Математика
Русский язык

4. Введение в теорию вероятностей

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения
Задание 8
Уровень задания: Равен ЕГЭ

В случайном эксперименте подбрасывают правильную монету. Какова вероятность того, что за три подбрасывания выпадет два орла или три решки?

Добавить задание в избранное

Перечислим всевозможные исходы, которые нас устроят:

\[\begin{aligned} &O, O, P\,;\qquad\qquad O, P, O\,;\\ &P, O, O\,;\qquad\qquad P, P, P\,. \end{aligned}\]

Всего подходящих нам исходов \(4\), а количество всевозможных исходов есть \(2\cdot 2\cdot 2 = 8\). Таким образом, искомая вероятность равна \(4 : 8 = 0,5\).

Ответ: 0,5

Задание 9
Уровень задания: Равен ЕГЭ

В случайном эксперименте бросают две правильные игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 10 очков. Результат округлите до десятых.

Добавить задание в избранное

Так как вероятности выпадения любой пары очков в эксперименте одинаковы, то искомая вероятность есть просто отношение количества исходов, в которых в сумме получается 10 очков, к количеству всевозможных исходов. Набрать 10 очков можно только тремя способами: \((6; 4)\), \((4, 6)\) и \((5; 5)\).

Количество всевозможных исходов эксперимента равно количеству всевозможных различных пар \((a; b)\), где \(a\) и \(b\) принимают значения 1, 2, 3, 4, 5 или 6.

Количество всевозможных исходов эксперимента равно 36.
Вероятность суммарного выпадения 10 очков равна \[\dfrac{3}{36} = 0,08(3).\] После округления окончательный ответ становится \(0,1\).

Ответ: 0,1

Задание 10
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Согласно учебному плану, Антону нужно сдать 3 спецкурса. Он выбирает 3 спецкурса случайным образом из 4 возможных: спектральная теория, теория операторов, теория групп, группы Ли. Какова вероятность того, что он выберет спецкурсы по спектральной теории, теории групп и группам Ли?

Добавить задание в избранное

Выбрать 3 спецкурса из 4 – это то же самое, что не выбрать 1 из 4. Так как вероятности выбора каждого спецкурса одинаковы, то вероятность не выбрать теорию операторов равна \[\dfrac{1}{4} = 0,25.\]

Ответ: 0,25

Задание 11
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

У Кости есть 14 чёрных, 5 синих и 1 красная ручка. Он заполняет отчёт, который нельзя заполнять красной или синей ручкой. При этом у Кости есть только 6 колпачков: 1 красный и 5 синих (колпачки надеты на ручки с чернилами того же цвета). Какова вероятность того, что выбранная наугад ручка будет иметь колпачок и ею можно будет заполнять отчёт?

Добавить задание в избранное

Среди Костиных ручек для заполнения отчёта подходят только чёрные, но у всех них нет колпачков, следовательно, то, что “выбранная наугад ручка будет иметь колпачок и ею можно будет заполнять отчёт”\(\ \) невозможно и вероятность этого равна \(0\).

Ответ: 0

Задание 12
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

У Андрея есть 10 томов стихов. Он прочёл первые 3 тома и последние 2. Известно, что слово “каша”\(\ \) встречается в этих 10 томах 32 раза, при этом в первых 3 томах оно встречается 19 раз, а в последних 2 томах оно встречается 12 раз. Какова вероятность того, что выбранный наугад том стихов будет не прочитан Андреем и в нём встретится слово “каша”\(\ \)?

Добавить задание в избранное

Всего Андрею слово “каша”\(\ \) встречалось \(19 + 12 = 31\) раз, следовательно, в томах, которые он ещё не читал, оно встречается ещё \(32 - 31 = 1\) раз, то есть содержится только в одном томе. Иными словами, только 1 том удовлетворяет условию задачи. Вероятность того, что случайным образом будет выбран именно он, равна \[\dfrac{1}{10} = 0,1.\]

Ответ: 0,1

Задание 13
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

На полке помещается 8 книг. Таня расставляет книги на полке случайным образом. Какова вероятность того, что из двух томов стихов Лермонтова первый окажется левее, чем второй? Ответ округлите до сотых.

Добавить задание в избранное

Понятно, что вероятность того, что первый том окажется левее, чем второй, равна вероятности того, что второй том окажется левее, чем первый. Так как при любой расстановке книг на полке один из двух томов будет левее другого, то сумма вероятностей того, что левее будет первый том и того, что левее будет второй том, равна 1. Следовательно, вероятность того, что левее будет первый том, равна \[\dfrac{1}{2} = 0,5.\]

Ответ: 0,5

Задание 14
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

На полке помещается 11 книг. Настя расставляет книги на полке случайным образом. Какова вероятность того, что два тома стихов Пушкина окажутся рядом? Ответ округлите до сотых.

Добавить задание в избранное

Так как вероятности постановки на каждое место любой книги одинаковы, то искомая вероятность есть просто отношение суммарного количества способов расстановки, в которых тома Пушкина стоят рядом, к количеству всевозможных способов расстановки книг на полке.

Найдем число способов, которыми можно поставить книги так, чтобы тома Пушкина стояли рядом: для этого мысленно объединим два тома в одну книгу, занимающую 2 места, тогда ее можно поставить на любое из 10 мест на полке.

 

На первое место можно поставить одну из 10 книг, на второе одну из 9, ..., на последнее место можно поставить последнюю книгу. Итого: \(10! = 10\cdot 9\cdot ...\cdot 1\) способов. При этом каждому такому способу в исходной задаче будут соответствовать 2 разных способа (объединить тома в одну книгу можно было двумя способами, в зависимости от того, какой том слева, а какой справа). В итоге количество подходящих способов равно \(2\cdot 10!\). При этом поставить 11 книг на полку можно \(11!\) способами.

Вероятность того, что два тома стихов Пушкина окажутся рядом, равна \[\dfrac{2\cdot 10!}{11!} = \dfrac{2\cdot 10\cdot 9\cdot...\cdot 1}{11\cdot 10\cdot 9\cdot...\cdot 1} = \dfrac{2}{11} = 0,(18).\] После округления имеем окончательно \(0,18\).

Ответ: 0,18

1 2 3