Математика
Русский язык

11. Сюжетные текстовые задачи

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Задачи на прямолинейное движение (страница 4)

Если тело движется с постоянной скоростью, то пройденное им расстояние удовлетворяет следующей формуле: \[{\large{S=v\cdot t}}\] где \(v\) — его скорость, \(t\) — время, в течение которого оно двигалось.

 

Другие вариации данной формулы: \(v=\dfrac St\) и \(t=\dfrac Sv\)

 

Некоторые частные случаи:

 

\(\blacktriangleright\) Когда два тела движутся навстречу друг другу со скоростями \(v_1\) и \(v_2\) соответственно, то \(v_1+v_2\) — их скорость сближения. Если \(S\) — расстояние между ними на момент начала движения, \(t\) — время, через которое они встретились, то:

 

\(\blacktriangleright\) Когда тела движутся в противоположном направлении (например, из одной точки), то \(v_1+v_2\) — их скорость удаления. Тогда расстояние \(S\) между ними через время \(t\):

 

\(\blacktriangleright\) Когда тела движутся друг за другом, то:
\((1) \quad v_1>v_2\). Тогда первое тело догонит второе через некоторой время \(t\).
\(v_1-v_2\) — скорость сближения. Если \(S\) — расстояние между ними в начале движения, то:



\((2) \quad v_1<v_2\). Тогда первое тело никогда не догонит второе и расстояние между ними будет только увеличиваться.
\(v_2-v_1\) — скорость удаления. Если \(S\) — расстояние между ними на момент начала движения, то через время \(t\) расстояние между ними будет:



\((3) \quad v_1=v_2\). Тогда первое тело никогда не догонит второе, но расстояние между ними всегда будет оставаться одинаковым.

Задание 22
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Поезд длиной 1 км проходит мимо километрового столба за 1 мин, а через туннель при той же скорости – за 3 мин. Какова длина туннеля? Ответ дайте в километрах.

Добавить задание в избранное



Из картинки видно, что “поезд проходит мимо столба” – это то же самое, что “поезд проходит расстояние, равное длине поезда”, а “поезд проходит через туннель” – это то же самое, что “поезд проходит расстояние, равное длине поезда плюс длине туннеля”.
Следовательно, так как длина поезда 1 км, а мимо столба он проходит за 1 мин, то его скорость равна 1 км/мин. Следовательно, 1 км/мин \(\cdot\) 3 мин \(=\) 3 км – длина поезда плюс длина туннеля. Следовательно, длина туннеля равна 2 км.

Ответ: 2

Задание 23
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Пристани А и В расположены на берегу моря на расстоянии 704 км друг от друга. Паром отправился из А в В с постоянной скоростью. Прибыв в В, он отправился обратно со скоростью, на 5 км/ч больше прежней, при этом сделав по пути остановку на 20 часов. В результате он затратил на обратный путь столько же времени, сколько на путь из А в В. Найдите скорость парома на пути из В в А. Ответ дайте в км/ч.

Добавить задание в избранное

Пусть \(x\) км/ч – скорость парома из А в В. Тогда можно составить такую картинку-схему:



Время в часах, которое паром затратил из А в В, равно \[\dfrac{704}{x}\] Время в часах, которое он затратил из В в А, равно \[\dfrac{704}{x+5}+20\] Так как это время оказалось одинаковым, то получается следующее уравнение \[\dfrac{704}x=\dfrac{704}{x+5}+20 \quad\Leftrightarrow\quad \dfrac{704(x+5)-704x}{x(x+5)}=20 \quad\Leftrightarrow\quad \dfrac{176}{x(x+5)}=1 \quad\Leftrightarrow\quad x^2+5x-176=0\] Дискриминант \(D=5^2+4\cdot 176=729=27^2\), следовательно, корни \[x_1=\dfrac{-5+27}{2}=11 \quad {\small{\text{и}}} \quad x_2=\dfrac{-5-27}{2}=-16\] Так как скорость – величина положительная, то \(x=11\).
Не забудем вернуться к условию и проверить, что необходимо было найти: скорость парома на пути из В в А. Следовательно, ответ \(x+5=16\).

