Математика
Русский язык

4. Введение в теорию вероятностей

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Произведение вероятностей совместных событий (страница 2)

\(\blacktriangleright\) Если для выполнения события \(C\) необходимо выполнение обоих совместных (которые могут произойти одновременно) событий \(A\) и \(B\) (\(C=\{A\) и \(B\}\)), то вероятность события \(C\) равна произведению вероятностей событий \(A\) и \(B\).

 

Заметим, что если события несовместны, то вероятность их одновременного происхождения равна \(0\).

 

\(\blacktriangleright\) Каждое событие можно обозначить в виде круга. Тогда если события совместны, то круги должны пересекаться. Вероятность события \(C\) – это вероятность попасть в оба круга одновременно.


 

\(\blacktriangleright\) Например, при подбрасывании игральной кости найти вероятность \(C=\){выпадение числа \(6\)}.
Событие \(C\) можно сформулировать как \(A=\){выпадение четного числа} и \(B=\){выпадение числа, делящегося на три}.
Тогда \(P\,(C)=P\,(A)\cdot P\,(B)=\dfrac12\cdot \dfrac13=\dfrac16\).

Задание 8
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Танкист три раза стреляет по вражеским танкам. Вероятность попадания во вражеский танк при одном выстреле равна \(0,4\). Найдите вероятность того, что танкист попадет во вражеские танки ровно 2 раза. Результат округлите до сотых.

Добавить задание в избранное

Вероятность того, что танкист промахнется только первым выстрелом равна \(0,6\cdot 0,4\cdot 0,4\). Вероятность того, что танкист промахнется только вторым выстрелом равна \(0,4\cdot 0,6\cdot 0,4\).

Вероятность того, что танкист промахнется только третьим выстрелом равна \(0,4\cdot 0,4\cdot 0,6\).

Вероятность того, что случится одно из этих несовместных событий равна сумме вероятностей каждого из них и равна \(3\cdot 0,096 = 0,288\). После округления получим \(0,29\).

Ответ: 0,29

Задание 9
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Автоматическая линия изготавливает батарейки. Вероятность того, что готовая батарейка неисправна, равна 0,05. Перед упаковкой каждая батарейка проходит систему контроля. Вероятность того, что система контроля забракует неисправную батарейку, равна 0,96. Вероятность того, что система по ошибке забракует исправную батарейку, равна 0,04. Найдите вероятность того, что выбранная изготовленная батарейка будет забракована системой контроля.

 

(Задача от подписчиков)

Добавить задание в избранное

Выберем произвольную батарейку. Нам удовлетворяют два случая: либо батарейка исправна, но система по ошибке ее забраковала (событие A), либо батарейка неисправна и система ее забраковала (событие B).

Так как это событие имеет вид: “событие A ИЛИ событие B” (причем события несовместны, то есть не могут произойти одновременно!), то вероятность его наступления равна сумме вероятностей событий A и B: \[P=P(A)+P(B)\] Найдем отдельно \(P(A)\) и \(P(B)\).

1) событие A = батарейка исправна И система по ошибке ее забраковала.
Следовательно, вероятность события A равна произведению вероятностей событий “батарейка исправна” и “система забраковала”. Так как вероятность того, что батарейка неисправна, равна 0,05, то вероятность того, что она исправна, равна \(1-0,05=0,95\). Следовательно, \[P(A)=0,95\cdot 0,04=0,038.\]

2) событие B = батарейка неисправна И система ее забраковала.
Следовательно, аналогично событию A, вероятность события B равна произведению вероятностей событий “батарейка неисправна” и “система забраковала”. Следовательно, \[P(B)=0,05\cdot 0,96=0,048.\]

Таким образом, \[P=0,048+0,038=0,086.\]

Ответ: 0,086

Задание 10
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Кот Бандит успешно запрыгивает на верхнюю полку шкафа в среднем в 19 случаях из 20. Кот Бандит успешно ворует сосиску в среднем в 3 случаях из 10. Какова вероятность того, что кот Бандит сможет украсть сосиску и запрыгнуть с ней на верхнюю полку шкафа, если наличие в зубах сосиски не влияет на успешность прыжка?

Добавить задание в избранное

События “кот Бандит успешно запрыгивает на верхнюю полку шкафа”\(\ \)и “кот Бандит успешно крадет сосиску”\(\ \)– независимы, следовательно, вероятность их одновременного наступления равна произведению их вероятностей: \[\dfrac{19}{20}\cdot\dfrac{3}{10} = 0,285.\]

Ответ: 0,285

Задание 11
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

В коробке лежат 4 синих, 10 черных, 2 красных и 4 зеленых ручки. Ваня наугад достает по очереди 2 ручки (ничего не кладет обратно). Какова вероятность того, что среди них окажется ровно одна не синяя и не черная ручка? Ответ округлите до сотых.

