Математика ЕГЭ
Русский язык ЕГЭ
Математика 5-7
Математика ОГЭ
Кликните, чтобы открыть меню

4. Введение в теорию вероятностей

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Задачи на сумму вероятностей несовместных событий

\(\blacktriangleright\) Если для выполнения события \(C\) необходимо выполнение хотя бы одного из двух несовместных (которые не могут произойти одновременно) событий \(A\) и \(B\) (\(C=\{A\) или \(B\}\)), то вероятность события \(C\) равна сумме вероятностей событий \(A\) и \(B\).

 

\(\blacktriangleright\) Каждое событие можно обозначить в виде круга. Тогда если события несовместны, то круги не должны пересекаться. Вероятность события \(C\) – это вероятность попасть в один из кругов.


 

\(\blacktriangleright\) Например, при подбрасывании игральной кости найти вероятность события \(C=\){выпадет число, делящееся на три}.
Можно сказать, что для того, чтобы выпало число, делящееся на три, нужно, чтобы выпало число \(3\) или число \(6\).
Значит, \(A=\){выпадет \(3\)}, \(B=\){выпадет \(6\)}, причем эти события несовместны!

 

Тогда \(P(C)=P(A)+P(B)=\dfrac16+\dfrac16=\dfrac13\).

 

\(\blacktriangleright\) В случае совместности событий данная формула уже не верна.
Например, при подбрасывании игральной кости найти вероятность события \(C=\){выпадет четное число}. Ответ должен быть \(P(C)=\dfrac12\).
Но если принять за \(A=\){выпадет число, делящееся на \(2\)}, \(B=\){выпадет число, делящееся на \(4\)}, то \(P(C)=\dfrac12+\dfrac16\ne \dfrac12\),
потому что события \(A\) и \(B\) совместны: они могут произойти одновременно, когда выпадет \(4\).

Задание 1 #6381
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Два радиста пытаются принять сигнал радиопередатчика, причем вероятность того, что сигнал не будет принят никем, равна \(0,08\). Найдите вероятность, что хотя бы одному из радистов удастся принять сигнал.

Событие \(A=\)“хотя бы одному из радистов удастся принять сигнал” означает, что либо первый примет сигнал, а второй – нет, либо второй примет сигнал, а первый – нет, либо оба примут сигнал. Вероятность противоположного события, то есть события \(B=\)“ни один из радистов не примет сигнал”, равна \(0,08\). Так как сумма вероятностей противоположных событий равна \(1\), то \(P(A)=1-P(B)=1-0,08=0,92\).

Ответ: 0,92

Задание 2 #4018
Уровень задания: Равен ЕГЭ

На экзамене по геометрии школьник отвечает на один вопрос из списка экзаменационных вопросов. Вероятность того, что это вопрос по теме “Вписанная окружность”, равна \(0,15\). Вероятность того, что это вопрос по теме “Тригонометрия”, равна \(0,3\). Вопросов, которые одновременно относятся к этим двум темам, нет. Найдите вероятность того, что на экзамене школьнику достанется вопрос по одной из этих двух тем.

Вероятность того, что попадется вопрос по теме “Вписанная окружность” ИЛИ по теме “Тригонометрия”, равна СУММЕ этих вероятностей, то есть \[0,15+0,3=0,45\]

Ответ: 0,45

Задание 3 #6366
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Вероятность того, что новый электрический чайник прослужит больше года, равна 0,9. Вероятность того, что он прослужит больше двух лет, равна 0,82. Найдите вероятность того, что он прослужит меньше двух лет, но больше года.

Рассмотрим следующий рисунок:


 

Из рисунка наглядно видно, что, для того чтобы найти вероятность того, что чайник прослужит больше года, но меньше двух лет, нужно из вероятности прослужить больше года вычесть вероятность прослужить больше двух лет.
Иными словами: событие \(A\) = { Чайник прослужит больше года } состоит из непересекающихся событий \(B =\) { Чайник прослужит больше двух лет } и \(C =\) { Чайник прослужит больше года, но меньше двух лет }, т.е. \(A = B \cup C.\) Значит, для вероятностей этих событий можно записать следующее: \[P(A)=P(B)+P(C)\] Нам нужно найти вероятность события \(С\): \(P(C)=P(A)-P(B)\). По условию \(P(A)=0,9\), \(P(B)=0,82\), тогда \[P(C)=0,9-0,82=0,08.\]

Ответ: 0,08

Задание 4 #6367
Уровень задания: Равен ЕГЭ

При изготовлении подшипников диаметром 61 мм вероятность того, что диаметр будет отличаться от заданного не больше, чем на 0,01 мм, равна 0,976. Найдите вероятность того, что случайный подшипник будет иметь диаметр меньше чем 60,99 мм, или больше чем 61,01 мм.

