Задачи на проценты (страница 2)

Пусть молоко стоило во вторник \(S\) рублей.

После подорожания в среду молоко стало стоить \[\dfrac{100 + x}{100}\cdot S,\] после подорожания в четверг молоко стало стоить \[\dfrac{100 + 2x}{100}\cdot\left(\dfrac{100 + x}{100}\cdot S\right) = 1,155\cdot S,\] откуда \((100 + 2x)\cdot(100 + x) = 11550\), тогда \(10000 + 300x + 2x^2 = 11550\).

Решая квадратное уравнение, находим \(x_1 = 5\), \(x_2 = -155\). Ответ: в среду молоко подорожало на \(5\%\).

Ответ: 5

Вклад Максима был \[\dfrac{15}{100} \cdot 30\,000 = 4\,500\ \text{рублей}.\] Вклад Тимура был \(0,3 \cdot 30\,000 = 9\,000\) рублей. Тогда вклад Кости был \(30\,000 - 8\,100 - 4\,500 - 9\,000 = 8\,400\) рублей, что составляет \[\dfrac{8\,400}{30\,000} = \dfrac{28}{100}\] от общей суммы (то есть \(28\%\)). Значит, Костя должен получить \(2\,000\,000 \cdot \dfrac{28}{100} = 560\,000\) рублей.

Ответ: 560000

Спустя \(n\) дней молоко стало стоить \(65\cdot (1 + 0,1)^n\). Игнату не хватило денег на пакет молока, когда стало выполняться неравенство \[65\cdot 1,1^n > 100\qquad\Leftrightarrow\qquad 1,1^n > \dfrac{20}{13}\,.\]

Прямым вычислением можно убедиться, что при \(n = 4\) это неравенство ещё не выполняется, а при \(n = 5\) оно уже справедливо, то есть Игнату стало нехватать денег, когда после первого числа прошло не менее \(5\) дней. Таким образом, ответ: \(6\) числа.

Ответ: 6

Пусть \(9\) числа батон стоил \(x\) рублей, тогда в понедельник он стоил \(1,1x\) рублей, во вторник он стоил \(1,1x\cdot 0,9 = 0,99x\) рублей, то есть за два дня после \(9\) числа батон подешевел. Аналогично, за четыре дня после \(9\) числа батон подешевел и т.д.

Таким образом, чтобы батон подорожал, после \(9\) числа могло пройти только нечётное количество дней. При этом за любые два дня, первый из которых – чётное число, стоимость батона умножалась на \(0,99\), тогда \[0,99^n\cdot 1,1\cdot x = 1,0673289 x\,,\] откуда находим, что \(n = 3\), то есть прошло \(3\) пары дней и ещё один, тогда сегодня \(16\) число крутого календаря.

Ответ: 16

Пусть Илья Муромец срубил \(x\%\) от суммарного количества срубленных богатырями голов,

пусть Добрыня Никитич срубил \(y\%\) от суммарного количества срубленных богатырями голов,

пусть Алёша Попович срубил \(z\%\) от суммарного количества срубленных богатырями голов, тогда

\[x + y + z = 100.\]

Так как если бы Илья Муромец срубил голов вдвое больше, чем он срубил в итоге, то суммарное количество срубленных богатырями голов выросло бы на \(45\%\), то:

\[2x + y + z = 145;\]

так как если бы вместо этого Алёша Попович срубил голов в четыре раза меньше, чем он срубил в итоге, то суммарное количество срубленных богатырями голов уменьшилось бы на \(15\%\), то:

\[x + y + \dfrac{z}{4} = 85.\]

Подставляя в \(x + x + y + z = 145\) вместо \(x + y + z\) значение 100, получаем: \(x = 45\).

Подставляя в \(x + y + z - 0,75z = 85\) вместо \(x + y + z\) значение 100, получаем: \(z = 20\).

Таким образом, \(y = 35\).

Ответ: 35

В 2011 году число не сдавших составило \(100\%+5\%=105\%\) от числа не сдавших в 2010 году, тогда в 2011 году не сдали ЕГЭ по биологии \(10000\cdot 1121^{1443} \cdot 1,05\) выпускников. В 2012 году число не сдавших составило \(100\%-3\%=97\%\) от числа не сдавших в 2011 году, тогда в 2012 не сдали ЕГЭ по биологии \(10000\cdot 1121^{1443} \cdot 1,05 \cdot 0,97\) выпускников, что составляет \[\dfrac{10000\cdot 1121^{1443} \cdot 1,05\cdot 0,97}{10000\cdot 1121^{1443}}\cdot 100\% = \dfrac{1,05\cdot 0,97}{1}\cdot 100\% = 101,85\%\] от числа выпускников, не сдавших в 2010 году.

Значит, число выпускников, не сдавших ЕГЭ в 2012 году увеличилось на \(101,85\%-100\%=1,85\%\) по сравнению с числом выпускников, не сдавших в 2010 году.

Ответ: 1,85

Пусть \(x\) – цена рубашки, а \(y\) – цена куртки. Тогда стоимость 4 рубашек составляет \(0,96\%\) от стоимости куртки: \(4x=0,96y\).
Нужно найти \(6x\): \[6x=\dfrac32\cdot 4x=\dfrac32\cdot 0,96y=1,44y\] Следовательно, стоимость 6 рубашек составляет \(144\%\) от стоимости куртки, то есть дороже куртки на \(44\%\).

Ответ: 44