Математика
Русский язык

11. Сюжетные текстовые задачи

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Задачи на производительность труда (страница 2)

\(\blacktriangleright\) Задачи из данной подтемы в определенном смысле схожи с задачами на прямолинейное движение: роль скорости здесь играет производительность труда \(p\) , роль расстояния — объем работы \(A\). Формула: \[{\large{A=p\cdot t}}\]

 

\(\blacktriangleright\) Значит, например, если два рабочих работают одновременно, то производительность их общей работы \(p\) равна сумме производительностей каждого: \(p=p_1+p_2\).

Задание 8
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Каждая из двух коров может съесть стог сена за 20 минут. Спустя 5 минут после того, как первая корова приступила к поеданию стога сена, к ней присоединилась вторая, и они доели стог сена вместе. Сколько минут потребовалось на поедание стога сена коровам?

Добавить задание в избранное

В минуту каждая корова съедает \[\dfrac{1}{20} = 0,05\ \text{стога сена}.\] За 5 минут первая корова съела \(0,05 \cdot 5 = 0,25\) стога сена, после чего осталось \(1 - 0,25 = 0,75\) стога сена.

Поедая вместе, две коровы в минуту съедают \(2 \cdot 0,05 = 0,1\) стога сена, тогда с начала совместного поедания до конца прошло \(0,75 : 0,1 = 7,5\) минут.

Всего на стог сена коровам потребовалось \(5 + 7,5 = 12,5\) минут.

Ответ: 12,5

Задание 9
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Первый и второй рабочий могут выполнить заказ за 5 дней. Второй и третий рабочий могут выполнить тот же заказ за 6 дней, а третий и первый рабочий – за 20 дней. За сколько дней рабочие выполнят заказ, работая втроем?

Добавить задание в избранное

За 1 день первый и второй рабочий выполняют \(\dfrac{1}{5}\) часть заказа.

 

За 1 день второй и третий рабочие выполняют \(\dfrac{1}{6}\) часть заказа, а третий и первый рабочие \(\dfrac{1}{20}\) часть заказа.

Тогда за 1 день первый и второй, второй и третий, третий и первый вместе выполняют \(\dfrac{1}{5} + \dfrac{1}{6} + \dfrac{1}{20} = \dfrac{5}{12}\) заказа.

В последнем выражении вклад каждого рабочего был учтён дважды, значит, за день первый, второй и третий рабочие выполняют \(\dfrac{5}{24}\) заказа.

 

Им понадобится \(1 : \dfrac{5}{24} = 4,8\) дней.

Ответ: 4,8

Задание 10
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Катя и Таня могут убраться во всей квартире за 3 часа 8 минут, Таня и Даша могут убраться в этой же квартире за 3 часа 55 минут, а Катя и Даша – за 2 часа 21 минуту. За сколько часов все три девочки, работая вместе, уберутся в квартире?

Добавить задание в избранное

Переведем минуты в часы: \(8\) мин \(=\frac8{60}=\frac2{15}\) ч; \( \ 55\) мин \(=\frac{55}{60}=\frac{11}{12}\) ч; \( \ 21\) мин \(=\frac{21}{60}=\frac{7}{20}\) ч.

Тогда сумма скоростей Кати и Тани равна \[\dfrac{1}{3\frac{2}{15}}\] Сумма скоростей Тани и Даши равна \[\dfrac1{3\frac{11}{12}}\] Сумма скоростей Даши и Кати равна \[\dfrac1{2\frac7{20}}\] (Здесь мы приняли всю работу за единицу)
Тогда сумма скоростей Кати, Тани и Даши равна \[\dfrac12\cdot \left(\dfrac{1}{3\frac{2}{15}}+\dfrac1{3\frac{11}{12}}+ \dfrac1{2\frac7{20}}\right)\] Следовательно, время (в часах), затраченное на уборку квартиры тремя девочками, равно \[\dfrac1{\dfrac12\cdot \left(\dfrac{1}{3\frac{2}{15}}+\dfrac1{3\frac{11}{12}}+ \dfrac1{2\frac7{20}}\right)}= \dfrac2{\frac{15}{47}+\frac{12}{47}+\frac{20}{47}}= \dfrac2{\frac{47}{47}}=2.\]

Ответ: 2

Задание 11
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Первый землекоп выкапывает яму на 10 минут дольше, чем второй землекоп выкапывает такую же яму. Оба землекопа выкапывают такую же яму за 12 минут. За сколько минут такую яму выкопает второй землекоп?

