Сложные задачи по теории вероятности (страница 2)

Рассмотрим все возможные варианты:
1) Миша написал четное число, Маша – нечетное. Тогда на втором шаге на доске будут написаны нечетное и нечетное числа. На третьем шаге: четное и четное числа. На четвертом, пятом и т.д.: четное и четное. Тогда на 100 шаге произведение этих чисел будет всегда делиться на 4.
2) Миша написал четное, Маша – тоже четное. Тогда аналогично первому случаю на всех последующих шагах на доске тоже будут написаны два четных числа, следовательно, на 100 шаге их произведение всегда будет делиться на 4.
3) Миша и Маша написали нечетные числа. Тогда на втором шаге на доске будут написаны четные числа, как и на всех следующих шагах (аналогично второму случаю). Следовательно, на 100 шаге их произведение будет всегда делиться на 4.
Таким образом, в любом случае произведение чисел будет делиться на 4. Значит, вероятность этого события равна 1.

Ответ: 1

При подбрасывании правильной игральной кости дважды можно получить \(6\cdot 6 = 36\) различных исходов. Так как вероятность – это отношение числа подходящих исходов к числу всевозможных исходов, то результат Артура мог быть либо \(0\), либо его можно было представить в виде дроби \[\dfrac{N}{36}\,,\] где \(N\in\mathbb{N}\) – число подходящих исходов.

Таким образом, в случае, если \(P(A)\neq 0\), то минимальное значение, которое могла принять \(P(A)\), составляет \[\dfrac{1}{36} > \dfrac{1}{50} = 0,02\,.\]

Таким образом, ответ Артура ближе к \(0\), чем к любому числу вида \(\dfrac{N}{36}\,,\) где \(N\in\mathbb{N}\), следовательно, чтобы ошибка Артура была минимальной, необходимо, чтобы было выполнено \(P(A) = 0\). Тогда ошибка Артура составит \(0,01\).

При этом такое действительно возможно, если, например, \(A =\) “В сумме за два подбрасывания выпадет \(13\)”. В итоге, ответ: \(0,01\).

Ответ: 0,01

Рассмотрим ситуацию, когда \(P(A) = 0\) (она возможна при данных условиях), тогда ошибка Тимура составит \(0,045\). Так как ошибка Тимура наименьшая из возможных, то она не превосходит \(0,045\), но все числа, не превосходящие \(0,045\), при округлении до десятых дают \(0\). Таким образом, ответ: \(0\).

Ответ: 0

Вероятность выпадения более 500 орлов равна вероятности выпадения более 500 решек (орёл и решка “равноправны”). Но “выпало более 500 решек”\(\ =\) “выпало менее 501 орла”. Таким образом, вероятность выпадения более 500 орлов равна вероятности выпадения менее 501 орла.

Но события “выпало более 500 орлов”\( \) и “выпало менее 501 орла”\( \) в объединении содержат все возможные исходы серии из 1001 подбрасывания.

При этом эти события не могут наступить одновременно, следовательно, вероятность того, что наступит какое-нибудь из них равна сумме их вероятностей и равна 1.

Таким образом, вероятность события “выпало более 500 орлов”\( \) равна \(0,5\).

Ответ: 0,5

Проще сначала найти вероятность того, что Белоснежка и злая ведьма окажутся сидящими вместе. Для этого можно мысленно объединить Белоснежку и злую ведьму, как занимающих одно место на двоих из 6 мест за столом. Тогда на первое место можно посадить одного из 6 кандидатов, на второе одного из 5 и т.д., значит количество различных рассадок за таким столом будет равно \(6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1 = 6!\).

При этом каждая рассадка за таким столом дает две различных рассадки за обычным 7-местным столом (Белоснежку и злую ведьму “на одно место из 6”\(\ \)можно посадить вместе двумя способами). Тогда общее количество рассадок за начальным столом, в которых Белоснежка и злая ведьма сидят вместе равно \(2\cdot 6!\).

Общее количество всевозможных рассадок за столом равно \(7\cdot 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1 = 7!\). В итоге вероятность того, что они окажутся сидящими вместе равна \[\dfrac{2\cdot 6!}{7!} = \dfrac{2}{7} = 0,2857\dots,\] следовательно, вероятность того, что они не сядут вместе равна \(1 - 0,2857... = 0,7142...\). После округления окончательно получаем \(0,71\).

Ответ: 0,71

Лампочка может быть изъята в двух случаях: лампочка исправна, но упаковщик ошибся или лампочка неисправна и упаковщик не ошибся. Вероятность первого из этих исходов составляет \[(1 - 0,04)\cdot 0,01 = 0,0096.\]

Вероятность второго из этих исходов равна \[0,04\cdot 0,96 = 0,0384.\] Так как эти исходы несовместны (нельзя изъять одну лампочку одновременно в обоих случаях), то вероятность того, что наступит хотя бы один из них есть просто сумма их вероятностей.

Тогда \(0,0096 + 0,0384 = 0,048\) – искомая вероятность.

Ответ: 0,048

Вероятность того, что Cubert’у хватит баллов на механико-математический факультет равна \[0,8\cdot 0,9\cdot 0,85\cdot 0,7 = 0,4284.\] Вероятность того, что Cubert’у хватит баллов на факультет вычислительной математики и кибернетики равна \[0,8\cdot 0,9\cdot 0,85\cdot 0,7\cdot 0,9 = 0,38556.\] Вероятность того, что Cubert’у хватит баллов на оба факультета равна \[0,8\cdot 0,9\cdot 0,85\cdot 0,7\cdot 0,7 = 0,29988,\] тогда вероятность того, что ему хватит хотя бы на один факультет равна \[0,4284 + 0,38556 - 0,29988 = 0,51408.\] После округления окончательно получаем \(0,51\).

Ответ: 0,51