Математика
Русский язык

11. Сюжетные текстовые задачи

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Задачи на проценты (страница 2)

\(\blacktriangleright\) Чтобы найти, сколько процентов составляет число \(A\) от числа \(B\), нужно найти \({\large{\dfrac{A}{B}\cdot 100 \%}}\).

 

\(\blacktriangleright\) Чтобы найти, на сколько процентов число \(A\) больше (меньше) числа \(B\), нужно найти, сколько процентов составляет число \(A\) от числа \(B\), а затем из этого количества процентов отнять \(100\%\) (из \(100\%\) отнять найденное количество процентов).

 

Заметим, что складывать проценты можно только в том случае, если они взяты от одной и той же величины!

 

Пример:

 

В \(2015\) году население составляло \(115\%\) по сравнению с предыдущим годом, а в \(2016\)\(110\%\) по сравнению с предыдущим. Сколько процентов составило население в \(2016\) году по сравнению с \(2014\) годом?

 

Т.к. в \(2015\) году задан процент относительно \(2014\), а в \(2016\) – относительно \(2015\), то нельзя сказать, что в \(2016\) году население составило \(115\%+110\%\).
Решим задачу правильно. Пусть \(x\) – количество людей в \(2014\) году.
в \(2015\): \(1,15x\) человек
в \(2016\): \(1,1\cdot(1,15x)=1,265x\).
Т.е. население в \(2016\) составило \(126,5\%\) по сравнению с \(2014\) годом.

Задание 8
Уровень задания: Равен ЕГЭ

В среду молоко подорожало на \(x\) процентов, а в четверг подорожало на \(2x\) процентов. В результате молоко стало стоить на \(15,5\%\) дороже, чем стоило во вторник (до подорожания). На сколько процентов подорожало молоко в среду?

Добавить задание в избранное

Пусть молоко стоило во вторник \(S\) рублей.

После подорожания в среду молоко стало стоить \[\dfrac{100 + x}{100}\cdot S,\] после подорожания в четверг молоко стало стоить \[\dfrac{100 + 2x}{100}\cdot\left(\dfrac{100 + x}{100}\cdot S\right) = 1,155\cdot S,\] откуда \((100 + 2x)\cdot(100 + x) = 11550\), тогда \(10000 + 300x + 2x^2 = 11550\).

Решая квадратное уравнение, находим \(x_1 = 5\), \(x_2 = -155\). Ответ: в среду молоко подорожало на \(5\%\).

Ответ: 5

Задание 9
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Антон, Максим, Игорь, Тимур и Костя купили \(1\,000\) лотерейных билетов на общую сумму \(30\,000\) рублей. На эту покупку Антон и Игорь дали в сумме \(8\,100\) рублей, Максим дал \(15\%\) общей суммы, Тимур дал \(0,3\) общей суммы, а оставшуюся часть общей суммы внёс Костя. Ребята договорились в случае выигрыша поделить деньги пропорционально внесенному в общую сумму вкладу. В итоге они выиграли в сумме \(2\,000\,000\) рублей. Сколько рублей должен получить Костя?

Добавить задание в избранное

Вклад Максима был \[\dfrac{15}{100} \cdot 30\,000 = 4\,500\ \text{рублей}.\] Вклад Тимура был \(0,3 \cdot 30\,000 = 9\,000\) рублей. Тогда вклад Кости был \(30\,000 - 8\,100 - 4\,500 - 9\,000 = 8\,400\) рублей, что составляет \[\dfrac{8\,400}{30\,000} = \dfrac{28}{100}\] от общей суммы (то есть \(28\%\)). Значит, Костя должен получить \(2\,000\,000 \cdot \dfrac{28}{100} = 560\,000\) рублей.

Ответ: 560000

Задание 10
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Игнат хранит деньги дома под подушкой. У него есть \(100\) рублей. Известно, что пакет молока \(1\) числа стоил \(65\) рублей. В течение последующих \(10\) дней молоко дорожало каждый день на \(10\%\) по сравнению с предыдущим днём. Какого числа Игнату впервые не хватило денег на пакет молока?

Добавить задание в избранное

Спустя \(n\) дней молоко стало стоить \(65\cdot (1 + 0,1)^n\). Игнату не хватило денег на пакет молока, когда стало выполняться неравенство \[65\cdot 1,1^n > 100\qquad\Leftrightarrow\qquad 1,1^n > \dfrac{20}{13}\,.\]

Прямым вычислением можно убедиться, что при \(n = 4\) это неравенство ещё не выполняется, а при \(n = 5\) оно уже справедливо, то есть Игнату стало нехватать денег, когда после первого числа прошло не менее \(5\) дней. Таким образом, ответ: \(6\) числа.

