Математика
Русский язык

11. Сюжетные текстовые задачи

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения
Задание 8
Уровень задания: Легче ЕГЭ

Путник прошёл \(10\, км\) пешком за \(2\, ч\), затем проехал \(15\, км\) на такси за \(30\, мин\), после чего проплыл \(10\, км\) на лодке за \(1\, ч\). Во сколько раз среднее арифметическое скоростей: пешком, на такси и на лодке больше, чем его средняя скорость?

Добавить задание в избранное

Скорости пешком, на такси и на лодке соответственно равны \[5\, км/ч,\qquad 30\, км/ч,\qquad 10\, км/ч\] Их среднее арифметическое равно \(\dfrac{5 + 30 + 10}{3} = 15\, км/ч\).

Средняя скорость путника равна \[\dfrac{10 + 15 + 10}{2 + 0,5 + 1} = \dfrac{35}{3,5} = 10\, км/ч\,,\] тогда искомая величина равна \[15 : 10 = 1,5\,.\]

Ответ: 1,5

Задание 9
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Лыжник проехал 2 км с горы со скоростью 20 км/ч, после чего поскользнулся и пролетел 1 км кубарем со скоростью 10 км/ч. Оставшиеся 2 км он спускался на подъёмнике со скоростью 15 км/ч. Найдите среднюю скорость лыжника. Ответ дайте в км/ч.

Добавить задание в избранное

По определению средняя скорость – это отношение всего пути ко времени, затраченному на весь путь.

Весь путь лыжника составил \(2 + 1 + 2 = 5\) км.

Время, которое лыжник потратил на этот путь, равно \[2 : 20 + 1 : 10 + 2 : 15 = \dfrac{1}{3}\ \text{ч}.\] Тогда средняя скорость лыжника равна \[5 : \dfrac{1}{3} = 15\ \text{км/ч}.\]

Ответ: 15

Задание 10
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Велосипедист выехал с постоянной скоростью из города А в город В, расстояние между которыми равно \(117\) км. На следующий день он отправился обратно в А со скоростью на \(4\) км/ч больше прежней. По дороге он сделал остановку на \(4\) часа. В результате велосипедист затратил на обратный путь столько же времени, сколько на путь из А в В. Найдите скорость велосипедиста на пути из В в А. Ответ дайте в км/ч.

Добавить задание в избранное

Изобразим в виде схемы движение велосипедиста:


 

Время в часах, которое он затратил на дорогу из A в B, равно \[t_{AB}=\dfrac{117}x\] Время в часах, которое он затратил на дорогу из В в А, учитывая остановку, равно \[t_{BA}=4+\dfrac{117}{x+4}\] Так как \(t_{AB}=t_{BA}\), то получаем уравнение: \[\dfrac{117}x=4+\dfrac{117}{x+4}\] Домножим обе части уравнения на \(x(x+4)\), так как \(x\ne 0, \ x+4\ne 0\) – скорости. \[117(x+4)=4x(x+4)+117x \quad\Leftrightarrow\quad 117x+117\cdot 4=4(x^2+4x)+117x \quad\Leftrightarrow\quad 4(x^2+4x)-117\cdot 4=0 \quad\Leftrightarrow\quad x^2+4x-117=0\] Дискриминант \(D=4^2+117\cdot 4=4(4+117)=4\cdot 121=(2\cdot 11)^2\), следовательно, корни уравнения \(x_1=-13\) и \(x_2=9.\) Так как скорость не может быть отрицательной, то \(x=9\). Тогда скорость велосипедиста на пути из В в А равна \(x+4=13\).

Ответ: 13

Задание 11
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Два велосипедиста одновременно выехали из пункта C в пункт D с одинаковой скоростью. Расстояние между пунктом D и пунктом C – 30 км. Проехав первую треть пути с постоянной скоростью, первый велосипедист увеличил скорость в два раза и ехал с ней до D, а второй велосипедист всю дорогу ехал с постоянной скоростью. Найдите первоначальную скорость обоих велосипедистов, если в D второй велосипедист прибыл на час позже первого. Ответ дайте в км/ч.

Добавить задание в избранное

Пусть \(v\) км/ч – стартовая скорость велосипедистов.

