Математика
Русский язык

11. Сюжетные текстовые задачи

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения
Задание 29
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Из города N в город M, расстояние между которыми 36 км, выехал автомобиль со скорость 46 км/ч. Одновременно с ним из города M в том же направлении выехал другой автомобиль со скоростью 40 км/ч. Через сколько часов расстояние между автомобилями будет равно 21 км?
Если задача допускает несколько вариантов ответа, в бланк укажите их сумму.

Добавить задание в избранное

Заметим, что так как впереди находится второй (медленный) автомобиль, то сначала автомобили будут сближаться (до того момента, как первый догонит второго), а затем будут удаляться.
Так как расстояние между ними в начале движения 36 км и \(36>21\), то первый раз расстояние в 21 км между ними будет, пока они сближаются, а второй раз – когда они будут отдаляться.



Скорость сближения автомобилей равна \(46-40=6\) км/ч. Расстояние между ними должно измениться с 36 км до 21 км, то есть на \(36-21=15\) км. Следовательно, первый раз это произойдет через \(15:6=2,5\) часа.
Теперь найдем, через сколько часов после начала движения первый догонит второго. Это значит, что расстояние между ними должно стать равным 0 км. Значит, должно измениться на 36 км. Следовательно, время встречи равно \(36:6=6\) часов.
Значит, спустя 6 часов движения картинка выглядит так:



Скорость отдаления также равна 6 км/ч. Расстояние между ними должно измениться с 0 км до 21 км, следовательно, на 21 км, следовательно, это произойдет через \(21:6=3,5\) часа после встречи. Значит, второй раз расстояние между ними будет равно 21 км через \(6+3,5=9,5\) часов.
Так как в задаче два ответа, то в бланк мы запишем \(2,5+9,5=12\)

Ответ: 12

Задание 30
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Бегун Вася установил рекорд на дистанции \(L\) метров, пробежав её с постоянной скоростью \(v\) км/ч (его время наименьшее за всю историю человечества). Илья хочет повторить результат Васи или побить его рекорд. Он знает, что в течение некоторого времени он сможет поддерживать скорость \(1,2v\) км/ч, а потом его скорость упадёт до \(0,8v\) км/ч и сохранится такой до конца дистанции. Какую часть дистанции Илья должен поддерживать скорость \(1,2v\) км/ч, чтобы результат его устроил? Если в задаче возможны несколько ответов – выберите наименьший.

Добавить задание в избранное

Обозначим через \(l\) км длину первого участка (где скорость Ильи равна \(1,2v\) км/ч), тогда суммарное время Ильи на всей дистанции равно \[\dfrac{l}{1,2v} + \dfrac{L - l}{0,8v}\]

Так как Илью устроит любое время, не большее, чем у Васи, то \[\dfrac{l}{1,2v} + \dfrac{L - l}{0,8v}\leqslant \dfrac{L}{v}\,,\] что равносильно \[0,8l + 1,2(L - l)\leqslant 0,96L\qquad\Leftrightarrow\qquad l\geqslant 0,6L\qquad\Leftrightarrow\qquad \dfrac{l}{L}\geqslant 0,6\,.\]

Таким образом, наименьший ответ равен \(0,6\).

Ответ: 0,6