Математика ЕГЭ Профиль
Русский язык ЕГЭ

4. Введение в теорию вероятностей

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Расчет вероятностей исходов (страница 3)

Если при проведении некоторого эксперимента возможны \(N\) равновероятных элементарных событий, то вероятность события \(A\) : \[\Large{P(A)=\dfrac mN}\] где \(m\) – количество “подходящих” элементарных событий.

 

На рисунке схематично изображено множество всех возможных равновероятных (одинаковые по размеру круги) исходов у некоторого эксперимента, которые не пересекаются:

 

Таким образом, под такой вероятностью можно понимать часть, которую составляют “подходящие” исходы от всех возможных исходов.

Задание 15 #2003
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

На полке помещается 11 книг. Настя расставляет книги на полке случайным образом. Какова вероятность того, что два тома стихов Пушкина окажутся рядом? Ответ округлите до сотых.

Добавить задание в избранное

Так как вероятности постановки на каждое место любой книги одинаковы, то искомая вероятность есть просто отношение суммарного количества способов расстановки, в которых тома Пушкина стоят рядом, к количеству всевозможных способов расстановки книг на полке.

Найдем число способов, которыми можно поставить книги так, чтобы тома Пушкина стояли рядом: для этого мысленно объединим два тома в одну книгу, занимающую 2 места, тогда ее можно поставить на любое из 10 мест на полке.

 

На первое место можно поставить одну из 10 книг, на второе одну из 9, ..., на последнее место можно поставить последнюю книгу. Итого: \(10! = 10\cdot 9\cdot ...\cdot 1\) способов. При этом каждому такому способу в исходной задаче будут соответствовать 2 разных способа (объединить тома в одну книгу можно было двумя способами, в зависимости от того, какой том слева, а какой справа). В итоге количество подходящих способов равно \(2\cdot 10!\). При этом поставить 11 книг на полку можно \(11!\) способами.

Вероятность того, что два тома стихов Пушкина окажутся рядом, равна \[\dfrac{2\cdot 10!}{11!} = \dfrac{2\cdot 10\cdot 9\cdot...\cdot 1}{11\cdot 10\cdot 9\cdot...\cdot 1} = \dfrac{2}{11} = 0,(18).\] После округления имеем окончательно \(0,18\).

Ответ: 0,18

Задание 16 #2001
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Даня придумал себе 100 уравнений. Он заметил, что среди придуманных им уравнений:
41 квадратное,
72 он умеет решать,
31 кубическое,
22 тригонометрических.
Известно, что Даня умеет решать любые квадратные уравнения и любые кубические уравнения и что придумал он только квадратные, кубические, тригонометрические и логарифмические уравнения. Какова вероятность того, что выбранное наугад уравнение окажется логарифмическим, причём Даня не сможет его решить?

Добавить задание в избранное

Заметим, что квадратных и кубических уравнений Даня придумал \(41 + 31 = 72\). Так как он умеет решать любые квадратные и кубические уравнения, причём среди придуманных уравнений он умеет решать 72 уравнения, то все тригонометрические и все логарифмические уравнения, которые он придумал, он решать не умеет.

Таким образом, условие “выбранное наугад уравнение окажется логарифмическим, причём Даня не сможет его решить” равносильно условию “выбранное наугад уравнение окажется логарифмическим”.

Всего Даня придумал \(100 - 41 - 31 - 22 = 6\) логарифмических уравнений из 100, следовательно, вероятность выбрать наугад логарифмическое уравнение равна \[\dfrac{6}{100} = 0,06.\]

Ответ: 0,06

Задание 17 #2002
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

В книге 250 страниц. Ваня прочитал первые 150 страниц и последние 10. При этом известно, что слово “дуэль” встречается в книге 141 раз, причём на первых 150 страницах оно встречается 99 раз, на последних 10 страницах оно встречается 42 раза. Какова вероятность того, что наугад выбранная Ваней страница окажется непрочитанной и на ней не окажется слова “дуэль”?

Добавить задание в избранное

Заметим, что слово “дуэль” уже встречалось Ване \(99 + 42 = 141\) раз из 141 возможных раз, то есть на оставшихся страницах книги его нет, тогда условие “наугад выбранная Ваней страница окажется непрочитанной и на ней не окажется слова дуэль” равносильно условию “наугад выбранная Ваней страница окажется непрочитанной”.

Всего Ваня не прочитал \(250 - 150 - 10 = 90\) страниц из 250 страниц этой книги, следовательно, вероятность выбрать наугад непрочитанную страницу равна \[\dfrac{90}{250} = 0,36.\]

Ответ: 0,36

Задание 18 #3998
Уровень задания: Легче ЕГЭ

Конкурс исполнителей проводится в 4 дня. Всего заявлено 75 выступлений: по одному от каждой страны, участвующей в конкурсе. Исполнитель из России участвует в конкурсе. В первый день запланировано 12 выступлений, остальные распределены поровну между оставшимися днями. Порядок выступлений определяется жеребьевкой. Какова вероятность того, что выступление исполнителя из России состоится в третий день конкурса?

Добавить задание в избранное

Найдем, сколько выступлений должно состояться в третий день. В первый день 12 выступлений, всего 75, следовательно, в последние три дня \(75-12=63\) выступления. Следовательно, в третий день \(63:3=21\) выступление.
Таким образом, вероятность того, что выступление исполнителя из России состоится в третий день, равна \[\dfrac{21}{75}=\dfrac7{25}=0,28\]

Ответ: 0,28