Тогда время, которое потратил на путь второй велосипедист, равно \[\dfrac{30}{v},\] время, которое потратил на первую треть пути первый велосипедист, равно \[\dfrac{\frac{1}{3}\cdot30}{v},\] а время, которое потратил на оставшуюся часть пути первый велосипедист, равно \[\dfrac{\frac{2}{3} \cdot 30}{2v}.\]

Так как первый прибыл в пункт D на час раньше, то:

\[\dfrac{\frac{1}{3}\cdot30}{v} + \dfrac{\frac{2}{3} \cdot 30}{2v} = \dfrac{30}{v} - 1\qquad\Leftrightarrow\qquad \dfrac{10}{v} + \dfrac{10}{v} = \dfrac{30}{v} - \dfrac{v}{v} \qquad\Leftrightarrow\qquad 20 = 30 - v\] – при \(v \neq 0\), откуда находим \(v = 10\) км/ч.

Ответ: 10

Задание 12
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Лыжник планировал проехать \(10\, км\) с горы за \(20\) минут с постоянной скоростью \(v\). Вместо этого первые несколько километров он проехал в два раза быстрее, чем планировал, а оставшиеся километры он проехал в два раза медленнее, чем планировал. В итоге весь путь занял у него \(34\) минуты. Сколько километров лыжник проехал в два раза быстрее, чем планировал?

Добавить задание в избранное

Пусть \(t\, мин\) – время, которое лыжник должен был потратить на те самые несколько километров, которые он ехал быстрее, чем планировал. Тогда время, на самом деле затраченное лыжником, есть \[t\cdot\dfrac{1}{2} + (20 - t)\cdot 2 = 34\qquad\Leftrightarrow\qquad t = 4\,,\] следовательно, на те самые несколько километров, которые он ехал быстрее, лыжник должен был потратить \(\dfrac{4}{20} = \dfrac{1}{5}\) часть всего времени. Так как скорость лыжника должна была быть постоянной, то расстояние, которое он ехал быстрее, равно \[10\cdot\dfrac{1}{5} = 2\, км\,.\]

Ответ: 2

Задание 13
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Два кота одновременно выбегают в одном направлении из одного и того же подъезда. Скорость первого на 0,5 км/ч больше скорости второго. Через сколько минут расстояние между котами станет равным 200 метрам?

Добавить задание в избранное

Первый способ:

Первый кот за час убегает от второго на \(0,5\) км = \(500\) метров, тогда на \(100 = 500 : 5\) метров он убегает от второго кота за \(60 : 5 = 12\) минут. На 200 метров первый кот обгонит второго за \(12 \cdot 2 = 24\) минуты.

Второй способ:

Пусть \(v\) км/ч – скорость второго кота, тогда
\(v + 0,5\) км/ч – скорость первого кота.
Пусть \(t\) ч – время, через которое первый кот обгонит второго на \(200\) м = \(0,2\) км.
\(v\cdot t\) км – расстояние, которое второй кот пробежит за \(t\) часов,
\((v + 0,5)\cdot t\) км – расстояние, которое первый кот пробежит за \(t\) часов, тогда
за \(t\) часов первый кот пробежит больше второго на \((v + 0,5)\cdot t - v\cdot t\) км, откуда
\[(v + 0,5)\cdot t - v\cdot t = 0,2\qquad\Leftrightarrow\qquad v\cdot t + 0,5t - v\cdot t = 0,2,\] откуда \(t = 0,4\) ч, то есть через \(60 \cdot 0,4 = 24\) минуты расстояние между котами станет равным 200 метрам.

Ответ: 24

Задание 14
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Евгений добирался из Москвы до Сочи автостопом. Первые 20 км он шёл пешком со скоростью 4 км/ч, после чего ехал с первым попутчиком следующие 500 км со скоростью 100 км/ч, затем Евгений ехал ещё 500 км со вторым попутчиком со скоростью 125 км/ч, а оставшиеся 600 км он ехал с третьим попутчиком со скоростью 100 км/ч. Найдите среднюю скорость Евгения. Ответ дайте в км/ч.

Добавить задание в избранное

По определению средняя скорость – это отношение всего пути ко времени, затраченному на весь путь. Весь путь Евгения составляет \(20 + 500 + 500 + 600 = 1620\) км.

Время, которое Евгений потратил на этот путь, равно \(20 : 4 + 500 : 100 + 500 : 125 + 600 : 100 = 20\) ч. Тогда средняя скорость Евгения равна \(1620 : 20 = 81\) км/ч.

Ответ: 81

1 2 3 .... 5