Математика ЕГЭ
Русский язык ЕГЭ
Математика 5-7
Математика ОГЭ
Физика
Кликните, чтобы открыть меню

4. Введение в теорию вероятностей

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Сложные задачи по теории вероятности (страница 2)

Общая памятка по всем разделам теории вероятностей:

 

Задание 8 #3093
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Миша и Маша играют в игру: Миша пишет на доске натуральное число \(a\), а Маша – натуральное число \(b\). Затем Миша стирает свое число и вместо него записывает модуль суммы \(a\) и \(b\), а Маша – стирает свое и пишет модуль разности \(a\) и \(b\). Затем с новыми числами они проделывают то же самое. Найдите вероятность того, что через 100 таких действий произведение чисел, записанных на доске, будет кратно 4.

Добавить задание в избранное

Рассмотрим все возможные варианты:
1) Миша написал четное число, Маша – нечетное. Тогда на втором шаге на доске будут написаны нечетное и нечетное числа. На третьем шаге: четное и четное числа. На четвертом, пятом и т.д.: четное и четное. Тогда на 100 шаге произведение этих чисел будет всегда делиться на 4.
2) Миша написал четное, Маша – тоже четное. Тогда аналогично первому случаю на всех последующих шагах на доске тоже будут написаны два четных числа, следовательно, на 100 шаге их произведение всегда будет делиться на 4.
3) Миша и Маша написали нечетные числа. Тогда на втором шаге на доске будут написаны четные числа, как и на всех следующих шагах (аналогично второму случаю). Следовательно, на 100 шаге их произведение будет всегда делиться на 4.
Таким образом, в любом случае произведение чисел будет делиться на 4. Значит, вероятность этого события равна 1.

Ответ: 1

Задание 9 #2670
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Артур считает вероятность наступления некоторого события \(A\) в случае, если он подбросит правильную игральную кость дважды. У него получилось, что вероятность наступления события \(A\) равна \(0,01\). Известно, что Артур ошибся, но его ошибка наименьшая из возможных при данных условиях. Насколько ошибся Артур? Ответ округлите до сотых.

Добавить задание в избранное

При подбрасывании правильной игральной кости дважды можно получить \(6\cdot 6 = 36\) различных исходов. Так как вероятность – это отношение числа подходящих исходов к числу всевозможных исходов, то результат Артура мог быть либо \(0\), либо его можно было представить в виде дроби \[\dfrac{N}{36}\,,\] где \(N\in\mathbb{N}\) – число подходящих исходов.

Таким образом, в случае, если \(P(A)\neq 0\), то минимальное значение, которое могла принять \(P(A)\), составляет \[\dfrac{1}{36} > \dfrac{1}{50} = 0,02\,.\]

Таким образом, ответ Артура ближе к \(0\), чем к любому числу вида \(\dfrac{N}{36}\,,\) где \(N\in\mathbb{N}\), следовательно, чтобы ошибка Артура была минимальной, необходимо, чтобы было выполнено \(P(A) = 0\). Тогда ошибка Артура составит \(0,01\).

При этом такое действительно возможно, если, например, \(A =\) “В сумме за два подбрасывания выпадет \(13\)”. В итоге, ответ: \(0,01\).

Ответ: 0,01

Задание 10 #2683
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Тимур считает вероятность наступления некоторого события \(A\) в случае, если он подбросит правильную игральную кость сто раз. У него получилось, что вероятность наступления события \(A\) равна \(0,045\). Известно, что Тимур ошибся, но его ошибка наименьшая из возможных при данных условиях. Учитель задумался, насколько ошибся Тимур (учителя интересует ответ, округлённый до десятых). Какой результат должен получить учитель?

Добавить задание в избранное

Рассмотрим ситуацию, когда \(P(A) = 0\) (она возможна при данных условиях), тогда ошибка Тимура составит \(0,045\). Так как ошибка Тимура наименьшая из возможных, то она не превосходит \(0,045\), но все числа, не превосходящие \(0,045\), при округлении до десятых дают \(0\). Таким образом, ответ: \(0\).

Ответ: 0

Задание 11 #192
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Монетку подбросили 1001 раз. Какова вероятность того, что выпало более 500 орлов? Ответ округлите до десятых.

Добавить задание в избранное

Вероятность выпадения более 500 орлов равна вероятности выпадения более 500 решек (орёл и решка “равноправны”). Но “выпало более 500 решек”\(\ =\) “выпало менее 501 орла”. Таким образом, вероятность выпадения более 500 орлов равна вероятности выпадения менее 501 орла.

