Математика
Русский язык

4. Введение в теорию вероятностей

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Задачи на сумму вероятностей совместных независимых событий

\(\blacktriangleright\) Если для выполнения события \(C\) необходимо выполнение хотя бы одного из совместных (которые могут произойти одновременно) событий \(A\) и \(B\) (\(C=\{A\) или \(B\}\)), то вероятность события \(C\) равна сумме вероятностей событий \(A\) и \(B\) за вычетом вероятности \(A\cap B\).

 

\(\blacktriangleright\) Каждое событие можно обозначить в виде круга. Тогда если события совместны, то круги должны пересекаться. Вероятность события \(C\) – это вероятность попасть в один из кругов.

 

\(\blacktriangleright\) Если просто сложить \(P\,(A)+P\,(B)\), то получится, что мы два раза посчитали \(P\,(A\cap B)\). Именно поэтому один раз вычитается \(P\,(A\cap B)\).

Задание 1
Уровень задания: Равен ЕГЭ

В аквариуме плавает 100 рыбок. Известно, что из них 17 золотых, 4 исполняют желания. При этом золотых рыбок, которые исполняют желания в аквариуме 3. Покупатель хочет приобрести золотую рыбку, которая исполняет желания (как в сказке). Найдите вероятность того, что выбранная наугад рыбка будет соответствовать хотя бы одному требованию покупателя.

Добавить задание в избранное

Вероятность наступления по крайней мере одного из двух событий равна сумме вероятностей этих событий минус вероятность их одновременного наступления, тогда искомая вероятность равна \[\dfrac{17}{100} + \dfrac{4}{100} - \dfrac{3}{100} = \dfrac{18}{100} = 0,18.\]

Ответ: 0,18

Задание 2
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Среди десяти котят в коробке четверо мужского пола, у троих кончик хвоста белый. Известно, что ровно у 2 котят мужского пола кончик хвоста не белый. Таня выбирает себе одного котенка наугад. Какова вероятность того, что выбранный котенок будет мужского пола или с белым кончиком хвоста, или и то и другое?

Добавить задание в избранное

Среди котят мужского пола в коробке у \(4 - 2 = 2\) кончик хвоста белый. Вероятность наступления по крайней мере одного из двух событий равна сумме вероятностей этих событий минус вероятность их одновременного наступления, тогда искомая вероятность равна \[\dfrac{4}{10} + \dfrac{3}{10} - \dfrac{2}{10} = 0,5.\]

Ответ: 0,5

Задание 3
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Лампочка в левой комнате некоторого блока в общежитии перегорает в среднем 1 раз в 20 включений. Лампочка в правой комнате этого блока перегорает в среднем 1 раз в 50 включений. Вероятность того, что при одновременном включении обеих лампочек обе и перегорят составляет \(0,01\). Какова вероятность того, что при одновременном включении ни одна из лампочек не перегорит?

Добавить задание в избранное

Найдем вероятность того, что при одновременном включении хотя бы одна из этих лампочек перегорит.

Вероятность наступления по крайней мере одного из двух событий равна сумме вероятностей этих событий минус вероятность их одновременного наступления, тогда вероятность того, что перегорит хотя бы одна лампочка равна \[\dfrac{1}{20} + \dfrac{1}{50} - 0,01 = 0,05 + 0,02 - 0,01 = 0,06.\] Следовательно, вероятность того, что не перегорит ни одна лампочка равна \(1 - 0,06 = 0,94\).

Ответ: 0,94

Задание 4
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Известно, что в множестве \(M\) ровно 100 натуральных чисел, из которых 10 делятся на 2, 15 делятся на 3, 1 делится на 6. Какова вероятность наугад выбрать число из \(M\), которое делится хотя бы на одно из чисел 2 и 3?

Добавить задание в избранное

Вероятность наступления по крайней мере одного из двух событий равна сумме вероятностей этих событий минус вероятность их одновременного наступления, тогда искомая вероятность равна \[\dfrac{10}{100} + \dfrac{15}{100} - \dfrac{1}{100} = 0,24.\]

Ответ: 0,24

Задание 5
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

В классе учится 20 человек, из которых 4 занимаются плаванием, 5 занимаются шахматами. Известно, что и плаванием и шахматами занимаются 2 ученика этого класса. Какова вероятность того, что выбранный наугад ученик этого класса занимается по крайней мере одним из этих видов спорта?

