Математика
Русский язык

4. Введение в теорию вероятностей

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Произведение вероятностей совместных событий

\(\blacktriangleright\) Если для выполнения события \(C\) необходимо выполнение обоих совместных (которые могут произойти одновременно) событий \(A\) и \(B\) (\(C=\{A\) и \(B\}\)), то вероятность события \(C\) равна произведению вероятностей событий \(A\) и \(B\).

 

Заметим, что если события несовместны, то вероятность их одновременного происхождения равна \(0\).

 

\(\blacktriangleright\) Каждое событие можно обозначить в виде круга. Тогда если события совместны, то круги должны пересекаться. Вероятность события \(C\) – это вероятность попасть в оба круга одновременно.


 

\(\blacktriangleright\) Например, при подбрасывании игральной кости найти вероятность \(C=\){выпадение числа \(6\)}.
Событие \(C\) можно сформулировать как \(A=\){выпадение четного числа} и \(B=\){выпадение числа, делящегося на три}.
Тогда \(P\,(C)=P\,(A)\cdot P\,(B)=\dfrac12\cdot \dfrac13=\dfrac16\).

Задание 1
Уровень задания: Равен ЕГЭ

В магазине продаются кроссовки двух фирм: Dike и Ananas. Вероятность того, что случайно выбранная пара кроссовок будет фирмы Dike, равна \(0,6\). Каждая фирма может ошибиться в написании своего названия на кроссовках. Вероятность того, что фирма Dike ошибется в написании названия, равна \(0,05\); вероятность того, что фирма Ananas ошибется в написании названия, равна \(0,025\). Найдите вероятность того, что случайно купленная пара кроссовок будет с правильным написанием названия фирмы.

Добавить задание в избранное

Событие A: “пара кроссовок будет с правильным названием” равно сумме событий B: “пара кроссовок будет фирмы Dike и с правильным названием” и C: “пара кроссовок будет фирмы Ananas и с правильным названием”.
Вероятность события B равна произведению вероятностей событий “кроссовки будут фирмы Dike” и “название фирма Dike написала правильно”: \[P(B)=0,6\cdot (1-0,05)\] Аналогично для события C: \[P(C)=(1-0,6)\cdot (1-0,025)\] Следовательно, \[P(A)=P(B)+P(C)=0,6\cdot 0,95+0,4\cdot 0,975=0,96\]

Ответ: 0,96

Задание 2
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Если Тимур играет белыми шашками, то он выигрывает у Вани с вероятностью 0,72. Если Тимур играет черными шашками, то он выигрывает у Вани с вероятностью 0,63. Тимур и Ваня играют две партии, причем во второй партии меняют цвет шашек. Найдите вероятность того, что Ваня выиграет оба раза.

Добавить задание в избранное

Ваня выигрывает белыми с вероятностью \(0,37\), а черными с вероятностью \(0,28\). События “из двух партий Ваня выиграл белыми”\(\ \)и “из двух партий Ваня выиграл черными”\(\ \)– независимы, тогда вероятность их одновременного наступления равна \[0,37 \cdot 0,28 = 0,1036.\]

Ответ: 0,1036

Задание 3
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Вход в музей охраняют два охранника. Вероятность того, что старший из них забудет рацию равна \(0,2\), а вероятность того, что младший из них забудет рацию равна \(0,1\). Какова вероятность того, что у них не будет ни одной рации?

Добавить задание в избранное

Так как рассматриваемые события независимы, то вероятность их одновременного наступления равна произведению их вероятностей. Тогда искомая вероятность равна \[0,2\cdot 0,1 = 0,02.\]

Ответ: 0,02

Задание 4
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Прыгая с высоты 1 метр, Костя ломает ногу с вероятностью \(0,05\). Прыгая с высоты 1 метр, Ваня ломает ногу с вероятностью \(0,01\). Прыгая с высоты 1 метр, Антон ломает ногу с вероятностью \(0,01\). Костя, Ваня и Антон одновременно прыгают с высоты 1 метр. Какова вероятность того, что из них только Костя сломает ногу? Ответ округлите до тысячных.

