Математика
Русский язык

4. Введение в теорию вероятностей

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Задачи на сумму вероятностей несовместных событий

\(\blacktriangleright\) Если для выполнения события \(C\) необходимо выполнение хотя бы одного из двух несовместных (которые не могут произойти одновременно) событий \(A\) и \(B\) (\(C=\{A\) или \(B\}\)), то вероятность события \(C\) равна сумме вероятностей событий \(A\) и \(B\).

 

\(\blacktriangleright\) Каждое событие можно обозначить в виде круга. Тогда если события несовместны, то круги не должны пересекаться. Вероятность события \(C\) – это вероятность попасть в один из кругов.


 

\(\blacktriangleright\) Например, при подбрасывании игральной кости найти вероятность события \(C=\){выпадет число, делящееся на три}.
Можно сказать, что для того, чтобы выпало число, делящееся на три, нужно, чтобы выпало число \(3\) или число \(6\).
Значит, \(A=\){выпадет \(3\)}, \(B=\){выпадет \(6\)}, причем эти события несовместны!

 

Тогда \(P(C)=P(A)+P(B)=\dfrac16+\dfrac16=\dfrac13\).

 

\(\blacktriangleright\) В случае совместности событий данная формула уже не верна.
Например, при подбрасывании игральной кости найти вероятность события \(C=\){выпадет четное число}. Ответ должен быть \(P(C)=\dfrac12\).
Но если принять за \(A=\){выпадет число, делящееся на \(2\)}, \(B=\){выпадет число, делящееся на \(4\)}, то \(P(C)=\dfrac12+\dfrac16\ne \dfrac12\),
потому что события \(A\) и \(B\) совместны: они могут произойти одновременно, когда выпадет \(4\).

Задание 1
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Из множества натуральных чисел от 21 до 30 наугад выбирают одно число. Какова вероятность того, что оно делится на 3 или на 13?

Добавить задание в избранное

Так как вероятности выбора любого числа из данного множества одинаковы, то искомая вероятность есть просто отношение количества чисел из данного множества, которые делятся на 3 или на 4, к количеству всевозможных чисел из данного множества.

Так как число от 21 до 30 не может одновременно делиться на 3 и на 13, то события \( \)“число делится на 3”\(\ \)и\(\ \)“число делится на 13”\( \) несовместны.

В данном множестве на 3 делятся: 21, 24, 27, 30, а на 13 делятся: 26. Всего в множестве натуральных чисел от 21 до 30 имеется 10 чисел, тогда вероятность того, что наугад взятое из них делится на 3 или на 13 равна \[\dfrac{5}{10} = 0,5.\]

Ответ: 0,5

Задание 2
Уровень задания: Равен ЕГЭ

В коробке лежат 4 синих, 7 красных, 6 зеленых и 3 желтых карандаша. Миша наугад достает один карандаш. Какова вероятность того, что этот карандаш синий или красный?

Добавить задание в избранное

Так как вероятности выбора любого карандаша из данного множества одинаковы, то искомая вероятность есть просто отношение суммарного количества синих и красных карандашей к общему количеству карандашей в коробке.

Вероятность того, что наугад взятый карандаш окажется синим или красным равна \[\dfrac{7 + 4}{7 + 4 + 6 + 3} = 0,55.\]

Ответ: 0,55

Задание 3
Уровень задания: Равен ЕГЭ

В коробке лежат 2 белых, 3 красных, 4 серых и 1 черный меч. Рыцарь Дима наугад достает один меч. Какова вероятность того, что этот меч белый или черный?

Добавить задание в избранное

Так как вероятности выбора любого меча из данного множества одинаковы, то искомая вероятность есть просто отношение суммарного количества белых и черных мечей к общему количеству мечей в коробке.

Вероятность того, что наугад взятый меч окажется белым или черным равна \[\dfrac{2 + 1}{2 + 3 + 4 + 1} = 0,3.\]

Ответ: 0,3

Задание 4
Уровень задания: Равен ЕГЭ

В небе кружат 4 голубя, 7 ворон, 3 воробья и 6 синиц. Игорь начинает считать птиц в произвольном порядке. Какова вероятность того, что первая птица, с которой он начнет счет, окажется ворона или синица?

Добавить задание в избранное

Так как вероятности выбора любой птицы из данного множества одинаковы, то искомая вероятность есть просто отношение суммарного количества ворон и синиц к общему количеству птиц в небе.

Вероятность того, что наугад выбранная птица окажется вороной или синицей равна \[\dfrac{7 + 6}{4 + 7 + 3 + 6} = 0,65.\]

Ответ: 0,65

Задание 5
Уровень задания: Равен ЕГЭ

В тарелке лежат 9 яблок, 3 апельсина, 2 граната и 6 груш. Костя берет фрукты из тарелки наугад. Какова вероятность того, что первый взятый им фрукт окажется грушей или апельсином?