Добавить задание в избранное

Вероятность наступления по крайней мере одного из двух событий равна сумме вероятностей этих событий минус вероятность их одновременного наступления, тогда искомая вероятность равна \[\dfrac{4}{20} + \dfrac{5}{20} - \dfrac{2}{20} = \dfrac{7}{20} = 0,35.\]

Ответ: 0,35

Задание 6
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Вероятность того, что маленький Миша заплачет, увидев в зоопарке медведя, составляет \(0,3\). Вероятность того, что маленькая Маша заплачет, увидев в зоопарке медведя, составляет \(0,4\). Вероятность того, что Миша и Маша вместе заплачут, увидев в зоопарке медведя, составляет \(0,15\). Какова вероятность того, что по крайней мере один из них заплачет, увидев в зоопарке медведя?

Добавить задание в избранное

Вероятность наступления по крайней мере одного из двух событий равна сумме вероятностей этих событий минус вероятность их одновременного наступления, тогда искомая вероятность равна \[0,3 + 0,4 - 0,15 = 0,55.\]

Ответ: 0,55

Задание 7
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Вероятность того, что Артем получит пятерку по математике за ответ у доски равна \(0,97\). Вероятность того, что Артем получит пятерку по русскому языку за ответ у доски равна \(0,9\). Вероятность получить пятерку по обоим предметам оказалась равной \(0,89\). Какова вероятность того, что Артем за ответы у доски по математике и русскому языку не получит ни одной пятерки?

Добавить задание в избранное

Найдем вероятность того, что за ответы у доски по математике и русскому языку Артем получит хотя бы одну пятерку.

Вероятность наступления по крайней мере одного из двух событий равна сумме вероятностей этих событий минус вероятность их одновременного наступления, тогда вероятность получения Артемом хотя бы одной пятерки равна \[0,97 + 0,9 - 0,89 = 0,98.\] Следовательно, вероятность не получить ни одной пятерки равна \(1 - 0,98 = 0,02\).

Ответ: 0,02

Задания, в которых искомой величиной является сумма вероятностей совместных независимых событий, ежегодно включаются в ЕГЭ по математике. Именно поэтому понимать, как они решаются, должны все старшеклассники, независимо от уровня их подготовки. При этом практика показывает, что задания ЕГЭ на вероятность суммы двух совместных событий являются для многих учеников достаточно трудными. Восполнить пробелы в знаниях и качественно подготовиться к аттестационному испытанию вам поможет образовательный портал «Школково». Здесь выпускники смогут найти весь необходимый материал по теме «Вероятность суммы совместных событий». Изучив его, школьники смогут успешно преодолеть экзамен.

Основные моменты

При подготовке к аттестационному испытанию стоит обратить внимание на следующие данные:

  • События являются совместными в том случае, если наступление одного из них не исключает возможность наступления другого. Приведем пример. В процессе подбрасывания игральных костей может выпасть нечетное количество очков, а также число, кратное трем. Если получившийся результат равняется трем, реализуются сразу два описанных случая.
  • Вероятность суммы совместных событий равняется сумме этих событий без учета их совместного появления.

Какие еще понятия понадобится вспомнить в данной теме? Учащимся необходимо освежить в памяти определение независимого события. Оно звучит следующим образом. Случайные события считаются независимыми, если наступление одного из них не изменяет вероятность наступления других.

Как подготовиться к экзамену?

Чтобы задачи ЕГЭ на вероятность суммы трех совместных событий не вызывали сложностей, воспользуйтесь информацией, которая представлена на образовательном портале «Школково». Здесь вы найдете весь необходимый теоретический материал, а также упражнения для отработки полученных знаний. Для каждого задания наши специалисты прописали алгоритм решения и привели правильный ответ. Выполнять задачи на нахождение суммы вероятностей совместных событий, подобных тем, которые встречаются в ЕГЭ, можно в режиме онлайн. При необходимости любое упражнение можно сохранить в разделе «Избранное», чтобы в дальнейшем вернуться к нему и обсудить с преподавателем или репетитором.