Математика
Русский язык

4. Введение в теорию вероятностей

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Сложные задачи по теории вероятности (страница 3)

$\blacktriangleright$ Если для выполнения события C необходимо выполнение хотя бы одного из двух несовместных (которые не могут произойти одновременно) событий A и B (C = {A или B}), то вероятность события C равна сумме вероятностей событий A и B.

$\blacktriangleright$ Каждое событие можно обозначить в виде круга. Тогда если события несовместны, то круги не должны пересекаться. Вероятность события C – это вероятность попасть в один из кругов.



$\blacktriangleright$ Например, при подбрасывании игральной кости найти вероятность события C = {выпадет число, делящееся на три}.
Можно сказать, что для того, чтобы выпало число, делящееся на три, нужно, чтобы выпало число 3 или число 6.
Значит, A = {выпадет 3}, B = {выпадет 6}, причем эти события несовместны!

Тогда $P(C)=P(A)+P(B)=\dfrac16+\dfrac16=\dfrac13$.

$\blacktriangleright$ В случае совместности событий данная формула уже не верна.
Например, при подбрасывании игральной кости найти вероятность события C = {выпадет четное число}. Ответ должен быть $P(C)=\dfrac12$.
Но если принять за A = {выпадет число, делящееся на 2}, B = {выпадет число, делящееся на 4}, то $P(C)=\dfrac12+\dfrac16\ne \dfrac12$,
потому что события A и B совместны: они могут произойти одновременно, когда выпадет 4.

Задание 15
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Антон играет в компьютерную игру, которая заключается в том, что компьютер выдаёт ему натуральное число от 1 до \(N\). Если число чётное – Антон выиграл, если нечётное – выиграл компьютер. Антон знает, что вероятность выпадения любого чётного числа равна \(0,02\), а вероятность выпадения любого нечётного числа равна \(0,04\). Найдите \(N\).

Добавить задание в избранное

Возможны два случая: 1) \(N\) – чётное (\(N = 2n\)), 2) \(N\) – нечётное (\(N = 2n + 1\)).

 

1) Чётных и нечётных чисел в игре одинаково и равно \(n\), тогда \(n\cdot 0,02 + n\cdot 0,04 = 1\) (так как вероятность того, что выпадет какое-то число от 1 до \(N\) равна 1).   В итоге \(n\cdot 0,06 = 1\), но тогда \(n = \dfrac{50}{3}\) – не натуральное число, следовательно, случай 1) не подходит.

 

2) Нечётных чисел в игре больше чем чётных на одно, тогда чётных чисел в игре \(n\), следовательно, \(n\cdot 0,02 + (n + 1)\cdot 0,04 = 1\) (так как вероятность того, что выпадет какое-то число от 1 до \(N\) равна 1).
В итоге \(n\cdot 0,06 = 0,96\), тогда \(n = 16\), следовательно, \(N = 33\).

Ответ: 33

Задание 16
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

У странной Кати есть \(10\) чёрных и \(10\) синих ручек. Она как-то раскладывает ручки в два кармана таким образом, чтобы при случайном выборе кармана и вытаскивании из него ручки наугад, вероятность получить синюю ручку была максимально возможной. Сколько чёрных ручек она должна положить в тот карман, в котором синих ручек будет не менее \(5\)?

Добавить задание в избранное

Сначала рассмотрим задачу с фиксированным числом ручек в одном кармане.

1) Пусть сначала в каком-то кармане всего \(0 < N < 10\) ручек, из них \(s\) синих, тогда вероятность вытащить синюю ручку из этого кармана равна \[0,5\cdot\dfrac{s}{N},\] где \(0,5\) – вероятность выбора первого кармана.

Аналогично вероятность вытащить синюю ручку из другого кармана равна \[0,5\cdot\dfrac{10 - s}{20 - N},\] следовательно, вероятность вытащить синюю ручку равна \[0,5\cdot\dfrac{s}{N} + 0,5\cdot\dfrac{10 - s}{20 - N} = 0,5\cdot\dfrac{(20 - N)s + N(10 - s)}{N(20 - N)} = 0,5\cdot\dfrac{(20 - 2N)s + 10N}{N(20 - N)}.\] Так как знаменатель этой дроби фиксированный положительный, то её значение тем больше, чем больше числитель, при этом \(20 - 2N > 0\), следовательно, значение числителя при увеличении \(s\) будет увеличиваться. При этом максимальное допустимое значение \(s = N\), то есть в этом случае выгоднее в этот карман чёрные ручки не класть.

2) Пусть теперь в каком-то кармане \(N = 10\) ручек, из них \(s\) синих, тогда вероятность вытащить синюю ручку равна \[0,5\cdot\dfrac{s}{10} + 0,5\cdot\dfrac{10 - s}{20 - 10} = 0,5,\] то есть в этом случае тоже можно все чёрные ручки сложить в один карман (не зависимо от того, как Катя разложит ручки в этом случае вероятность вытащить синюю равна \(0,5\)).

3) Пусть теперь в каком-то кармане \(N = 0\) ручек, тогда в этом случае так же все чёрные ручки окажутся в одном кармане и вероятность вытащить синюю ручку равна \[0,5\cdot 0 + 0,5\cdot \dfrac{10}{20} = 0,25.\]

Итак, мы доказали, что в любом случае среди наиболее выгодных решений есть то, в котором все чёрные ручки лежат в одном кармане (рассмотрели случаи \(N = 0\), \(0 < N < 10\), \(N = 10\), а случаи когда \(10 < N \leq 20\) на самом деле тоже учтены, так как во всех этих случаях в другом кармане будет уже рассмотренное количество).

Теперь остаётся выяснить, сколько при этом синих ручек положить в тот карман, где нет чёрных (вдруг максимально возможная вероятность получить синюю ручку и есть \(0,5\), тогда из-за пункта 2) у задачи нет однозначного ответа).

Пусть в том кармане, где нет чёрных ручек, лежит \(0 < s < 10\) синих (\(s = 10\) рассмотрен в 3) пункте, так как тогда все ручки окажутся в одном кармане), тогда вероятность вытащить синюю ручку равна \[0,5\cdot\dfrac{s}{s} + 0,5\cdot\dfrac{10 - s}{20 - s} = 0,5 + 0,5\cdot\dfrac{20 - s - 10}{20 - s} = 0,5 + 0,5\left(1 - \dfrac{10}{20 - s}\right) = 1 - \dfrac{5}{20 - s}\,.\] Так как \(s\in\{1, ..., 9\}\), то последнее выражение принимает наибольшее значение при \(s = 1\), то есть в другом кармане будет лежать девять синих ручек. Следовательно, ответ к задаче однозначный: \(10\).

Ответ: 10

1 2 3