Добавить задание в избранное

Пусть за \(x\) минут яму выкапывает второй землекоп, \(x > 0\), тогда

первый землекоп такую же яму выкапывает за \(x + 10\) минут.

 

Работая вместе, они в минуту выкапывают \(\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{x + 10}\) часть ямы.

 

Так как оба землекопа выкапывают такую же яму за 12 минут, то

\[12\left(\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{x + 10}\right) = 1\qquad\Leftrightarrow\qquad x^2 - 14x - 120 = 0\] – при \(x \neq 0, \ x \neq -10\), откуда находим \(x_1 = 20, \ x_2 = -6\). Так как \(x > 0\), то ответ \(x = 20\).

Ответ: 20

Задание 12
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Первый робот и второй робот могут прибрать комнату после вечеринки за 56 минут. Второй робот и третий робот могут прибрать ту же комнату после той же вечеринки за 40 минут, а третий и первый роботы – за 35 минут. За сколько минут роботы приберут комнату, работая втроем?

Добавить задание в избранное

За 1 минуту первый и второй роботы прибирают \(\dfrac{1}{56}\) часть комнаты.

 

За минуту второй и третий роботы прибирают \(\dfrac{1}{40}\) часть комнаты, а третий и первый роботы \(\dfrac{1}{35}\) часть комнаты.

 

Тогда за минуту первый и второй, второй и третий, третий и первый вместе прибирают \(\dfrac{1}{56} + \dfrac{1}{40} + \dfrac{1}{35} = \dfrac{1}{14}\) часть комнаты.

 

В последнем выражении вклад каждого робота был учтён дважды, значит, за минуту первый, второй и третий роботы прибирают \(\dfrac{1}{28}\) часть комнаты.

 

Им понадобится \(1 : \dfrac{1}{28} = 28\) минут.

Ответ: 28

Задание 13
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Кот Барсик съедает пачку корма за 10 минут, кот Мурзик – за 15 минут, а кошка Багира – за 6 минут. За сколько минут съедят пачку корма Барсик, Мурзик и Багира, поедая корм вместе?

Добавить задание в избранное

За минуту Барсик съедает \(\dfrac{1}{10}\) пачки корма, за минуту Мурзик съедает \(\dfrac{1}{15}\) пачки корма, а Багира за минуту съедает \(\dfrac{1}{6}\) пачки корма.

 

Тогда за минуту Барсик, Мурзик и Багира вместе съедают \(\dfrac{1}{10} + \dfrac{1}{15} + \dfrac{1}{6} = \dfrac{1}{3}\) пачки корма.

 

Таким образом, им понадобится \(1 : \dfrac{1}{3} = 3\) минуты.

Ответ: 3

Задание 14
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Первый и второй рабочие могут выполнить заказ за \(3\) дня. Второй и третий рабочие могут выполнить заказ за \(4\) дня. Третий и четвёртый рабочие могут выполнить заказ за \(4\) дня. Четвёртый и пятый рабочие могут выполнить заказ за \(5\) дней. Пятый и первый рабочие могут выполнить заказ за \(5\) дней. За сколько дней заказ выполнит один первый рабочий?

Добавить задание в избранное

Так как второй и третий рабочие могут выполнить заказ за \(4\) дня, как и третий и четвёртый рабочие, то у второго и четвёртого рабочих одинаковые производительности. При этом четвёртый и пятый рабочие могут выполнить заказ за \(5\) дней, как и пятый и первый рабочие, следовательно, у четвёртого и первого рабочих одинаковые производительности.

Тогда у первого и второго рабочих одинаковые производительности (как у четвёртого), следовательно, первый рабочий справится с заказом за время, в два раза большее, чем в случае, когда он работает со вторым рабочим вместе, то есть один он справится за \(6\) дней.

Ответ: 6