Математика ЕГЭ
Русский язык ЕГЭ
Математика 5-7
Математика ОГЭ
Физика
Кликните, чтобы открыть меню

11. Сюжетные текстовые задачи

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Задачи на растворы, смеси и сплавы (страница 2)

\(\blacktriangleright\) Концентрация вещества в растворе (сплаве) – это процент содержания этого вещества в растворе (сплаве): \[\text{концентрация вещества}=\dfrac{\text{масса вещества}}{\text{масса раствора}}\cdot 100\%\]

\(\blacktriangleright\) Заметим, что в задачах из данной подтемы зачастую удобно составлять уравнения относительно кислоты или активного вещества.

Задание 8 #842
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Мокрая губка содержала 80 \(\%\) воды, а после выжимания только 20\(\%\). Чему была равна масса мокрой губки, если масса губки после выжимания стала 100 грамм? Ответ дайте в граммах.

Добавить задание в избранное

Первый способ:

В выжатой губке \(100\% - 20\% = 80\%\) сухого вещества, тогда после выжимания масса сухого вещества губки стала составлять \(0,8 \cdot 100 = 80\) грамм.

Но и до выжимания она была такой же, при этом до выжимания она составляла только \(100 - 80 = 20\%\) массы мокрой губки, значит масса мокрой губки была \(80 : 0,2 = 400\) грамм.

Второй способ:

Пусть \(x\) кг – масса мокрой губки, тогда \[\dfrac{x}{100}\cdot 20\ \text{г}\] – масса сухого вещества. После выжимания масса сухого вещества стала составлять \(100 - 20 = 80\%\) от массы выжатой губки (то есть 80 грамм), тогда \[\dfrac{x}{100}\cdot 20 = 80,\] откуда \(x = 400\) грамм.

Ответ: 400

Задание 9 #845
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Химик Наташа смешала 10-процентный и 20-процентный растворы спирта. Она знает, что если добавит к смеси 1 литр чистой воды, то получит 14-процентный раствор спирта. С другой стороны, если она добавит вместо 1 литра воды 1 литр 40-процентного раствора спирта, то получит 22-процентный раствор спирта. Сколько литров 10-процентного раствора спирта смешала Наташа?

Добавить задание в избранное

Пусть \(x\) литров 10-процентного раствора спирта смешала Наташа,

пусть \(y\) литров 20-процентного раствора спирта смешала Наташа, тогда

 

\(\dfrac{10}{100}x + \dfrac{20}{100}y\) литров чистого спирта содержится в растворе Наташи.

 

По условию при добавлении 1 литра воды раствор станет 14-процентным, тогда:

 

\(\dfrac{10}{100}x + \dfrac{20}{100}y = \dfrac{14}{100}(x + y + 1)\).

 

С другой стороны, если она добавит вместо литра воды литр 40-процентного раствора спирта, то получит 22-процентный раствор, тогда:

\[\dfrac{10}{100}x + \dfrac{20}{100}y + \dfrac{40}{100}\cdot 1 = \dfrac{22}{100}(x + y + 1).\] Решая систему из двух уравнений, находим \(x = 1, \ y = 3\). Итого: 1 литр 10-процентного раствора спирта смешала Наташа.

Ответ: 1

Задание 10 #2135
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Половину объёма огурца когда-то занимала вода, потом этот огурец подсох и вода стала занимать лишь \(20\%\) объёма огурца. Во сколько раз уменьшился объём этого огурца?

Добавить задание в избранное

Пусть первоначальный объём огурца составлял \(V_0\) литров, а конечный объём \(V_1\) литров. Так как объём сухого вещества не менялся, то \[0,5V_0 = 0,8V_1\,,\] откуда находим \[\dfrac{V_0}{V_1} = 1,6\,,\] следовательно, объём огурца уменьшился в \(1,6\) раз.

Ответ: 1,6

Задание 11 #3037
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Смешав \(30\)-процентный и \(90\)-процентный растворы кислоты и добавив \(10\) кг чистой воды, получили \(42\)-процентный раствор кислоты. Если бы вместо \(10\) кг воды добавили \(10\) кг \(50\)-процентного раствора той же кислоты, то получили бы \(52\)-процентный раствор кислоты. Сколько килограммов \(30\)-процентного раствора использовали для получения смеси?

Добавить задание в избранное

Заметим, что вода – это раствор, не содержащий кислоту, то есть содержащий \(0\%\) кислоты.
Пусть \(x\) кг – масса раствора с \(30\)-процентным содержанием кислоты, \(y\) кг – масса раствора с \(90\)-процентным содержанием кислоты. Составим схему, описывающую получение \(42\)-процентного раствора:


 

Заметим, что количество кислоты во всех трех растворах равно количеству кислоты в получившемся растворе. Найдем количество кислоты в первом растворе.
Если раствор весит \(x\) кг, а в нем \(30\%\) кислоты, то в килограммах в нем \(\dfrac{30}{100}\cdot x\) кислоты.

