Математика
Русский язык

4. Введение в теорию вероятностей

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Задачи на сумму вероятностей совместных независимых событий (страница 2)

\(\blacktriangleright\) Если для выполнения события \(C\) необходимо выполнение хотя бы одного из совместных (которые могут произойти одновременно) событий \(A\) и \(B\) (\(C=\{A\) или \(B\}\)), то вероятность события \(C\) равна сумме вероятностей событий \(A\) и \(B\) за вычетом вероятности \(A\cap B\).

 

\(\blacktriangleright\) Каждое событие можно обозначить в виде круга. Тогда если события совместны, то круги должны пересекаться. Вероятность события \(C\) – это вероятность попасть в один из кругов.

 

\(\blacktriangleright\) Если просто сложить \(P\,(A)+P\,(B)\), то получится, что мы два раза посчитали \(P\,(A\cap B)\). Именно поэтому один раз вычитается \(P\,(A\cap B)\).

Задание 8
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Боря выступает на соревнованиях по спортивной гимнастике. Вероятность того, что он потянет ногу, равна \(0,1\), а вероятность того, что он вывихнет плечо, равна \(0,05\). Обычно, даже получив повреждения, Боря не подает виду, так что вероятность потянуть ногу и вывихнуть плечо за одни соревнования составляет \(0,04\). Какова вероятность того, что соревнования пройдут для Бори без таких травм?

Добавить задание в избранное

Найдем вероятность того, что за соревнования Боря получит хотя бы одну из этих травм.

Вероятность наступления по крайней мере одного из двух событий равна сумме вероятностей этих событий минус вероятность их одновременного наступления, тогда вероятность получения Борей хотя бы одной из этих травм равна \[0,1 + 0,05 - 0,04 = 0,11.\] Следовательно, вероятность не получить ни одной травмы равна \(1 - 0,11 = 0,89\).

Ответ: 0,89

Задание 9
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Ваня бьет по мячу. Рядом стоит 10-этажный дом. Вероятность события “Ваня выбил окно на этаже, номер которого четный” равна \(0,01\). Вероятность события “Ваня выбил окно на этаже, номер которого делится на 3” равна \(0,02\). Вероятность того, что Ваня выбьет окно на 6 этаже, равна \(0,005\). Какова вероятность того, что окна на четных этажах, как и окна на этажах с номерами, кратными 3, не пострадают?

Добавить задание в избранное

Найдем вероятность того, что пострадает окно на четном этаже или пострадает окно на этаже, номер которого делится на 3.

Вероятность наступления по крайней мере одного из двух событий равна сумме вероятностей этих событий минус вероятность их одновременного наступления, тогда вероятность того, что пострадает окно одного из оговоренных этажей \[0,01 + 0,02 - 0,005 = 0,025.\] Следовательно, вероятность того, что окна на четных этажах, как и окна на этажах с номерами, кратными 3, не пострадают, равна \(1 - 0,025 = 0,975\).

Ответ: 0,975

Задание 10
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Маленький Алеша берет таблицу умножения и наугад выбирает себе пример, не подглядывая в ответ. Он умеет решать все примеры, в которых один из множителей равен 1 и все примеры, в которых один из множителей равен 5. Другие примеры он пока не освоил (ему 4 года). Какова вероятность того, что пример, который он выберет, будет ему по силам, если таблица умножения обычная (100 примеров, начиная с \(1\times 1\), \(1\times 2\), ..., \(2\times 1\), \(2\times 2\), ..., \(10\times 10\))?

Добавить задание в избранное

В таблице умножения 19 примеров, где хотя бы 1 из множителей равен 1: 10 примеров вида \(1\times a\), ещё 9 примеров вида \(b\times 1\), где \(b\neq 1\).
В таблице умножения 19 примеров, где хотя бы 1 из множителей равен 5: 10 примеров вида \(5\times a\), ещё 9 примеров вида \(c\times 5\), где \(c\neq 5\)
При этом есть 2 примера, в которых есть и 1 и 5: \(1\times 5\) и \(5\times 1\).

Вероятность наступления по крайней мере одного из двух событий равна сумме вероятностей этих событий минус вероятность их одновременного наступления, тогда вероятность того, что Алеше достанется пример, который он сможет решить, равна \[\dfrac{19}{100} + \dfrac{19}{100} - \dfrac{2}{100} = 0,36.\]

Ответ: 0,36