Добавить задание в избранное

События “при прыжке с высоты 1 метр Костя сломал ногу”\(,\ \)“при прыжке с высоты 1 метр Ваня не сломал ногу”\(\ \)и “при прыжке с высоты 1 метр Антон не сломал ногу”\(\ \)– независимы, следовательно, вероятность их одновременного наступления равна произведению их вероятностей: \[0,05\cdot 0,99\cdot 0,99 = 0,049005.\] После округления окончательно получаем \(0,049\).

Ответ: 0,049

Задание 5
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Максим и Ваня решили поиграть в боулинг. Максим справедливо прикинул, что в среднем он выбивает страйк один раз в восемь бросков. Ваня справедливо прикинул, что в среднем он выбивает страйк один раз в пять бросков. Максим и Ваня делают ровно по одному броску (независимо от результата). Какова вероятность того, что среди них не будет страйков?

Добавить задание в избранное

Так как рассматриваемые события независимы, то вероятность их одновременного наступления равна произведению их вероятностей. При этом вероятность того, что Максим не выбьет страйк равна \[1 - \dfrac{1}{8} = \dfrac{7}{8}.\] Вероятность того, что Ваня не выбьет страйк равна \(1 - 0,2 = 0,8\). Тогда искомая вероятность равна \[\dfrac{7}{8}\cdot 0,8 = 0,7.\]

Ответ: 0,7

Задание 6
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Антон и Костя играют в настольный теннис. Вероятность того, что Костя попадет своим коронным ударом в стол равна \(0,9\). Вероятность того, что Антон выиграет розыгрыш, в котором Костя попытался нанести коронный удар равна \(0,3\). Костя попытался попасть своим коронным ударом в стол. Какова вероятность того, что Костя действительно попадет своим коронным ударом и в итоге выиграет этот розыгрыш?

Добавить задание в избранное

Так как рассматриваемые события независимы, то вероятность их одновременного наступления равна произведению их вероятностей. При этом вероятность того, что Антон не выиграет розыгрыш, в котором Костя попытался нанести свой коронный удар равна \(1 - 0,3 = 0,7\). Тогда искомая вероятность равна \[0,9\cdot 0,7 = 0,63.\]

Ответ: 0,63

Задание 7
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Танкист три раза стреляет по вражеским танкам. Вероятность попадания во вражеский танк при одном выстреле равна \(0,4\). Найдите вероятность того, что первые два раза танкист попал во вражеские танки, а в последний раз промахнулся.

Добавить задание в избранное

Так как рассматриваемые события независимы, то вероятность их одновременного наступления равна произведению их вероятностей. Тогда искомая вероятность равна \[0,4\cdot 0,4\cdot (1 - 0,4) = 0,096.\]

Ответ: 0,096

Задачи ЕГЭ на произведение вероятностей совместных событий являются частью программы аттестационного испытания. Таким образом, справляться с ними должны выпускники с любым уровнем подготовки. При этом многолетний опыт показывает, что задания ЕГЭ на произведение вероятностей совместных событий вызывают определенные сложности у многих учащихся.

Разобраться в теме и ликвидировать пробелы в знаниях вам поможет образовательный портал «Школково». На нашем сайте представлен весь необходимый материал для качественной подготовки к аттестационному испытанию.

Чтобы понять принцип решения задач ЕГЭ на произведение вероятностей совместных событий, рекомендуем вначале повторить основные определения. Их вы найдете в разделе «Теоретическая справка». Наши специалисты систематизировали и изложили этот материал в максимально понятной форме.

Для закрепления усвоенной информации предлагаем выпускникам попрактиковаться в выполнении соответствующих задач. Мы подготовили простые и более сложные упражнения. Выполнять их старшеклассники из столицы и других российских городов могут в онлайн-режиме.

В случае необходимости любое упражнение можно сохранить в разделе «Избранное». Это позволит в дальнейшем вернуться к нему и, к примеру, обсудить алгоритм решения со школьным преподавателем. База упражнений на образовательном портале «Школково» регулярно обновляется.