Но события “выпало более 500 орлов”\( \) и “выпало менее 501 орла”\( \) в объединении содержат все возможные исходы серии из 1001 подбрасывания.

При этом эти события не могут наступить одновременно, следовательно, вероятность того, что наступит какое-нибудь из них равна сумме их вероятностей и равна 1.

Таким образом, вероятность события “выпало более 500 орлов”\( \) равна \(0,5\).

Ответ: 0,5

Задание 12 #194
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Компания “Light”\(\ \)изготавливает лампочки. Вероятность того, что готовая лампочка неисправна, равна \(0,04\). Каждую лампочку дополнительно проверяет упаковщик. Вероятность того, что упаковщик обнаружит (и изымет) неисправную лампочку, равна \(0,96\). Вероятность того, что упаковщик по ошибке изымет исправную лампочку, равна \(0,01\). Найдите вероятность того, что случайно выбранная изготовленная лампочка будет изъята упаковщиком.

Добавить задание в избранное

Лампочка может быть изъята в двух случаях: лампочка исправна, но упаковщик ошибся или лампочка неисправна и упаковщик не ошибся. Вероятность первого из этих исходов составляет \[(1 - 0,04)\cdot 0,01 = 0,0096.\]

Вероятность второго из этих исходов равна \[0,04\cdot 0,96 = 0,0384.\] Так как эти исходы несовместны (нельзя изъять одну лампочку одновременно в обоих случаях), то вероятность того, что наступит хотя бы один из них есть просто сумма их вероятностей.

Тогда \(0,0096 + 0,0384 = 0,048\) – искомая вероятность.

Ответ: 0,048

Задание 13 #195
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Чтобы поступить в университет на механико-математический факультет, абитуриент должен набрать на ЕГЭ не менее 75 баллов по каждому из трёх предметов – математика, русский язык и физика, и не менее 75 баллов за внутренний экзамен по математике. Чтобы поступить на факультет вычислительной математики и кибернетики, нужно набрать не менее 75 баллов за ЕГЭ по каждому из четырех предметов – математика, русский язык, физика и информатика, и не менее 60 баллов за тот же внутренний экзамен по математике, что и на механико-математический факультет. Вероятность того, что абитуриент Cubert получит не менее 75 баллов за ЕГЭ по математике, равна 0,8, по русскому языку – 0,9, по физике – 0,85, по информатике – 0,7. Вероятность того, что Cubert сдаст внутренний экзамен не менее, чем на 60 баллов равна \(0,9\). Вероятность того, что Cubert сдаст внутренний экзамен не менее, чем на 75 баллов равна \(0,7\). Найдите вероятность того, что Cubert’у хватит баллов хотя бы на один из двух упомянутых факультетов. Ответ округлите до сотых.

Добавить задание в избранное

Вероятность того, что Cubert’у хватит баллов на механико-математический факультет равна \[0,8\cdot 0,9\cdot 0,85\cdot 0,7 = 0,4284.\] Вероятность того, что Cubert’у хватит баллов на факультет вычислительной математики и кибернетики равна \[0,8\cdot 0,9\cdot 0,85\cdot 0,7\cdot 0,9 = 0,38556.\] Вероятность того, что Cubert’у хватит баллов на оба факультета равна \[0,8\cdot 0,9\cdot 0,85\cdot 0,7\cdot 0,7 = 0,29988,\] тогда вероятность того, что ему хватит хотя бы на один факультет равна \[0,4284 + 0,38556 - 0,29988 = 0,51408.\] После округления окончательно получаем \(0,51\).

Ответ: 0,51

Задание 14 #196
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Каждый день Игорь ходит в магазин. По пути он переходит улицу по пешеходному переходу со светофором. Светофор работает в режиме: красный свет горит 170 секунд, зеленый свет горит 30 секунд. Сколько секунд в среднем Игорь стоит на этом светофоре? (Считаем, что Игорь переходит дорогу только на зелёный, причём делает это мгновенно).

Добавить задание в избранное

Можно считать, что подходя к светофору, Игорь с равными вероятностями может видеть каждое из 170 красных чисел и с такими же вероятностями каждое из 30 зелёных чисел, то есть всего возможно 200 различных исходов.

При этом в этих исходах время ожидания: 1 секунда, 2, 3, ..., 170 секунд, 0 секунд, 0, ..., 0 секунд. Тогда в среднем Игорь тратит на ожидание \[\dfrac{1 + 2 + ... + 170 + 0 + ... + 0}{200} = \dfrac{1 + 2 + ... + 170}{200} = 72,675\text{ секунд}.\].

Ответ: 72,675

1 2 3