Ответ: 16

Задание 24
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Два поезда движутся навстречу друг другу – один со скоростью 70 км/ч, другой со скоростью 80 км/ч. Пассажир, сидящий во втором поезде, заметим, что первый поезд прошел мимо него за 12 секунд. Какова длина первого поезда? Ответ дайте в метрах.

Добавить задание в избранное

Заметим, что фраза “первый поезд прошел мимо пассажира за 12 с” означает, что с того момента, как пассажир увидел голову поезда, до того момента, как он увидел хвост поезда, прошло 12 с. Следовательно, неважно, где именно в поезде в этот момент находился пассажир. Поэтому пусть пассажир находился прямо в начале поезда.



Первая картинка – когда пассажир увидел голову поезда, вторая – хвост поезда.
Заметим, что за каждую секунду первый поезд проезжает \(\dfrac{70000}{3600}=\dfrac{175}9\) м, второй – \(\dfrac{80000}{3600}=\dfrac{200}9\) м.

Следовательно, за каждую секунду пассажир удаляется от головы первого поезда на \(\dfrac{175}9+\dfrac{200}9=\dfrac{125}3\) м. Следовательно, через 12 с он удалится от головы поезда на \(\dfrac{125}3\cdot 12=500\) м. Так как в этот момент он будет видеть хвост поезда, то это значит, что 500 м и есть длина первого поезда.

Ответ: 500

Задание 25
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Два автомобиля выехали с постоянными скоростями из пунктов \(A\) и \(B\) навстречу друг другу. Известно, что скорость одного из них в \(1,2\) раза больше, чем скорость другого. Они встретелись через \(t\) часов. Известно, что медленному автомобилю понадобилось \(T\) часов, чтобы добраться до противоположного пункта. Найдите \(\dfrac{T}{t}\).

Добавить задание в избранное

Пусть \(v\, км/ч\) – скорость медленного автомобиля, тогда \(1,2v\, км/ч\) – скорость быстрого автомобиля, следовательно, скорость сближения автомобилей равна \(v + 1,2v = 2,2v\, км/ч\).

Пусть \(S\, км\) – расстояние между пунктами \(A\) и \(B\), тогда \(t = \dfrac{S}{2,2v}\), а \(T = \dfrac{S}{v}\), следовательно, \[\dfrac{T}{t} = \dfrac{S}{v} : \dfrac{S}{2,2v} = 2,2\,.\]

Ответ: 2,2

Задание 26
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Отчалив одновременно от противоположных берегов реки, два парома встречаются на расстоянии \(900\) метров от левого берега. Прибыв к месту назначения, каждый паром тут же отправляется обратно. Во второй раз паромы вновь встречаются на расстоянии \(300\) метров от правого берега. Паромы двигаются с постоянной скоростью. Чему равна ширина реки? Ответ дайте в километрах.

Добавить задание в избранное

Рассмотрим схематичный рисунок:



Условно назовем паром, отчаливший от левого берега, зеленым, а паром, отчаливший от правого – синим. Пусть скорость зеленого \(x\) км/ч, синего \(y\) км/ч.
Из условия задачи следует, что \(AC=0,9\) км, \(BD=0,3\) км.
Пусть \(BC=S\). Тогда \(AB=AC+BC=0,9+S\). Так как до первой встречи паромы двигались одинаковое количество времени, то можно составить равенство: \[\dfrac Sy=\dfrac {0,9}x \quad\Rightarrow\quad \dfrac xy=\dfrac{0,9}S\]

После первой встречи и до второй встречи синий прошел расстояние, равное \(AC+AD=AC+(AB-BD)=0,9+0,9+S-0,3=1,5+S\), а зеленый – равное \(BC+BD=S+0,3\). Время, потраченное на путь у каждого парома, также было одинаковым. Следовательно, можно составить второе равенство: \[\dfrac{1,5+S}y=\dfrac{S+0,3}x \quad\Rightarrow\quad \dfrac xy=\dfrac{S+0,3}{1,5+S}\]

Таким образом, из полученных двух равенств можно заключить: \[\dfrac{0,9}S=\dfrac{S+0,3}{1,5+S} \quad\Rightarrow\quad S^2-0,6S-0,9\cdot 1,5=0\]

По теореме Виета корнями уравнения будут числа \(-0,9\) и \(1,5\). Так как \(S\) – длина отрезка, то есть неотрицательная величина, то \(S=1,5\). Следовательно, ширина реки равна \(AB=1,5+0,9=2,4\).

