Математика
Русский язык

4. Введение в теорию вероятностей

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Сложные задачи по теории вероятности (страница 2)

$\blacktriangleright$ Если для выполнения события C необходимо выполнение хотя бы одного из двух несовместных (которые не могут произойти одновременно) событий A и B (C = {A или B}), то вероятность события C равна сумме вероятностей событий A и B.

$\blacktriangleright$ Каждое событие можно обозначить в виде круга. Тогда если события несовместны, то круги не должны пересекаться. Вероятность события C – это вероятность попасть в один из кругов.



$\blacktriangleright$ Например, при подбрасывании игральной кости найти вероятность события C = {выпадет число, делящееся на три}.
Можно сказать, что для того, чтобы выпало число, делящееся на три, нужно, чтобы выпало число 3 или число 6.
Значит, A = {выпадет 3}, B = {выпадет 6}, причем эти события несовместны!

Тогда $P(C)=P(A)+P(B)=\dfrac16+\dfrac16=\dfrac13$.

$\blacktriangleright$ В случае совместности событий данная формула уже не верна.
Например, при подбрасывании игральной кости найти вероятность события C = {выпадет четное число}. Ответ должен быть $P(C)=\dfrac12$.
Но если принять за A = {выпадет число, делящееся на 2}, B = {выпадет число, делящееся на 4}, то $P(C)=\dfrac12+\dfrac16\ne \dfrac12$,
потому что события A и B совместны: они могут произойти одновременно, когда выпадет 4.

Задание 8
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Артур считает вероятность наступления некоторого события \(A\) в случае, если он подбросит правильную игральную кость дважды. У него получилось, что вероятность наступления события \(A\) равна \(0,01\). Известно, что Артур ошибся, но его ошибка наименьшая из возможных при данных условиях. Насколько ошибся Артур? Ответ округлите до сотых.

Добавить задание в избранное

При подбрасывании правильной игральной кости дважды можно получить \(6\cdot 6 = 36\) различных исходов. Так как вероятность – это отношение числа подходящих исходов к числу всевозможных исходов, то результат Артура мог быть либо \(0\), либо его можно было представить в виде дроби \[\dfrac{N}{36}\,,\] где \(N\in\mathbb{N}\) – число подходящих исходов.

Таким образом, в случае, если \(P(A)\neq 0\), то минимальное значение, которое могла принять \(P(A)\), составляет \[\dfrac{1}{36} > \dfrac{1}{50} = 0,02\,.\]

Таким образом, ответ Артура ближе к \(0\), чем к любому числу вида \(\dfrac{N}{36}\,,\) где \(N\in\mathbb{N}\), следовательно, чтобы ошибка Артура была минимальной, необходимо, чтобы было выполнено \(P(A) = 0\). Тогда ошибка Артура составит \(0,01\).

При этом такое действительно возможно, если, например, \(A =\) “В сумме за два подбрасывания выпадет \(13\)”. В итоге, ответ: \(0,01\).

Ответ: 0,01

Задание 9
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Тимур считает вероятность наступления некоторого события \(A\) в случае, если он подбросит правильную игральную кость сто раз. У него получилось, что вероятность наступления события \(A\) равна \(0,045\). Известно, что Тимур ошибся, но его ошибка наименьшая из возможных при данных условиях. Учитель задумался, насколько ошибся Тимур (учителя интересует ответ, округлённый до десятых). Какой результат должен получить учитель?

Добавить задание в избранное

Рассмотрим ситуацию, когда \(P(A) = 0\) (она возможна при данных условиях), тогда ошибка Тимура составит \(0,045\). Так как ошибка Тимура наименьшая из возможных, то она не превосходит \(0,045\), но все числа, не превосходящие \(0,045\), при округлении до десятых дают \(0\). Таким образом, ответ: \(0\).

Ответ: 0

Задание 10
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Монетку подбросили 1001 раз. Какова вероятность того, что выпало более 500 орлов? Ответ округлите до десятых.

Добавить задание в избранное

Вероятность выпадения более 500 орлов равна вероятности выпадения более 500 решек (орёл и решка “равноправны”). Но “выпало более 500 решек”\(\ =\) “выпало менее 501 орла”. Таким образом, вероятность выпадения более 500 орлов равна вероятности выпадения менее 501 орла.

Но события “выпало более 500 орлов”\( \) и “выпало менее 501 орла”\( \) в объединении содержат все возможные исходы серии из 1001 подбрасывания.

При этом эти события не могут наступить одновременно, следовательно, вероятность того, что наступит какое-нибудь из них равна сумме их вероятностей и равна 1.

Таким образом, вероятность события “выпало более 500 орлов”\( \) равна \(0,5\).

Ответ: 0,5

Задание 11
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

За круглый стол в случайном порядке рассаживаются Белоснежка, злая ведьма и 5 гномов (двое охраняют мероприятие). Найдите вероятность того, что Белоснежка и злая ведьма не будут сидеть вместе. Ответ округлите до сотых.

