Математика
Русский язык

4. Введение в теорию вероятностей

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Расчет вероятностей исходов

Если при проведении некоторого эксперимента возможны \(N\) равновероятных элементарных событий, то вероятность события \(A\) : \[\Large{P(A)=\dfrac mN}\] где \(m\) – количество “подходящих” элементарных событий.

 

На рисунке схематично изображено множество всех возможных равновероятных (одинаковые по размеру круги) исходов у некоторого эксперимента, которые не пересекаются:

 

Таким образом, под такой вероятностью можно понимать часть, которую составляют “подходящие” исходы от всех возможных исходов.

Задание 1
Уровень задания: Равен ЕГЭ

В соревнованиях по толканию ядра участвуют 8 спортсменов из Аргентины, 6 спортсменов из Бразилии, 5 спортсменов из Парагвая и 6 – из Уругвая. Порядок, в котором выступают спортсмены, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсмен, выступающий последним, окажется из Аргентины.

Добавить задание в избранное

Заметим, что вероятность того, что спортсмен, выступающий последним, окажется из Аргентины, такая же, как вероятность, что он будет выступать первым, вторым, третьим и т.п.
Всего претендентов на последнее место: \(8+6+5+6=25\) спортсменов. Нам удовлетворяют лишь 8 из Аргентины. Следовательно, вероятность равна отношению количества удовлетворяющих исходов к количеству всех: \[\dfrac{8}{25}=0,32.\]

Ответ: 0,32

Задание 2
Уровень задания: Равен ЕГЭ

В случайном эксперименте бросают две правильные игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 3 очка. Результат округлите до сотых.

Добавить задание в избранное

Так как вероятности выпадения любой пары очков в эксперименте одинаковы, то искомая вероятность есть просто отношение количества исходов, в которых в сумме получается 3 очка, к количеству всевозможных исходов. Набрать 3 очка можно только двумя способами: \((2; 1)\) и \((1; 2)\).

Количество всевозможных исходов эксперимента равно количеству всевозможных различных пар \((a; b)\), где \(a\) и \(b\) принимают значения 1, 2, 3, 4, 5 или 6.

Количество всевозможных исходов эксперимента равно 36.
Вероятность суммарного выпадения 3 очков равна \[\dfrac{2}{36} = 0,0(5).\] После округления окончательный ответ становится \(0,06\).

 

Замечание: пары \((a; b)\) и \((b; a)\) при \(a\neq b\) – разные. В самом деле, в условии задачи ничего не изменилось бы, если бы было сказано, что первая кость – красная, а вторая – синяя. Но в таком случае разница была бы очевидна.

Ответ: 0,06

Задание 3
Уровень задания: Равен ЕГЭ

В классе 10 мальчиков и 15 девочек. Учитель случайным образом выбирает отвечающего у доски. Какова вероятность того, что у доски будет отвечать девочка?

Добавить задание в избранное

Так как вероятности выбора любого школьника одинаковы, то искомая вероятность есть просто отношение количества девочек к общему количеству человек в классе. Вероятность выбора девочки равна \[\dfrac{15}{10 + 15} = 0,6.\]

Ответ: 0,6

Задание 4
Уровень задания: Равен ЕГЭ

В кинопрокате показывают 3 боевика и 7 мелодрам. Максим выбирает, на какой сеанс пойти, случайным образом. Какова вероятность того, что он пойдет на мелодраму?

Добавить задание в избранное

Так как вероятности выбора любого фильма одинаковы, то искомая вероятность есть просто отношение количества мелодрам к общему количеству фильмов в прокате. Вероятность выбора мелодрамы равна \[\dfrac{7}{3 + 7} = 0,7.\]

Ответ: 0,7

Задание 5
Уровень задания: Равен ЕГЭ

В конференции участвуют 12 французов, 11 россиян, 45 американцев и 32 англичанина. Порядок прочтения докладов определяется жребием. Какова вероятность того, что заключительный доклад будет читаться россиянином?

Добавить задание в избранное

Так как вероятности выбора любого доклада одинаковы, то искомая вероятность есть просто отношение количества россиян на конференции к общему количеству участников конференции. Вероятность того, что заключительный доклад будет читаться россиянином равна \[\dfrac{11}{12 + 11 + 45 + 32} = 0,11.\]

Ответ: 0,11

Задание 6
Уровень задания: Равен ЕГЭ

В коробке 4 красных, 2 синих и 4 зеленых шара. Азат наугад достает один шар. Какова вероятность того, что этот шар красный?

Добавить задание в избранное

Так как вероятности выбора любого шара одинаковы, то искомая вероятность есть просто отношение количества красных шаров к общему количеству шаров в коробке. Вероятность того, что вытащенный шар будет красный равна \[\dfrac{4}{4 + 2 + 4} = 0,4.\]

Ответ: 0,4

Задание 7
Уровень задания: Равен ЕГЭ

В коробке 15 шоколадных конфет, 4 карамели и 1 грильяж. Ваня наугад выбирает одну конфету. Какова вероятность того, что эта конфета окажется грильяжем?

Добавить задание в избранное

Так как вероятности выбора любой конфеты одинаковы, то искомая вероятность есть просто отношение количества грильяжей к общему количеству конфет в коробке. Вероятность того, что вытащенная конфета окажется грильяжем равна \[\dfrac{1}{15 + 4 + 1} = 0,05.\]

Ответ: 0,05

1 2 3

Задачи на вероятность исхода — обязательная часть ЕГЭ по математике. Как показывает практика, они ежегодно включаются как в базовый, так и в профильный уровень аттестационного испытания. Это означает, что уметь справляться с заданиями ЕГЭ на расчет вероятностей исхода должны все учащиеся.

Если задачи по данной теме вызывают у вас сложности, рекомендуем обратиться к образовательному порталу «Школково». С нами учащиеся с любым уровнем подготовки смогут восполнить пробелы в знаниях.

В соответствующем разделе представлены задачи на вероятность исхода подобные тем, которые встречаются в ЕГЭ. Поняв, как они решаются, и научившись справляться с ними, выпускники смогут получить достойные баллы по итогам прохождения аттестационного испытания.

Основные моменты

Для того чтобы подобные задачи давались вам легко, рекомендуем вспомнить базовые определения. Основными терминами, отражающими понятие вероятности, являются исход, испытание и случайное событие. Испытание представляет собой определенное действие. Это может быть подбрасывание монеты, вытягивание карты, жеребьевка и т. п. Соответственно, результат испытания называется исходом.

Что представляет собой случайное событие? Это множество исходов одного испытания. К примеру, при подбрасывании монеты может выпасть орел или решка. Следовательно, возможно сразу два случайных события. При решении задач по теории вероятности важно также вспомнить основную формулу: Вероятность события А есть отношение количества благоприятных исходов к общему числу всех возможных исходов данного события.

Как подготовиться к экзамену?

Чтобы подобные задания давались вам легко, рекомендуем вначале ознакомиться с базовой информацией по данной теме. Найти ее можно в разделе «Теоретическая справка». Затем для отработки навыков решения задач выпускники могут выполнить соответствующие упражнения. Для каждого задания специалисты «Школково» прописали алгоритм нахождения правильного ответа. Отточить практический навык в решении задач на вероятность исхода выпускники из Москвы и других городов могут в режиме онлайн.