Сначала рассмотрим задачу с фиксированным числом ручек в одном кармане.
1) Пусть сначала в каком-то кармане всего \(0 < N < 10\) ручек, из них \(s\) синих, тогда вероятность вытащить синюю ручку из этого кармана равна \[0,5\cdot\dfrac{s}{N},\] где \(0,5\) – вероятность выбора первого кармана.
Аналогично вероятность вытащить синюю ручку из другого кармана равна \[0,5\cdot\dfrac{10 - s}{20 - N},\] следовательно, вероятность вытащить синюю ручку равна \[0,5\cdot\dfrac{s}{N} + 0,5\cdot\dfrac{10 - s}{20 - N} = 0,5\cdot\dfrac{(20 - N)s + N(10 - s)}{N(20 - N)} = 0,5\cdot\dfrac{(20 - 2N)s + 10N}{N(20 - N)}.\] Так как знаменатель этой дроби фиксированный положительный, то её значение тем больше, чем больше числитель, при этом \(20 - 2N > 0\), следовательно, значение числителя при увеличении \(s\) будет увеличиваться. При этом максимальное допустимое значение \(s = N\), то есть в этом случае выгоднее в этот карман чёрные ручки не класть.
2) Пусть теперь в каком-то кармане \(N = 10\) ручек, из них \(s\) синих, тогда вероятность вытащить синюю ручку равна \[0,5\cdot\dfrac{s}{10} + 0,5\cdot\dfrac{10 - s}{20 - 10} = 0,5,\] то есть в этом случае тоже можно все чёрные ручки сложить в один карман (не зависимо от того, как Катя разложит ручки в этом случае вероятность вытащить синюю равна \(0,5\)).
3) Пусть теперь в каком-то кармане \(N = 0\) ручек, тогда в этом случае так же все чёрные ручки окажутся в одном кармане и вероятность вытащить синюю ручку равна \[0,5\cdot 0 + 0,5\cdot \dfrac{10}{20} = 0,25.\]
Итак, мы доказали, что в любом случае среди наиболее выгодных решений есть то, в котором все чёрные ручки лежат в одном кармане (рассмотрели случаи \(N = 0\), \(0 < N < 10\), \(N = 10\), а случаи когда \(10 < N \leq 20\) на самом деле тоже учтены, так как во всех этих случаях в другом кармане будет уже рассмотренное количество).
Теперь остаётся выяснить, сколько при этом синих ручек положить в тот карман, где нет чёрных (вдруг максимально возможная вероятность получить синюю ручку и есть \(0,5\), тогда из-за пункта 2) у задачи нет однозначного ответа).
Пусть в том кармане, где нет чёрных ручек, лежит \(0 < s < 10\) синих (\(s = 10\) рассмотрен в 3) пункте, так как тогда все ручки окажутся в одном кармане), тогда вероятность вытащить синюю ручку равна \[0,5\cdot\dfrac{s}{s} + 0,5\cdot\dfrac{10 - s}{20 - s} = 0,5 + 0,5\cdot\dfrac{20 - s - 10}{20 - s} = 0,5 + 0,5\left(1 - \dfrac{10}{20 - s}\right) = 1 - \dfrac{5}{20 - s}\,.\] Так как \(s\in\{1, ..., 9\}\), то последнее выражение принимает наибольшее значение при \(s = 1\), то есть в другом кармане будет лежать девять синих ручек. Следовательно, ответ к задаче однозначный: \(10\).
Ответ: 10