 

Таким же образом можно посчитать количество кислоты в остальных растворах. Получим первое уравнение:

\[\dfrac{30}{100}\cdot x+\dfrac{90}{100}\cdot y+ \dfrac{0}{100}\cdot 10=\dfrac{42}{100}\cdot (x+y+10)\]

Аналогично составим схему, описывающую получение \(50\)-процентного раствора:


 

Значит, уравнение, описывающее эту ситуацию, будет выглядеть так:

\[\dfrac{30}{100}\cdot x+\dfrac{90}{100}\cdot y+ \dfrac{50}{100}\cdot 10=\dfrac{52}{100}\cdot (x+y+10)\]

Таким образом, решив систему из полученных двух уравнений, найдем \(x\). Для этого можно умножить оба уравнения на \(100\), чтобы сделать их проще на вид:

\[\begin{cases} 30x+90y+0=42(x+y+10)\\ 30x+90y+50\cdot 10=52(x+y+10) \end{cases}\]

Данная система равносильна системе

\[\begin{cases} 4y-x=35\\ 19y-11x=10 \end{cases} \quad \Rightarrow \quad \begin{cases} x=25\\y=15 \end{cases}\]

Таким образом, раствора с \(30\%\) кислоты было \(25\) кг.

Ответ: 25

Задание 12 #2136
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Азат смешал \(10\)-процентный, \(20\)-процентный и \(30\)-процентный растворы одной и той же кислоты и получил \(2\) литра \(20\)-процентного раствора. На сколько литров больше было смешано \(10\)-процентного раствора, чем \(30\)-процентного?

Добавить задание в избранное

Пусть у Азата было \(x\) литров \(10\)-процентного раствора, \(y\) литров \(20\)-процентного раствора и \(z\) литров \(30\)-процентного раствора, тогда \[0,1x + 0,2y + 0,3z = 0,2(x + y + z)\qquad\Leftrightarrow\qquad 0,1z = 0,1x \qquad\Leftrightarrow\qquad x = z\,,\] то есть \(10\)-процентного раствора было столько же, сколько и \(30\)-процентного, следовательно, ответ: \(0\).

Ответ: 0

Задание 13 #2137
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

В лаборатории смешали \(10\)-процентный, \(20\)-процентный и \(30\)-процентный растворы одной и той же кислоты, в результате чего было получено \(3\) литра \(18\)-процентной кислоты. Какой объём смеси получился бы, если бы вместо этого смешали \(10\)-процентную кислоту в объёме, в два раза большем, чем её было изначально, с \(20\)-процентной кислотой, взятой в том же объёме, что и изначально? Ответ дайте в литрах.

Добавить задание в избранное

Пусть изначально было \(x\) литров \(10\)-процентного раствора, \(y\) литров \(20\)-процентного раствора и \(z\) литров \(30\)-процентного раствора, тогда искомая величина есть \(2x + y\). При этом \[\begin{cases} 0,1x + 0,2y + 0,3z = 0,18(x + y + z)\\ x + y + z = 3 \end{cases} \quad\Leftrightarrow\quad \begin{cases} 0,1x + 0,2y + 0,3(3 - x - y) = 0,54\\ z = 3 - x - y \end{cases}\] из первого уравнения последней системы находим: \[2x + y = 3,6\,.\] Таким образом, ответ: \(3,6\).

Ответ: 3,6

Задание 14 #2138
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

У Риты было два наполовину заполненных \(10\)-литровых ведра: одно с краской, а другое с водой. Рита взяла и перелила из ведра с водой в ведро с краской ровно \(1\) литр (при помощи ковша объёмом \(1\) литр). Затем, немного подумав, она перелила из ведра, которое изначально было с краской, литр в ведро с водой. Вот только она не помнит, перемешивала ли она содержимое ведра, которое изначально было с краской, прежде чем перелить из него литр. Найдите разность между концентрацией воды в ведре с краской и концентрацией краски в ведре с водой.

Добавить задание в избранное

Попробуем ответить на вопрос, откуда в ведре с краской вода: это вода, которая была перелита в первый раз, но не ушла при втором переливании. При втором переливании именно её место в ковше заняла краска.

Попробуем ответить на вопрос, откуда в ведре с водой краска: это краска, которая была перелита во второй раз, то есть это та самая краска, которая заняла место навсегда оставшейся в ведре с краской воды, следовательно, объём краски в ведре с водой равен объёму воды в ведре с краской. Так как объёмы содержимого вёдер одинаковы, то и соответствующие концентрации одинаковы, тогда ответ: \(0\).

Ответ: 0