Добавить задание в избранное

В данной задаче нет смысла различать синие и черные ручки, а также нет смысла различать красные и зеленые ручки. Будем считать, что в коробке 14 хороших ручек и 6 плохих. Теперь нас интересует вероятность того, что Ваня за 2 попытки ровно 1 раз достанет хорошую ручку.

Вероятность того, что Ваня достанет сначала хорошую ручку, а потом плохую равна \[\dfrac{14}{20}\cdot\dfrac{6}{19}\] (так как после первого изъятия ручки из коробки в ней останется 19 ручек). Вероятность того, что Ваня достанет сначала плохую ручку, а потом хорошую равна \[\dfrac{6}{20}\cdot\dfrac{14}{19}.\] Вероятность того, что случится одно из этих несовместных событий равна сумме вероятностей каждого из них и равна \[\dfrac{14}{20}\cdot\dfrac{6}{19} + \dfrac{6}{20}\cdot\dfrac{14}{19} = 0,442\dots .\] После округления получаем \(0,44\).

Ответ: 0,44

Задание 12
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Игорь заметил, что Азат жуёт жвачку и попросил у него одну жвачку для себя. У Азата в карманах лежат подушечки Orbit и Dirol. В одном кармане 3 подушечки Orbit и 2 подушечки Dirol, в другом кармане 2 подушечки Orbit и 3 подушечки Dirol. Азат не хотел бы делиться жвачкой Orbit. Он случайным образом выбирает один из двух карманов и наугад вытаскивает из этого кармана одну подушечку. Какова вероятность того, что Игорю достанется жвачка Dirol (и Азат останется доволен)?

Добавить задание в избранное

Вероятность вытаскивания любой подушечки равна \(0,5\cdot 0,2\), где \(0,5\) – вероятность выбора кармана, в котором лежит рассматриваемая подушечка, \(0,2\) – вероятность вытаскивания рассматриваемой подушечки из этого кармана.

Так как вероятности вытаскивания любой подушечки одинаковы, то искомая вероятность есть просто отношение количества подушечек Dirol в карманах Азата к общему количеству жвачек в карманах Азата. Вероятность того, что вытащенная жвачка окажется Dirol’ом равна \[\dfrac{5}{10} = 0,5.\]

Ответ: 0,5

Задание 13
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

У странной Кати есть 10 чёрных и 10 синих ручек. Она раскладывает ручки в два кармана по 10 в каждый таким образом, чтобы при случайном выборе кармана и вытаскивании из него ручки наугад, вероятность получить синюю ручку была максимально возможной. Какую вероятность вытащить синюю ручку она получит?

Добавить задание в избранное

Пусть в первом кармане \(s\) синих ручек, тогда в другом кармане \(10 - s\) синих ручек.

Вероятность вытащить синюю ручку из первого кармана равна \[0,5\cdot \dfrac{s}{10},\] где \(0,5\) – вероятность выбора первого кармана.

Вероятность вытащить синюю ручку из второго кармана равна \[0,5\cdot \dfrac{10 - s}{10},\] тогда вероятность вытащить синюю ручку равна \[0,5\cdot \dfrac{s}{10} + 0,5\cdot \dfrac{10 - s}{10} = 0,5\cdot\dfrac{s + 10 - s}{10} = 0,5\] (независимо от того, как именно разложены ручки, но при соблюдении условия “по 10 в каждом кармане”\( \)).

Ответ: 0,5

Задание 14
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

В двух ящиках лежат носки: в одном 3 чёрных носка и 1 синий, в другом 5 синих носков и 1 чёрный. Случайным образом выбирается один ящик, затем из него не глядя вытаскивают 2 носка. Какова вероятность того, что оба носка окажутся одного цвета? Ответ округлите до сотых.

Добавить задание в избранное

В первом ящике пару совпадающих по цвету могут образовывать только чёрные носки. Вероятность вытащить два чёрных носка из первого ящика равна \[0,5\cdot\dfrac{3}{4}\cdot\dfrac{2}{3},\] где \(0,5\) – вероятность выбора первого ящика.

Аналогично во втором ящике пару совпадающих по цвету могут образовывать только синие носки. Вероятность вытащить два синих носка из второго ящика равна \[0,5\cdot\dfrac{5}{6}\cdot\dfrac{4}{5},\] тогда вероятность вытащить пару совпадающих по цвету носков равна \[0,5\cdot\dfrac{3}{4}\cdot\dfrac{2}{3} + 0,5\cdot\dfrac{5}{6}\cdot\dfrac{4}{5} = \dfrac{7}{12} = 0,58(3).\] После округления получим \(0,58\).

Ответ: 0,58

1 2 3