Математика
Русский язык

11. Сюжетные текстовые задачи

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Задачи на прямолинейное движение (страница 5)

Если тело движется с постоянной скоростью, то пройденное им расстояние удовлетворяет следующей формуле: \[{\large{S=v\cdot t}}\] где \(v\) — его скорость, \(t\) — время, в течение которого оно двигалось.

 

Другие вариации данной формулы: \(v=\dfrac St\) и \(t=\dfrac Sv\)

 

Некоторые частные случаи:

 

\(\blacktriangleright\) Когда два тела движутся навстречу друг другу со скоростями \(v_1\) и \(v_2\) соответственно, то \(v_1+v_2\) — их скорость сближения. Если \(S\) — расстояние между ними на момент начала движения, \(t\) — время, через которое они встретились, то:

 

\(\blacktriangleright\) Когда тела движутся в противоположном направлении (например, из одной точки), то \(v_1+v_2\) — их скорость удаления. Тогда расстояние \(S\) между ними через время \(t\):

 

\(\blacktriangleright\) Когда тела движутся друг за другом, то:
\((1) \quad v_1>v_2\). Тогда первое тело догонит второе через некоторой время \(t\).
\(v_1-v_2\) — скорость сближения. Если \(S\) — расстояние между ними в начале движения, то:



\((2) \quad v_1<v_2\). Тогда первое тело никогда не догонит второе и расстояние между ними будет только увеличиваться.
\(v_2-v_1\) — скорость удаления. Если \(S\) — расстояние между ними на момент начала движения, то через время \(t\) расстояние между ними будет:



\((3) \quad v_1=v_2\). Тогда первое тело никогда не догонит второе, но расстояние между ними всегда будет оставаться одинаковым.

Задание 29
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Из города N в город M, расстояние между которыми 36 км, выехал автомобиль со скорость 46 км/ч. Одновременно с ним из города M в том же направлении выехал другой автомобиль со скоростью 40 км/ч. Через сколько часов расстояние между автомобилями будет равно 21 км?
Если задача допускает несколько вариантов ответа, в бланк укажите их сумму.

Добавить задание в избранное

Заметим, что так как впереди находится второй (медленный) автомобиль, то сначала автомобили будут сближаться (до того момента, как первый догонит второго), а затем будут удаляться.
Так как расстояние между ними в начале движения 36 км и \(36>21\), то первый раз расстояние в 21 км между ними будет, пока они сближаются, а второй раз – когда они будут отдаляться.



Скорость сближения автомобилей равна \(46-40=6\) км/ч. Расстояние между ними должно измениться с 36 км до 21 км, то есть на \(36-21=15\) км. Следовательно, первый раз это произойдет через \(15:6=2,5\) часа.
Теперь найдем, через сколько часов после начала движения первый догонит второго. Это значит, что расстояние между ними должно стать равным 0 км. Значит, должно измениться на 36 км. Следовательно, время встречи равно \(36:6=6\) часов.
Значит, спустя 6 часов движения картинка выглядит так:



Скорость отдаления также равна 6 км/ч. Расстояние между ними должно измениться с 0 км до 21 км, следовательно, на 21 км, следовательно, это произойдет через \(21:6=3,5\) часа после встречи. Значит, второй раз расстояние между ними будет равно 21 км через \(6+3,5=9,5\) часов.
Так как в задаче два ответа, то в бланк мы запишем \(2,5+9,5=12\)

Ответ: 12

Задание 30
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Бегун Вася установил рекорд на дистанции \(L\) метров, пробежав её с постоянной скоростью \(v\) км/ч (его время наименьшее за всю историю человечества). Илья хочет повторить результат Васи или побить его рекорд. Он знает, что в течение некоторого времени он сможет поддерживать скорость \(1,2v\) км/ч, а потом его скорость упадёт до \(0,8v\) км/ч и сохранится такой до конца дистанции. Какую часть дистанции Илья должен поддерживать скорость \(1,2v\) км/ч, чтобы результат его устроил? Если в задаче возможны несколько ответов – выберите наименьший.

Добавить задание в избранное

Обозначим через \(l\) км длину первого участка (где скорость Ильи равна \(1,2v\) км/ч), тогда суммарное время Ильи на всей дистанции равно \[\dfrac{l}{1,2v} + \dfrac{L - l}{0,8v}\]

Так как Илью устроит любое время, не большее, чем у Васи, то \[\dfrac{l}{1,2v} + \dfrac{L - l}{0,8v}\leqslant \dfrac{L}{v}\,,\] что равносильно \[0,8l + 1,2(L - l)\leqslant 0,96L\qquad\Leftrightarrow\qquad l\geqslant 0,6L\qquad\Leftrightarrow\qquad \dfrac{l}{L}\geqslant 0,6\,.\]

Таким образом, наименьший ответ равен \(0,6\).

Ответ: 0,6