Добавить задание в избранное

Так как вероятности выбора любого фрукта из данного множества одинаковы, то искомая вероятность есть просто отношение суммарного количества груш и апельсинов к общему количеству фруктов в тарелке.

Вероятность того, что наугад выбранный фрукт окажется грушей или апельсином равна \[\dfrac{3 + 6}{9 + 3 + 2 + 6} = 0,45.\]

Ответ: 0,45

Задание 6
Уровень задания: Равен ЕГЭ

В заезде гонки Формула-1 участвуют 43 красных, 13 белых, 16 черных, 14 желтых и 14 синих машин. Решение о том, кто будет стартовать с первой позиции принимается жеребьевкой. Какова вероятность того, что с первой позиции будет стартовать белая, синяя или желтая машина?

Добавить задание в избранное

Так как вероятности выбора любой машины из данного множества одинаковы, то искомая вероятность есть просто отношение суммарного количества белых, синих и желтых машин к общему количеству машин в заезде.

Вероятность того, что наугад выбранная машина окажется белой, синей или желтой равна \[\dfrac{13 + 14 + 14}{43 + 13 + 16 + 14 + 14} = 0,41.\]

Ответ: 0,41

Задание 7
Уровень задания: Равен ЕГЭ

В рамках случайного эксперимента дважды подбрасывается правильная игральная кость (6-гранный кубик). Какова вероятность того, что выпавшая сумма цифр будет делиться на 4? Ответ округлите до сотых.

Добавить задание в избранное

Так как вероятности выпадения любой упорядоченной пары чисел вида \((a; b)\) одинаковы (\(a\) и \(b\) – числа из множества 1, 2, 3, 4, 5, 6), то искомая вероятность есть просто отношение суммарного количества пар \((a; b)\) таких, что \(a + b\) кратно 4 к общему количеству пар вида \((a; b)\). Сумма \(a + b\) кратна 4 в тех случаях, когда \(a + b = 4\) или \(a + b = 8\), или \(a + b = 12\).

Под условие \(a + b = 4\) подходят 3 пары: \((1; 3)\), \((3; 1)\) и \((2; 2)\),
под условие \(a + b = 8\) подходят 5 пар: \((2; 6)\), \((6; 2)\), \((3; 5)\), \((5; 3)\), \((4; 4)\),
под условие \(a + b = 12\) подходит 1 пара: \((6; 6)\),
общее количество возможных пар вида \((a; b)\) равно 36.

Итого: искомая вероятность равна \[\dfrac{3 + 5 + 1}{36} = 0,25.\] После округления до сотых получаем \(0,25\).

Ответ: 0,25

Задания на нахождение суммы вероятностей несовместных событий — обязательная часть ЕГЭ по математике. Знать алгоритм их решения и уметь его применять должны все выпускники вне зависимости от уровня их подготовки. При этом, как показывает статистика, задачи ЕГЭ, в которых требуется вычислить сумму вероятности несовместных событий, вызывают у старшеклассников определенные трудности. Восполнить пробелы в знаниях вам поможет образовательный портал «Школково». Там представлены задачи на нахождение суммы вероятностей двух несовместных событий, подобные тем, что встречаются в ЕГЭ. Разобравшись с алгоритмом их решения, учащийся сможет успешно преодолеть аттестационное испытание.

Важно запомнить!

При решении подобных задач необходимо руководствоваться следующими теоретическими данными:

  • Случайным называется то событие, исход которого невозможно предсказать до его свершения. В качестве примера можно привести следующие действия: подбрасывание монеты или игральной кости, выигрыш лотерейного билета и т. п.
  • Вероятность случайного события равняется отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов. Очевидно, что ее значение не может превышать 1.
  • Несовместными называются два события, которые не могут произойти единовременно в результате проведения случайного эксперимента.

Какие еще важные моменты стоит отметить в этой теме? При решении подобных задач в ЕГЭ необходимо вспомнить теорему вероятности суммы двух несовместных событий. Ее формулировка звучит следующим образом. Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий.

Записать ее можно таким образом:

\(P(A+B)=P(A)+P(B)\), где \(A\) и \(B\) — несовместные события.

Замечание. Вероятность суммы несовместных событий будет равна сумме их вероятностей, даже если речь идет о попарно несовместных событиях.

Как подготовиться к экзамену?

Для того чтобы задания на данную тему не вызывали у вас затруднений, рекомендуем воспользоваться информацией на образовательном портале «Школково». Здесь представлена формула вероятности суммы несовместных событий, базовые теоремы и другой теоретический материал, который поможет вам подготовиться к ЕГЭ. Кроме того, в соответствующем разделе собраны упражнения для отработки полученных знаний. Для каждого задания наши специалисты прописали алгоритм решения и привели правильный ответ. Выпускники имеют возможность практиковаться в выполнении упражнений различного уровня сложности в режиме онлайн.