Если бы действие происходило в стоячей воде, то плот бы не сдвинулся с места, а пловец сдвинулся бы влево на \(5y\) м (рис. 2).



Таким образом, расстояние между плотом и пловцом что в стоячей воде, что при движении по реке меняется одинаково (в обоих случаях расстояние между ними через 5 минут будет равно \(5y\)).
Таким образом, можно предполагать, что действие в задаче происходит в стоячей воде.

 

Тогда если первый пловец отплыл от плота на расстояние \(s_1\), а второй – на расстояние \(s_2\) за 5 минут, то для того, чтобы вернуться на плот, также нужно первому пройти расстояние \(s_1\), а второму – \(s_2\). Так как их скорости остаются прежними, то на то, чтобы вернуться на плот, им понадобится тоже 5 минут. Следовательно, вернутся на плот они одновременно через 10 минут после прыжка.

Ответ: 10