Ответ: 2,4

Задание 27
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Из пункта А в пункт Б одновременно выехали два автомобилиста. Первый проехал с постоянной скоростью весь путь. Второй первую половину пути проехал со скоростью \(84\) км/ч, а вторую половину пути со скоростью, на \(11,2\) км/ч меньшей скорости первого, в результате чего оба автомобилиста прибыли в пункт Б одновременно. Найдите скорость первого автомобилиста, если известно, что она была больше 50 км/ч. Ответ дайте в км/ч.

Добавить задание в избранное

Пусть скорость первого автомобилиста равна \(x\) км/ч, \(S\) км – расстояние от А до Б. Тогда можно составить такую картинку-схему:



Тогда время в часах, которое первый затратил на дорогу, равно \[\dfrac Sx\] Время в часах, которое второй затратил на дорогу, равно \[\dfrac{\frac S2}{84}+\dfrac{\frac S2}{x-11,2}\] Так как оба прибыли одновременно в пункт Б, то есть затратили на дорогу одинаковое время, то получаем следующее уравнение: \[\dfrac Sx=\dfrac{\frac S2}{84}+\dfrac{\frac S2}{x-11,2}\] Заметим, что можно разделить обе части уравнения на \(S\), так как \(S\ne 0\). Приведем к общему знаменателю и перенесем все слагаемые в одну сторону: \[\dfrac{x^2-(84+11,2)x+2\cdot 84\cdot 11,2}{2\cdot 84\cdot x\cdot (x-11,2)}=0\] Решим уравнение \(x^2-(84+11,2)x+2\cdot 84\cdot 11,2=0\). Домножим его на \(10\): \(10x^2-952x+2\cdot 84\cdot 112=0\).
Дискриминант \[D=952^2-4\cdot 10\cdot 2\cdot 84\cdot 112=7^2\cdot 2^6\cdot 17^2-2^{10}\cdot 3\cdot 5\cdot 7^2=7^2\cdot 2^6\cdot (289-240)=(7\cdot 2^3\cdot 7)^2=392^2\] Следовательно, корнями будут \[x_1=\dfrac{952+392}{20}=67,2 \quad {\small{\text{и}}} \quad x_2=\dfrac{952-392}{20}=28\] Так как скорость больше 50, то ответом будет число 67,2.

Ответ: 67,2

Задание 28
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Из пункта А в пункт С выехал мотоциклист, скорость которого 16 км/ч. Одновременно с ним из пункта В, находящегося между пунктами А и С, в пункт С выехал второй мотоциклист, скорость которого 31 км/ч. Через сколько минут расстояние между мотоциклистами будет 17,5 км? Расстояние между пунктами A и B равно 10 км.
Если задача допускает несколько вариантов ответа, в бланк укажите их сумму.

Добавить задание в избранное



Заметим, что так как более быстрый мотоциклист находится впереди, то расстояние между мотоциклистами будет только увеличиваться (то есть они будут только отдаляться друг от друга). Значит, в задаче будет только один ответ.
Следовательно, расстояние между ними должно измениться на \(17,5-10=7,5\) км (так как изначально они находились на расстоянии 10 км друг от друга). Скорость удаления мотоциклистов равна \(31-16=15\) км/ч. Следовательно, время, через которое расстояние между ними увеличится еще на 7,5 км, равно \(7,5:15=0,5\) часа или \(30\) минут.

Ответ: 30

1 .... 3 4 5