Добавить задание в избранное

Проще сначала найти вероятность того, что Белоснежка и злая ведьма окажутся сидящими вместе. Для этого можно мысленно объединить Белоснежку и злую ведьму, как занимающих одно место на двоих из 6 мест за столом. Тогда на первое место можно посадить одного из 6 кандидатов, на второе одного из 5 и т.д., значит количество различных рассадок за таким столом будет равно \(6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1 = 6!\).

При этом каждая рассадка за таким столом дает две различных рассадки за обычным 7-местным столом (Белоснежку и злую ведьму “на одно место из 6”\(\ \)можно посадить вместе двумя способами). Тогда общее количество рассадок за начальным столом, в которых Белоснежка и злая ведьма сидят вместе равно \(2\cdot 6!\).

Общее количество всевозможных рассадок за столом равно \(7\cdot 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1 = 7!\). В итоге вероятность того, что они окажутся сидящими вместе равна \[\dfrac{2\cdot 6!}{7!} = \dfrac{2}{7} = 0,2857\dots,\] следовательно, вероятность того, что они не сядут вместе равна \(1 - 0,2857... = 0,7142...\). После округления окончательно получаем \(0,71\).

Ответ: 0,71

Задание 12
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Компания “Light”\(\ \)изготавливает лампочки. Вероятность того, что готовая лампочка неисправна, равна \(0,04\). Каждую лампочку дополнительно проверяет упаковщик. Вероятность того, что упаковщик обнаружит (и изымет) неисправную лампочку, равна \(0,96\). Вероятность того, что упаковщик по ошибке изымет исправную лампочку, равна \(0,01\). Найдите вероятность того, что случайно выбранная изготовленная лампочка будет изъята упаковщиком.

Добавить задание в избранное

Лампочка может быть изъята в двух случаях: лампочка исправна, но упаковщик ошибся или лампочка неисправна и упаковщик не ошибся. Вероятность первого из этих исходов составляет \[(1 - 0,04)\cdot 0,01 = 0,0096.\]

Вероятность второго из этих исходов равна \[0,04\cdot 0,96 = 0,0384.\] Так как эти исходы несовместны (нельзя изъять одну лампочку одновременно в обоих случаях), то вероятность того, что наступит хотя бы один из них есть просто сумма их вероятностей.

Тогда \(0,0096 + 0,0384 = 0,048\) – искомая вероятность.

Ответ: 0,048

Задание 13
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Чтобы поступить в университет на механико-математический факультет, абитуриент должен набрать на ЕГЭ не менее 75 баллов по каждому из трёх предметов – математика, русский язык и физика, и не менее 75 баллов за внутренний экзамен по математике. Чтобы поступить на факультет вычислительной математики и кибернетики, нужно набрать не менее 75 баллов за ЕГЭ по каждому из четырех предметов – математика, русский язык, физика и информатика, и не менее 60 баллов за тот же внутренний экзамен по математике, что и на механико-математический факультет. Вероятность того, что абитуриент Cubert получит не менее 75 баллов за ЕГЭ по математике, равна 0,8, по русскому языку – 0,9, по физике – 0,85, по информатике – 0,7. Вероятность того, что Cubert сдаст внутренний экзамен не менее, чем на 60 баллов равна \(0,9\). Вероятность того, что Cubert сдаст внутренний экзамен не менее, чем на 75 баллов равна \(0,7\). Найдите вероятность того, что Cubert’у хватит баллов хотя бы на один из двух упомянутых факультетов. Ответ округлите до сотых.

Добавить задание в избранное

Вероятность того, что Cubert’у хватит баллов на механико-математический факультет равна \[0,8\cdot 0,9\cdot 0,85\cdot 0,7 = 0,4284.\] Вероятность того, что Cubert’у хватит баллов на факультет вычислительной математики и кибернетики равна \[0,8\cdot 0,9\cdot 0,85\cdot 0,7\cdot 0,9 = 0,38556.\] Вероятность того, что Cubert’у хватит баллов на оба факультета равна \[0,8\cdot 0,9\cdot 0,85\cdot 0,7\cdot 0,7 = 0,29988,\] тогда вероятность того, что ему хватит хотя бы на один факультет равна \[0,4284 + 0,38556 - 0,29988 = 0,51408.\] После округления окончательно получаем \(0,51\).

Ответ: 0,51

Задание 14
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Каждый день Игорь ходит в магазин. По пути он переходит улицу по пешеходному переходу со светофором. Светофор работает в режиме: красный свет горит 170 секунд, зеленый свет горит 30 секунд. Сколько секунд в среднем Игорь стоит на этом светофоре? (Считаем, что Игорь переходит дорогу только на зелёный, причём делает это мгновенно).

Добавить задание в избранное

Можно считать, что подходя к светофору, Игорь с равными вероятностями может видеть каждое из 170 красных чисел и с такими же вероятностями каждое из 30 зелёных чисел, то есть всего возможно 200 различных исходов.

При этом в этих исходах время ожидания: 1 секунда, 2, 3, ..., 170 секунд, 0 секунд, 0, ..., 0 секунд. Тогда в среднем Игорь тратит на ожидание \[\dfrac{1 + 2 + ... + 170 + 0 + ... + 0}{200} = \dfrac{1 + 2 + ... + 170}{200} = 72,675\text{ секунд}.\].

Ответ: 72,675

1 2 3