Математика
Русский язык

11. Сюжетные текстовые задачи

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Сюжетные задачи повышенного уровня сложности (страница 2)

\(\blacktriangleright\) Арифметическая прогрессия \(\{a_1,a_2,\dots\}\)– последовательность чисел, где каждое число, начиная со второго, получается путем добавления к предыдущему числу одного и того же числа \(d\), называемого разностью прогрессии. \[{\large{a_n-a_{n-1}=d}}\] Справедливы следующие формулы:

 

\({\large{a_n=a_1+(n-1)d}}\)

 

\({\large{\dfrac{a_{n-1}+a_{n+1}}2=a_n}}\) (каждый элемент равен среднему арифметическому двух соседних)

Пример: \(1, -2, -5, -8, \dots\) – арифметическая прогрессия с разностью \(d=-3\).

Сумма первых \(n\) элементов арифметической прогрессии \[{\large{S_n=\dfrac{a_1+a_n}2\cdot n}}\]

\(\blacktriangleright\) Геометрическая прогрессия \(\{b_1, b_2, \dots\}\) – последовательность чисел, где каждое число, начиная со второго, получается путем умножения предыдущего числа на одно и то же число \(q\), называемое знаменателем прогрессии. \[{\large{b_n=b_{n-1}\cdot q}}\] Справедливы следующие формулы:

 

\({\large{b_n=b_1\cdot q^{n-1}}}\)

 

\({\large{\sqrt{b_{n-1}\cdot b_{n+1}}=b_n}}\) (каждый элемент равен среднему геометрическому двух соседних)

Пример: \(2, 1, \dfrac12, \dfrac14, \dots\) – геометрическая прогрессия со знаменателем \(q=\dfrac12\).

Сумма первых \(n\) элементов геометрической прогрессии \[{\large{S_n=\dfrac{1-q^n}{1-q}\cdot b_1, \quad q\ne 1}}\]

Задание 8
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Поезд едет с постоянной скоростью 60 км/ч. Он проезжает мимо столба за 45 секунд. За сколько секунд он полностью переедет мост длиной 1500 метров?

Добавить задание в избранное

За 45 секунд поезд проезжает 750 метров, значит длина поезда и есть 750 метров (когда поезд проезжает мимо столба, изначально расстояние от последнего вагона до столба равно длине поезда, а в конце последний вагон проезжает мимо столба, значит, он перемещается на расстояние, равное длине поезда).

Чтобы полностью переехать мост длиной 1500 метров поезду длиной 750 метров понадобится \(45 \cdot 3 = 135\) секунд. Действительно, через 45 секунд после начала переезда первый вагон поезда окажется на середине моста.

Ещё через 45 секунд первый вагон начнёт покидать мост, а ещё через 45 секунд последний вагон покинет мост.

Ответ: 135

Задание 9
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Удав ползёт равномерно со скоростью 1,5 км/ч. Он полностью проползает мимо здания длиной 20 метров за 1 минуту. Найдите длину удава в метрах.

Добавить задание в избранное

Проползая мимо здания, хвост удава преодолевает расстояние, равное сумме длин удава и здания. За минуту хвост удава проползает \(1500 : 60 = 25\) метров. Тогда длина самого удава \(25 - 20 = 5\) метров.

Ответ: 5

Задание 10
Уровень задания: Равен ЕГЭ

По параллельным путям в одном направлении едут скорый и пассажирский поезда, скорости которых равны соответственно 100 км/ч и 80 км/ч. Длина скорого поезда равна 500 метрам. Найдите длину пассажирского поезда, если время, за которое скорый поезд полностью прошёл мимо пассажирского, равно 3 минутам. Ответ дайте в метрах.

Добавить задание в избранное

Скорость удаления поездов составляет \(100 - 80 = 20\) км/ч. За 3 минуты скорый поезд проезжает на 1 км больше, чем пассажирский. Когда скорый поезд полностью проходит мимо пассажирского, он обгоняет его на расстояние, равное сумме их длин.

Тогда сумма длин поездов составляет 1 км, а значит, длина пассажирского поезда равна \(1000 - 500 = 500\) метров.

Ответ: 500

Задание 11
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Возраст корабля сейчас в два раза больше, чем возраст его двигателя тогда, когда возраст корабля был равен возрасту двигателя сейчас. Найдите отношение возраста двигателя сейчас к возрасту корабля сейчас.

Добавить задание в избранное

Пусть “сейчас” возраст корабля \(2x\), значит, “тогда” возраст двигателя был \(x\). Пусть “тогда” возраст корабля был \(y\), значит, “сейчас” возраст двигателя тоже \(y\).
Так как с момента “тогда” до момента “сейчас” и для корабля, и для двигателя прошло одинаковое количество лет, то разница между возрастом “сейчас” и “тогда” одинаковая и для корабля, и для двигателя. Следовательно: \[2x-y=y-x \quad\Leftrightarrow\quad 3x=2y \quad\Rightarrow\quad \dfrac yx=\dfrac32 \quad\Rightarrow\quad \dfrac y{2x}=\dfrac34=0,75.\]

Ответ: 0,75

Задание 12
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Встретились три друга и сварили кашу. Первый дал две кружки крупы, второй – одну, а у третьего крупы не было, поэтому он “оплатил” свою порцию каши, отдав друзьям \(60\) рублей. Кашу ели все поровну. Сколько рублей из этих \(60\) должен получить второй друг, если деньги первые два друга решили разделить справедливо?

Добавить задание в избранное

Второй друг не должен получить ни копейки, ведь на деле первый друг просто дал кружку крупы третьему другу, а второй друг сам съел всю свою крупу.

Ответ: 0

Задание 13
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Зарплата учителя каждый год растёт на 2\(\%\) по сравнению с предыдущим годом. В 2011 году зарплата учителя составляла 250000 рублей в год. Какой оказалась зарплата учителя за 2014 год? Ответ дайте в рублях.

Добавить задание в избранное

Последовательность зарплат в рублях, выплаченных за 2011, 2012 и т.д. года соответственно, представляет собой геометрическую прогрессию.

Её первый член равен 250000. Её четвёртый член \(b_4 = 250000 \cdot (1 + 0,02)^3 = 265302\). Таким образом, 265302 рубля составила зарплата учителя за 2014 год.

Ответ: 265302

Задание 14
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Илья решил в течение некоторого периода каждый день отжиматься в два раза больше, чем в предыдущий день. В четвёртый и последний день вместе он отжался в десять раз больше, чем в третий день. Сколько раз суммарно отжался Илья за этот период, если в первый день он отжался три раза?

Добавить задание в избранное

В третий день Илья сделал \(3\cdot 2^{3 - 1} = 12\) отжиманий, а в четвёртый день он сделал \(3\cdot 2^{4 - 1} = 24\) отжимания. Так как в четвёртый и последний день вместе он отжался в десять раз больше, чем в третий день, то в четвёртый и последний день он отжался \(12\cdot 10 = 120\) раз, следовательно, в последний день он отжался \(120 - 24 = 96\) раз.

Пусть \(n\) дней длился период отжиманий Ильи, тогда \[3\cdot 2^{n - 1} = 96\qquad\Leftrightarrow\qquad 2^{n - 1} = 32\qquad\Leftrightarrow\qquad n = 6\,.\]

Суммарное количество отжиманий, сделанное Ильёй, равно \[3\cdot\dfrac{2^6 - 1}{2 - 1} = 189\,.\]

Ответ: 189

1 2 3