Математика
Русский язык

4. Введение в теорию вероятностей

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Задачи на сумму вероятностей несовместных событий (страница 2)

\(\blacktriangleright\) Если для выполнения события \(C\) необходимо выполнение хотя бы одного из двух несовместных (которые не могут произойти одновременно) событий \(A\) и \(B\) (\(C=\{A\) или \(B\}\)), то вероятность события \(C\) равна сумме вероятностей событий \(A\) и \(B\).

 

\(\blacktriangleright\) Каждое событие можно обозначить в виде круга. Тогда если события несовместны, то круги не должны пересекаться. Вероятность события \(C\) – это вероятность попасть в один из кругов.


 

\(\blacktriangleright\) Например, при подбрасывании игральной кости найти вероятность события \(C=\){выпадет число, делящееся на три}.
Можно сказать, что для того, чтобы выпало число, делящееся на три, нужно, чтобы выпало число \(3\) или число \(6\).
Значит, \(A=\){выпадет \(3\)}, \(B=\){выпадет \(6\)}, причем эти события несовместны!

 

Тогда \(P(C)=P(A)+P(B)=\dfrac16+\dfrac16=\dfrac13\).

 

\(\blacktriangleright\) В случае совместности событий данная формула уже не верна.
Например, при подбрасывании игральной кости найти вероятность события \(C=\){выпадет четное число}. Ответ должен быть \(P(C)=\dfrac12\).
Но если принять за \(A=\){выпадет число, делящееся на \(2\)}, \(B=\){выпадет число, делящееся на \(4\)}, то \(P(C)=\dfrac12+\dfrac16\ne \dfrac12\),
потому что события \(A\) и \(B\) совместны: они могут произойти одновременно, когда выпадет \(4\).

Задание 8
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Из множества натуральных чисел от 1 до 100 наугад выбирают одно число. Какова вероятность того, что оно делится на 15 или на 10?

Добавить задание в избранное

Так как вероятности выбора любого числа из данного множества одинаковы, то искомая вероятность есть просто отношение количества чисел из данного множества, которые делятся на 15 или на 10, к количеству всевозможных чисел из данного множества.

В данном множестве на 15 или на 10 делятся: 10, 15, 20, 30, 40, 45, 50, 60, 70, 75, 80, 90, 100. Всего в множестве натуральных чисел от 1 до 100 имеется 100 чисел, тогда вероятность того, что наугад взятое из них делится на 15 или на 10 равна \[\dfrac{13}{100} = 0,13.\]

Ответ: 0,13

Задание 9
Уровень задания: Равен ЕГЭ

В рамках случайного эксперимента дважды подбрасывается правильная игральная кость (6-гранный кубик). Какова вероятность того, что выпавшая сумма цифр будет делиться на 3? Ответ округлите до сотых.

Добавить задание в избранное

Так как вероятности выпадения любой упорядоченной пары чисел вида \((a; b)\) одинаковы (\(a\) и \(b\) – числа из множества 1, 2, 3, 4, 5, 6), то искомая вероятность есть просто отношение суммарного количества пар \((a; b)\) таких, что \(a + b\) кратно 3, к общему количеству пар вида \((a; b)\). Сумма \(a + b\) кратна 3 в тех случаях, когда \(a + b = 3\) или \(a + b = 6\), или \(a + b = 9\), или \(a + b = 12\).

Под условие \(a + b = 3\) подходят 2 пары: \((1; 2)\) и \((2; 1)\),
под условие \(a + b = 6\) подходят 5 пар: \((1; 5)\), \((5; 1)\), \((2; 4)\), \((4; 2)\), \((3; 3)\),
под условие \(a + b = 9\) подходят 4 пары: \((3; 6)\), \((6; 3)\), \((4; 5)\), \((5; 4)\),
под условие \(a + b = 12\) подходит 1 пара: \((6; 6)\),
общее количество возможных пар вида \((a; b)\) равно 36.

Итого: искомая вероятность равна \[\dfrac{2 + 5 + 4 + 1}{36} = 0,(3).\] После округления до сотых получаем \(0,33\).

Ответ: 0,33

Задание 10
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Придя в кинотеатр на мелодраму, Максим случайным образом выбирает себе кресло в кинозале. Известно, что в рядах с 1 по 5 кресел по 8 штук, в рядах с 6 по 10 кресел по 12 штук, в рядах с 11 по 15 кресел по 15 штук. Какова вероятность того, что Максим в итоге выберет кресло в одном из рядов с 3 по 7? Ответ округлите до сотых.

Добавить задание в избранное

Так как вероятности выбора любого кресла из данного множества одинаковы, то искомая вероятность есть просто отношение суммарного количества кресел в рядах с 3 по 7 к общему количеству кресел в зале.

Так как в зале 5 рядов с 8 креслами, 5 рядов с 12 креслами и 5 рядов с 15 креслами, а среди рядов с 3 по 7 3 с 8 креслами, а остальные 2 с 12, то вероятность того, что наугад выбранное кресло окажется на одном из рядов с 3 по 7 равна \[\dfrac{3\cdot 8 + 2\cdot 12}{5\cdot 8 + 5\cdot 12 + 5\cdot 15} = \dfrac{48}{175} = 0,274...,\] что после округления равно \(0,27\).

Ответ: 0,27