Отметим, что событие “Диаметр подшипника отличается от заданного не больше чем на 0,01 мм” — это тоже самое, что и событие “Подшипник имеет диаметр от 60,99 мм до 61,01 мм”. Вместе события \(A\) = { Подшипник имеет диаметр меньше чем 60,99 мм }, \(B\) = { Подшипник имеет диаметр больше чем 61,01 мм }, \(C\) = { Подшипник имеет диаметр от 60,99 мм до 61,01 мм } составляют вообще все возможные варианты, значит, сумма их вероятностей равна 1:\[P(A)+P(B)+P(C)=1.\] По условию нам нужно найти вероятность события, которое является объединением событий \(A\) и \(B\), а значит искомая вероятность равна сумме их вероятностей:\[P(A)+P(B)=1-P(C)\] \[P(A)+P(B)=1-0,976=0,024.\] Для наглядности приведем рисунок:


 

Ответ: 0,024

Задание 5 #6368
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Вероятность того, что на тестировании по истории учащийся Т. решит больше 10 задач, равна 0,75. Вероятность того, что Т. верно решит больше 9 задач, равна 0,8. Найдите вероятность того, что Т. верно решит ровно 10 задач.

Для наглядности нанесем данные из условия на прямую:



Тогда видим, что событие \(A\) = { Решил больше 9 задач } состоит из объединения несовместных событий \(B\) = { Решил больше 10 задач } и \(C\) = { Решил ровно 10 задач }, а значит, его вероятность равна сумме вероятностей: \[P(A)=P(B)+P(C).\] Так как требуется найти вероятность события \(C\), то \(P(C)=P(A)-P(B)\), то есть \[P(C)=0,8-0,75=0,05.\]

Ответ: 0,05

Задание 6 #6369
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Вероятность того, что в случайный момент времени температура тела здорового человека окажется ниже \(36,8^{\circ}\mathrm{C}\), равна 0,81. Найдите вероятность того, что в случайный момент времени у здорового человека температура окажется \(36,8^{\circ}\mathrm{C}\) или выше.

Рассмотрим рисунок:


 

События “Температура тела ниже \(36,8^{\circ}\mathrm{C}\,\)” и “Температура тела выше или равна \(36,8^{\circ}\mathrm{C}\,\)” противоположные, значит, сумма их вероятностей равна 1. Тогда искомая вероятность равна: \[1-0,81=0,19.\]

Ответ: 0,19

Задание 7 #6370
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Из районного центра в деревню ежедневно ходит автобус. Вероятность того, что в понедельник в автобусе окажется меньше 16 пассажиров, равна 0,96. Вероятность того, что окажется меньше 10 пассажиров, равна 0,55. Найдите вероятность того, что число пассажиров будет от 10 до 15.

Для наглядности решения начертим рисунок:



Отсюда видим, что событие \(A\) = { В автобусе окажется меньше 16 пассажиров } состоит из двух непересекающихся событий \(B\) = { В автобусе окажется меньше 10 пассажиров } и \(C\) = { В автобусе окажется от 10 до 15 пассажиров }, значит, для вероятностей можно записать: \(P(A)=P(B)+P(C)\). Так как нам нужно найти вероятность события \(C\), то: \[P(C)=P(A)-P(B)=0,96-0,55=0,41.\]

Ответ: 0,41

Задания на нахождение суммы вероятностей несовместных событий — обязательная часть ЕГЭ по математике. Знать алгоритм их решения и уметь его применять должны все выпускники вне зависимости от уровня их подготовки. При этом, как показывает статистика, задачи ЕГЭ, в которых требуется вычислить сумму вероятности несовместных событий, вызывают у старшеклассников определенные трудности. Восполнить пробелы в знаниях вам поможет образовательный портал «Школково». Там представлены задачи на нахождение суммы вероятностей двух несовместных событий, подобные тем, что встречаются в ЕГЭ. Разобравшись с алгоритмом их решения, учащийся сможет успешно преодолеть аттестационное испытание.

Важно запомнить!

При решении подобных задач необходимо руководствоваться следующими теоретическими данными:

  • Случайным называется то событие, исход которого невозможно предсказать до его свершения. В качестве примера можно привести следующие действия: подбрасывание монеты или игральной кости, выигрыш лотерейного билета и т. п.
  • Вероятность случайного события равняется отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов. Очевидно, что ее значение не может превышать 1.
  • Несовместными называются два события, которые не могут произойти единовременно в результате проведения случайного эксперимента.

Какие еще важные моменты стоит отметить в этой теме? При решении подобных задач в ЕГЭ необходимо вспомнить теорему вероятности суммы двух несовместных событий. Ее формулировка звучит следующим образом. Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий.

Записать ее можно таким образом:

\(P(A+B)=P(A)+P(B)\), где \(A\) и \(B\) — несовместные события.

Замечание. Вероятность суммы несовместных событий будет равна сумме их вероятностей, даже если речь идет о попарно несовместных событиях.

Как подготовиться к экзамену?

Для того чтобы задания по теории вероятности профильного уровня не вызывали у вас затруднений, рекомендуем воспользоваться информацией на образовательном портале «Школково». Здесь представлена формула вероятности суммы несовместных событий, базовые теоремы и другой теоретический материал, который поможет вам подготовиться к ЕГЭ. Кроме того, в соответствующем разделе собраны упражнения для отработки полученных знаний. Для каждого задания наши специалисты прописали алгоритм решения и привели правильный ответ. Выпускники имеют возможность практиковаться в выполнении упражнений различного уровня сложности в режиме онлайн.