Ответ: 6

Задание 11
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

В понедельник \(10\) числа крутого календаря батон подорожал на \(10\%\). Во вторник батон подешевел на \(10\%\) по сравнению с понедельником. В среду батон снова подорожал на \(10\%\) по сравнению со вторником. В четверг батон снова подешевел на \(10\%\) по сравнению со средой. И так далее. Сегодня выяснилось, что батон дороже, чем он был \(10\) числа (в понедельник) в \(1,0673289\) раз. Какое сегодня число согласно крутому календарю, если в нём по \(30\) дней в каждом месяце?

Добавить задание в избранное

Пусть \(9\) числа батон стоил \(x\) рублей, тогда в понедельник он стоил \(1,1x\) рублей, во вторник он стоил \(1,1x\cdot 0,9 = 0,99x\) рублей, то есть за два дня после \(9\) числа батон подешевел. Аналогично, за четыре дня после \(9\) числа батон подешевел и т.д.

Таким образом, чтобы батон подорожал, после \(9\) числа могло пройти только нечётное количество дней. При этом за любые два дня, первый из которых – чётное число, стоимость батона умножалась на \(0,99\), тогда \[0,99^n\cdot 1,1\cdot x = 1,0673289 x\,,\] откуда находим, что \(n = 3\), то есть прошло \(3\) пары дней и ещё один, тогда сегодня \(16\) число крутого календаря.

Ответ: 16

Задание 12
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Илья Муромец, Добрыня Никитич и Алёша Попович рубили головы змея Горыныча. Если бы Илья Муромец срубил голов вдвое больше, чем он срубил в итоге, то суммарное количество срубленных богатырями голов выросло бы на \(45\%\). Если бы вместо этого Алёша Попович срубил голов в четыре раза меньше, чем он срубил в итоге, то суммарное количество срубленных богатырями голов уменьшилось бы на \(15\%\). Сколько процентов от суммарного количества голов срубил Добрыня Никитич?

Добавить задание в избранное

Пусть Илья Муромец срубил \(x\%\) от суммарного количества срубленных богатырями голов,

пусть Добрыня Никитич срубил \(y\%\) от суммарного количества срубленных богатырями голов,

пусть Алёша Попович срубил \(z\%\) от суммарного количества срубленных богатырями голов, тогда

\[x + y + z = 100.\]

Так как если бы Илья Муромец срубил голов вдвое больше, чем он срубил в итоге, то суммарное количество срубленных богатырями голов выросло бы на \(45\%\), то:

\[2x + y + z = 145;\]

так как если бы вместо этого Алёша Попович срубил голов в четыре раза меньше, чем он срубил в итоге, то суммарное количество срубленных богатырями голов уменьшилось бы на \(15\%\), то:

\[x + y + \dfrac{z}{4} = 85.\]

Подставляя в \(x + x + y + z = 145\) вместо \(x + y + z\) значение 100, получаем: \(x = 45\).

Подставляя в \(x + y + z - 0,75z = 85\) вместо \(x + y + z\) значение 100, получаем: \(z = 20\).

Таким образом, \(y = 35\).

Ответ: 35

Задание 13
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

В государстве \(\sigma\) на планете \(\Omega\) в 2010 году ЕГЭ по биологии не сдали \(10000\cdot 1121^{1443}\) выпускников. В 2011 году число не сдавших выросло на 5\(\%\), а в 2012 году – уменьшилось на 3\(\%\) по сравнению с 2011 годом. На сколько процентов увеличилось число выпускников, не сдавших ЕГЭ по биологии в 2012 году по сравнению с 2010 годом в государстве \(\sigma\) на планете \(\Omega\)?

Добавить задание в избранное

В 2011 году число не сдавших составило \(100\%+5\%=105\%\) от числа не сдавших в 2010 году, тогда в 2011 году не сдали ЕГЭ по биологии \(10000\cdot 1121^{1443} \cdot 1,05\) выпускников. В 2012 году число не сдавших составило \(100\%-3\%=97\%\) от числа не сдавших в 2011 году, тогда в 2012 не сдали ЕГЭ по биологии \(10000\cdot 1121^{1443} \cdot 1,05 \cdot 0,97\) выпускников, что составляет \[\dfrac{10000\cdot 1121^{1443} \cdot 1,05\cdot 0,97}{10000\cdot 1121^{1443}}\cdot 100\% = \dfrac{1,05\cdot 0,97}{1}\cdot 100\% = 101,85\%\] от числа выпускников, не сдавших в 2010 году.

 

Значит, число выпускников, не сдавших ЕГЭ в 2012 году увеличилось на \(101,85\%-100\%=1,85\%\) по сравнению с числом выпускников, не сдавших в 2010 году.

Ответ: 1,85