Математика
Русский язык

4. Введение в теорию вероятностей

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Сложные задачи по теории вероятности (страница 3)

Общая памятка по всем разделам теории вероятностей:

 

Задание 15
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Каждый день Игорь ходит в магазин. По пути он переходит улицу по пешеходному переходу со светофором. Светофор работает в режиме: красный свет горит 170 секунд, зеленый свет горит 30 секунд. Сколько секунд в среднем Игорь стоит на этом светофоре? (Считаем, что Игорь переходит дорогу только на зелёный, причём делает это мгновенно).

Добавить задание в избранное

Можно считать, что подходя к светофору, Игорь с равными вероятностями может видеть каждое из 170 красных чисел и с такими же вероятностями каждое из 30 зелёных чисел, то есть всего возможно 200 различных исходов.

При этом в этих исходах время ожидания: 1 секунда, 2, 3, ..., 170 секунд, 0 секунд, 0, ..., 0 секунд. Тогда в среднем Игорь тратит на ожидание \[\dfrac{1 + 2 + ... + 170 + 0 + ... + 0}{200} = \dfrac{1 + 2 + ... + 170}{200} = 72,675\text{ секунд}.\].

Ответ: 72,675

Задание 16
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Антон играет в компьютерную игру, которая заключается в том, что компьютер выдаёт ему натуральное число от 1 до \(N\). Если число чётное – Антон выиграл, если нечётное – выиграл компьютер. Антон знает, что вероятность выпадения любого чётного числа равна \(0,02\), а вероятность выпадения любого нечётного числа равна \(0,04\). Найдите \(N\).

Добавить задание в избранное

Возможны два случая: 1) \(N\) – чётное (\(N = 2n\)), 2) \(N\) – нечётное (\(N = 2n + 1\)).

 

1) Чётных и нечётных чисел в игре одинаково и равно \(n\), тогда \(n\cdot 0,02 + n\cdot 0,04 = 1\) (так как вероятность того, что выпадет какое-то число от 1 до \(N\) равна 1).   В итоге \(n\cdot 0,06 = 1\), но тогда \(n = \dfrac{50}{3}\) – не натуральное число, следовательно, случай 1) не подходит.

 

2) Нечётных чисел в игре больше чем чётных на одно, тогда чётных чисел в игре \(n\), следовательно, \(n\cdot 0,02 + (n + 1)\cdot 0,04 = 1\) (так как вероятность того, что выпадет какое-то число от 1 до \(N\) равна 1).
В итоге \(n\cdot 0,06 = 0,96\), тогда \(n = 16\), следовательно, \(N = 33\).

Ответ: 33

Задание 17
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

У странной Кати есть \(10\) чёрных и \(10\) синих ручек. Она как-то раскладывает ручки в два кармана таким образом, чтобы при случайном выборе кармана и вытаскивании из него ручки наугад, вероятность получить синюю ручку была максимально возможной. Сколько чёрных ручек она должна положить в тот карман, в котором синих ручек будет не менее \(5\)?

Добавить задание в избранное

Сначала рассмотрим задачу с фиксированным числом ручек в одном кармане.

1) Пусть сначала в каком-то кармане всего \(0 < N < 10\) ручек, из них \(s\) синих, тогда вероятность вытащить синюю ручку из этого кармана равна \[0,5\cdot\dfrac{s}{N},\] где \(0,5\) – вероятность выбора первого кармана.

Аналогично вероятность вытащить синюю ручку из другого кармана равна \[0,5\cdot\dfrac{10 - s}{20 - N},\] следовательно, вероятность вытащить синюю ручку равна \[0,5\cdot\dfrac{s}{N} + 0,5\cdot\dfrac{10 - s}{20 - N} = 0,5\cdot\dfrac{(20 - N)s + N(10 - s)}{N(20 - N)} = 0,5\cdot\dfrac{(20 - 2N)s + 10N}{N(20 - N)}.\] Так как знаменатель этой дроби фиксированный положительный, то её значение тем больше, чем больше числитель, при этом \(20 - 2N > 0\), следовательно, значение числителя при увеличении \(s\) будет увеличиваться. При этом максимальное допустимое значение \(s = N\), то есть в этом случае выгоднее в этот карман чёрные ручки не класть.

2) Пусть теперь в каком-то кармане \(N = 10\) ручек, из них \(s\) синих, тогда вероятность вытащить синюю ручку равна \[0,5\cdot\dfrac{s}{10} + 0,5\cdot\dfrac{10 - s}{20 - 10} = 0,5,\] то есть в этом случае тоже можно все чёрные ручки сложить в один карман (не зависимо от того, как Катя разложит ручки в этом случае вероятность вытащить синюю равна \(0,5\)).

3) Пусть теперь в каком-то кармане \(N = 0\) ручек, тогда в этом случае так же все чёрные ручки окажутся в одном кармане и вероятность вытащить синюю ручку равна \[0,5\cdot 0 + 0,5\cdot \dfrac{10}{20} = 0,25.\]

Итак, мы доказали, что в любом случае среди наиболее выгодных решений есть то, в котором все чёрные ручки лежат в одном кармане (рассмотрели случаи \(N = 0\), \(0 < N < 10\), \(N = 10\), а случаи когда \(10 < N \leq 20\) на самом деле тоже учтены, так как во всех этих случаях в другом кармане будет уже рассмотренное количество).

Теперь остаётся выяснить, сколько при этом синих ручек положить в тот карман, где нет чёрных (вдруг максимально возможная вероятность получить синюю ручку и есть \(0,5\), тогда из-за пункта 2) у задачи нет однозначного ответа).

Пусть в том кармане, где нет чёрных ручек, лежит \(0 < s < 10\) синих (\(s = 10\) рассмотрен в 3) пункте, так как тогда все ручки окажутся в одном кармане), тогда вероятность вытащить синюю ручку равна \[0,5\cdot\dfrac{s}{s} + 0,5\cdot\dfrac{10 - s}{20 - s} = 0,5 + 0,5\cdot\dfrac{20 - s - 10}{20 - s} = 0,5 + 0,5\left(1 - \dfrac{10}{20 - s}\right) = 1 - \dfrac{5}{20 - s}\,.\] Так как \(s\in\{1, ..., 9\}\), то последнее выражение принимает наибольшее значение при \(s = 1\), то есть в другом кармане будет лежать девять синих ручек. Следовательно, ответ к задаче однозначный: \(10\).

Ответ: 10

1 2 3